一道IMO试题的若干探索

第34届IMO有这样一道试题: 设D是锐角三角形ABC内部的一个点,使得∠ADB=∠ACB 90°,并有AC·BD=AD·BC。     

对一道IMO试题的探讨

命题 1　设 I是△ ABC的内心 ,并设△ ABC的内切圆与三边 BC,CA,AB分别相切于点K,L,M.过点 B平行于 MK的直线分别交直线 L M及 L K于点 R和 S.证明 :∠ RIS是锐角 .(图 1)这是第 39届IMO试题的第 5题 [1 ] .事实上 ,该命题若将“内切圆”改为“旁切圆”,结论仍然成立 .命题 2　设 I是△ABC的旁心 ,旁切圆与直线 BC,CA,AB分别相切于点K,L ,M.过点 B平行于 MK的直线分别交直线 L M,L K于点 R,S.则∠RIS是锐角 .证明　如图2 ,连结 BI,MI.∵SR∥MK,∴∠BSK =∠ MKL .∵ BM切⊙I于 M.∴∠ RMB =∠MKL.从而知∠B…     

对一道IMO试题的探究

正命题在ΔABC中,∠BCA的平分线与ΔABC的外接圆交于点R.与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q,设K、L分别是BC、AC的中点,证明:ΔRPK和ΔRQL的面积相等.(图1)     

对一道IMO试题的探究

命题1 在△ABC中,∠BCA的平分线与△ABC的外接圆交点R,与BC的垂直平分线交点P,与AC的垂直平分线交点Q．设K、L分别是BC、AC的中点,证明：△RPK和△RQL的面积相等．（图1）     

对一道IMO试题的探究

第49届IMO第二大题的第1小题是一道不等式的证明题： 问题1设实数x、y、z都不等于1，满足xyz=1，求证：     

对一道IMO试题的探究

命题一设 a、b、c 为正实数,旦满足 abc=1,试证:1/(a~3(b c)) 1/(b~3(c a)) 1/(c~3(a b))≥3/2.这是1995年第36届 IMO 试题的第二题.看似简单,却是我国参赛选手失分较高的一题.难怪96年秋季入学的一些大学生仍在思考这道题,我也有兴作如下思路、证法、题源、推广四方面的探究.     

对一道IMO试题的探究

题目在△ABC中,∠BCA的平分线与△ABC的外接圆交于点R,与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q．设K、L分别是BC、AC的中点．证明：△RPK和△RQL的面积相等。     

简解一道IMO试题

第34届IMO第5题是一道函数方程问题,标准答案提供的解法为构造法,其思路来得突然,使人不易理解其构造的缘由。这里提供一种解法,思路显得自然,且解题过程简捷。     

一道IMO试题的妙解

第33届IMO中有这样一道赛题: 在一个平面中,c为一个圆周,直线l是圆周的一条切线,M为l上一点,试求出具有如下性质的所有点P的集合:在直线l上存在两点Q和R,使得M是线段QR的中点,且c是△PQR的内切圆,经探索它有一个极其巧妙的解法,现介绍如下,以供参考。解:如图1,设Q、R在直线l上,M为QR的中点,c切PQ、QR、RP于A、B、C.c的圆心为O,OB交c于D,PD交QR于E,过D作Q_1R_1∥QR,分别交PQ、PR于Q_1、R_1,于是 PQ_1+Q_1D=PA, PR_1+R_1C=PC. ∴ PQ+Q_1D=PR_1+R_1C     

一道IMO试题的推广

我们首先来看第28届国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题1（见文献[1]）：设Pn（k）是集{1,2,…,n}的保持k个点不动的排列的数目,求证：     

一道IMO试题的推广

题目（第52届IMO试题）对任意由4个不同正整数组成的集合A={a1,a2,a3,a4},记SA=a1＋a2＋a3＋a4,设nA是满足ai＋aj（1≤i〈J≤4）整除乳的数对（i,J）的个数,求所有由4个不同正整数组成的集合A,使得nA达到最大值．     

一道IMO试题的讨论

本文对第31届IMO一道试题进行讨论,得出了更加完整系统的解答,并通过对其逆命题的讨论,引伸出一个有趣的几何题.题 设圆的两弦AB、CD交于圆内一点E,在线段EB内部有一点M,然后过D、E、M作圆,再过E作该圆的切线交BC、AC于F、G,若AM:AB=t,     

一道IMO试题的推广

设a,b,c为三角形的三边长,证明: ∑a~2b(a-b)≡a~2b(a-b)+b~2c(b-c)+c~2a(c-a)≥0 (1) 这是第24届IMO的一道试题. 经探讨,我们得到了与(1)类似的如下不等式: ∑a~3b(a-b)≥0 (2) ∑a~4b(a-b)≥0 (3) 证令a=y+z,b=z+x,c=x+y,并记σ_1=x+y+z,σ_2=xy+yz+zx,σ_3=xyz(x,y,z>0),则∑a~3b(a-b)=∑(σ_1-x)~3(z+x)(y-x)=∑(σ_1-x)~3(σ_2-x~2-2xz)=σ_2∑(σ_1~3-3σ_1~2x+3σ_1x~2-x~3)-∑(x+2z)(σ_1~3x-3σ_1~2x~2+3σ_1x~3-x~4)     

一道IMO试题的推广

2007年第48届IMO第4题是: 在△ABC中,∠ABC的平分张与△ABC的外接圆交于点R,与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q.     

一道IMO试题的推广

第42届IMO第二题为: 对所有正实数a,b,c,证明a/√a2+8bc+b/√b2+8ca+c/√c2+8ab≥1.     

一道IMO试题的推广

第46届 IMO 第3题是不等式问题:正实数 x,y,z 满足 xyz≥1,证明(x~5-x~2)/(x~5 y~2 z~2) (y~5-y~2)/(y~5 z~2 x~2) (z~5-z~2)/(z~5 x~2 y~2)≥0.本文对其指数及项数作出一般性的推广.     

一道IMO试题的加强

文[1]指出了△ABC中两名题(∑为循环和)∑a~2(b c-a)≤3abc,     

对一道IMO试题推广的证明

陈胜利老师在《中学教研(数学)》2003年第1期的《一道IMO试题的推广》一文的末尾提出如下猜想设a,b,c为△ABC三边长,n∈R,且n≥2,证明或否定     

一道IMO试题的推广

设 a、b、c为三角形的三边长,试证 222()()()0ababbcbccaca-+-+-? (1) 这是一道第24届IMO试题,本文从指数方向给出上述不等式的推广. 定理 设 a、b、c为三角形的三边长, 01g, 所以 abcggg+>; 同理,有 bcaggg+>,cabggg+>; 故以ag、bg、cg为三边长可构成三角形. 引理2 设 a、b、c为三角形的三边长, 2l,…     

一道IMO试题的别证

2007年7月第48届国际数学奥林匹克（IMO）第4题为： 在△ABC中,∠BCA的平分线与△ABC的外接圆交于点R,与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q．设K,L分别是边BC,AC的中点,证明：△RPK和△RQL的面积相等．