一道奥数赛题的解析证法

2013年第54届国际数学奥林匹克第4题:已知日是锐角△ABC的垂心,BM、CN是它两条高,W是BC边上一点,与顶点B,C均不重合,WX是△BWN的外接圆的直径,WY是△CWM的外接圆的直径,求证:X、H、Y三点共线.本文用解析法给出它的一种证明,供大家参考.     

一道不等式赛题的多种证法

题目 设3/2≤x≤5,证明：不等式 2√x＋1＋√2x-3＋√15-3x〈2√19.     

一道赛题的简捷证法及其推广

本文给出了一道赛题的简捷的本质的证法,并对其进行了推广。     

一道波兰平面几何赛题的多种证法

<正>2022年波兰数学奥林匹克竞赛中的平面几何题为:给定圆内接四边形ABCD,其外接圆圆心在四边形ABCD的内部,对角线AC与BD交于点S,边AD,BC的中点分别为P,Q,过点P作与AC垂直的直线l_P,过点Q作与BD垂直的直线l_Q,过点S作与CD垂直的直线l_s,求证:l_P,l_Q,l_S三线共点。证法1:如图1,设l_P与AC,AB分别交于点E,G,l_Q与BD交于点F,l_P与l_Q交于点M。联结EF,联结MS并延长交CD于点N。     

一道赛题的另一种证法

题目（第20届伊朗数学奥林匹克竞赛题）：设a,b,∈R,且a^2＋b^2＋c^2＋abc=4,证明：a＋b＋c≤3．     

一道巴尔十赛题的巧妙证法

有一道巴尔干地区数学竞赛试题如下： 设a,b,c为正实数,求证： 1/a（1＋b）＋1/b（1＋c）＋1/c（c＋a）≥3/1＋abc^＊①笔者曾在本刊2006年第11期上,将不等式①推广为：     

一道ＩＭＯ赛题的九种证法

题目设ａ，ｂ，ｃ为正数且ａｂｋｃ＝ｌ，求证１／ａ＾３（ｂ＋ｃ）＋１／ｂ＾３（ｃ＋ａ）＋１／ｃ＾３（ａ＋ｂ）≥３／２．（第３６届ＩＭＯ试题）本题是一道非常难得的好题．它的九种证法，充分展现了对称不等式的内在魅力，值得探究．     

一道几何赛题的多元证法及启示

2007年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题第14题是这样的:题目如图1,AB∥CD,AD∥CE,F,G分别是AC和FD的中点,过G的直线依次交ABAD,CD,CE于点M,N,P,Q.求证:MN PQ=2PN.平行线是截取比例线段的基本依据,在证题时添出必要的平行线可以获得所需的比例线段.作出不同的辅助线,可得到不同的证法.经过分析探究,笔者发现该题的证法较多,不失为一道好题,现给出几种不同的证明思路,供读者参考.1证法探究证法1如图1,作CH∥DF,AK∥DF,分别交QM于H,K,则CH∥AK.又F是AC的中点,所以G是HK的中点.由梯形中位线定理得,CH AK=2FG.由CH∥DG,得PCDP=CDHG;由AK∥DG,得DANN=AKDG.所以CPDP DANN=CHD GAK=2DFGG=2DDGG=2.由CQ∥DN,得PQNP=PCDP;由AM∥PD,得MPNN=ANDN.所以QPNP MPNN=PCDP DANN=2.即MN PQ=2PN.图2证法2如图2,作FH∥CD,交QM于H,易知H是PM的中点,由梯形中位线定理,得AM CP=2FH.显然,△PGD≌△HGF,有PD=FH.由CQ∥DN,得...     

一道赛题的“折半”证法

1992年全国初中数学联赛第二试第二题是: 在△ABC中,AB=AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点,且∠BED=2∠CED=∠A。求证:BD=2CD。     

一道“希望杯”赛题的几何证法

第七届全国数学“希望杯”高二年级赛题中有这样一道题目:     

一道全国初中几何赛题的四种证法

1996年全国初中数学联合竞赛第二试第2题为:“设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M,过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F,交BC的延长线于点O,P是以O为圆心OM为半径的圆上一点(位置如图所示),求证:∠OPF=     

一道IMO赛题的纯几何证法与推广

第37届IMO试题的第2题为:设P是△ABC内一点,∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC,又设D、E分别是△APB及△APC的内心,证明:AP、BD、CE交于一点.     

一道几何题的多种证法

一题多解的目的在于开拓同学们的思路,培养同学们的思维能力,还能促使养成对事物的探索精神,努力运用数学基础知识,找出更多的解题途径,提高解决问题的能力。