幂商和与幂和差不等式及其应用

本文根据加权均值不等式推广了文[1]的主要结论,并利用推广结构对一组国内外不等式赛题进行了推广简证.     

幂等算子的和与差

运用算子论的方法，把有限维情况下幂等算子的和与差仍是幂等算子成立的一些条件推广到无限维的情况，给出了在无限维的情况下幂等算子的和与差仍是幂等算子的充要条件，并且进一步得到了幂等算子的线性组合也是幂等算子的充要条件。     

由幂平均不等式引发的猜想

从均值不等式、幂平均不等式出发，通过构造矩阵和利用文^[1]的结果，证明了一类和式不等式，并推广了幂平均不等式。     

混合加权幂平均不等式的推广

1 Introduction In 1992 , Holland[1]presented an interesting conjec-ture :letx1,x2,…,xnbe positive real numbers . Thearithmetic mean of the numbersx1, (x1x2)21,(x1x2x3)31,…,(x1x2…xn)1ndoes not exceed thegeometric mean of the numbersx1,(x1 2x2),(x1 x2 x3)3, …,(x1 x2 n… xn). There isequalityif and onlyifx1=x2=…=xn. A combinatorial proof of this conjecture was givenby Kedlaya[2]and aninductive proof with a little analy-sis was obtained by Matstuda[3].Other different proofscan be found in R…     

加权幂—算术平均值不等式的参数推广

基于加权平均值不等式,采用求函数极值的方法,建立了一个加权幂-算术平均值不等式的参数推广。     

加权幂平均值不等式的一个新证明

不同于文[1],笔者利用熟知的凹函数方法,给出了加权幂平均值不等式的一种新的证明。首先给出凹函数的一个性质作为引理,然后对引理中的不等式作简单的变换,就得到了待证的不等式。证明过程推导简洁,思路清晰。     

幂线性不等式的性质及应用

文[1]给出了不等式: 设,,,iaars均为正数,(1,2,,)in=L. (1) 若1nrriiaa=,则1nssiiaa=>()sr<; (2) 若1nrriiaa=,则1nssiiaa=<()sr>. 文[2]从指数的角度给出了不等式: 设,,,iabpp均为正数,,,ixxR ipp (1,2,.2)inn=矻. (1)若1,inxriipapa=则1(nxsiipbpba=>< 1b<1)ab>>或; (2)若1,inxriipapa=则1(nxsiipbpbb=<< 11)aba<>>或. 本文从幂的角度亦给出文[1]的推广: 定理 设,,,,iiapars均为正数,(ippi? 1,2,.2)nnL. (1) 若1,nrriiipapa= 则 1nssiiipapa=>()sr<. ① (2) 若1,nrriiipapa= 则 1nssiiipapa=<()sr>. ② 证明 11()()…     

和自然数有关的不等式的简证

把和自然数有关的不等式看作关于n的函数的不等关系，文中介绍了用作差和作商的两种方法，使这类不等式得到简单的证明。     

一类不等式的推广及应用

将两个熟知的初等不等式从不同角度推广为更加一般的形式．     

一个不等式的推广和应用

中学数学里熟知的不等式 (ｘ ｙ) 2 ≤ 2 (ｘ2 ｙ2 ) ,可通过增加元数和增加次数进行推广 ,易得到幂平均不等式 :(ｘ1 ｘ2 … ｘｎ) ｍ ≤ｎｍ -1 (ｘｍ1 ｘｍ2 … ｘｍｎ) ,其中ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ 为正数 .在幂平均不等式中 ,令ｘ1 =ｍ ａ1 ,ｘ2 =ｍａ2 ,… ,ｘｎ=ｍａｎ,则又得到无理不等式 :( ｍａ1 ｍ ａ2 … ｍ ａｎ) ｍ≤ｎｍ -1 (ａ1 ａ2 … ａｎ) ,即有ｍａ1 ｍ ａ2 … ｍａｎ≤ ｍ ｎｍ -1 (ａ1 ａ2 … ａｎ) ,(ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ 为正数 ,当ａ1 =ａ2 =… =ａｎ 时 ,等号成立 ) .此不等式在证明有关无…     

一个分式不等式的加强与推广

文 [2 ]用初等方法证明了文 [1 ]中的分式不等式 :若ａ1、ａ2 、ａ3 、ａ4∈Ｒ+,求证 :ａ3 1ａ2 +ａ3 +ａ4+ ａ3 2ａ1+ａ3 +ａ4+ ａ3 3 ａ1+ａ2 +ａ4+ ａ3 4ａ1+ａ2 +ａ3≥(ａ1+ａ2 +ａ3 +ａ4) 21 2 .①本文将给出①的加强与推广 .加强　若ａ1、ａ2 、ａ3 、ａ4∈Ｒ+,求证 :ａ3 1ａ2 +ａ3 +ａ4+ ａ3 2ａ1+ａ3 +ａ4+ ａ3 3 ａ1+ａ2 +ａ4+ ａ3 4ａ1+ａ2 +ａ3≥ａ21+ａ22 +ａ23 +ａ243 .②证明 :∵ａ2ｂ≥ 2ａ -ｂ(ａ、ｂ∈Ｒ+) ,∴ (3ａ1) 2ａ2 +ａ3 +ａ4≥ 2 (3ａ1) - (ａ2 +ａ3 +ａ4) ,即　 ａ3 1ａ2 +ａ3 +ａ4≥ 23ａ21- 19(ａ1ａ2 +ａ1ａ3…     

一类均值不等式的应用

我们知道: 2221122abababab++＃+, (,,abR+当且仅当ab=时,等号成立). 331113abcabcabc++＃++ 2223abc++, (,,,abcR+当且仅当abc==时,等号成立),由此容易推导出: 112abab+? (1) 114abab+?, (2) 221122abab+?; (3) 24 或 31113abcabc++? (1') 1119abcabc++?+, (2') 22211133abcabc++?+. (3') 不等式中有些问题,根据题目特征,用上面三个不等式来解决,既快捷又漂亮. 例1 设A、B、C是三角形三内角的弧度数,求证1119ABCp++? 证明 利用公式(2')得: 11…     

离散型Hoeldel不等式与加权均值不等式的推广

文中的定理2给出了Holdel不等式在∑j=1^n1/pj≥1时的推广形式．我们将对0〈∑j=1^n1/pj〈1和∑j=1^n1/pj〈0时给出其推广形式,并给出文[3]中的加权均值不等式在pj〈0时的推广．     

一个不等式的另证与推广

《数学通报》2018年5月2425号问题提供的解答用到了幂平均不等式、均值不等式以及切比雪夫不等式,本文仅用均值不等式和柯西不等式给出它的一个另证与推广.     

差商函数的性质与应用

给出了差商函数的连续性与可导性,并且给出了证明．利用差函数的这些性质得出了一些与可导函数和凸函数有关的结论,并且利用此函数给出了G．Darboux定理的一个新的证明方法．     

对数均值不等式及其应用

对数均值不等式常常受到高考及竞赛出题老师的青睐.本文给出对数均值不等式的证明及推论,并举例说明对数均值不等式的应用.