用向量证明柯西不等式(高一、高二、高三)

柯西不等式的证明方法很多,本文从余弦定理入手,引入向量,构造向量的内积,得到新的证明方法: 设a、b、c,分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边的长,由余弦定理知 C2=a2+b2-2abcosC ①在①中,分别以向量CB、CA、AB的模代替     

柯西和排序不等式(高二、高三)

柯西不等式和排序不等式是两个十分重要的不等式,应用广泛,从近几年国内外竞赛中不难看出,许多涉及不等式的赛题,若能灵活运用柯西不等式和排序不等式进行求解,便可获得较为简明的解法。     

可用向量证明不等式(高二、高三)

例1 设a、b、c、d∈R.求证: 证明令a1=ai+bj,a2=di+cj,其中i⊥j且|i|=|j|=1(以下各题同,略),a1、a2的夹角为θ(0≤θ≤π),则a1、a2的坐标分别为(a,b),(d,c),由向量数量积定义,得     

用向量证柯西不等式,很简捷!(高一、高二、高三)

设Ⅱ1,a2,…,a。;bl,bz,…,b。为两组实数,则有不等式(ni+n;+…+n;)(6}+b;+…+b;) ≥(。1b1+a2b2+…n。b。)。,其中等号当且仅当等一万a2一·一ian时取得.这就是很有用的著名的柯西不等式,现在我用向量证明: 若ai(i一1,2,…,”)全为零时,不等式显然成立. 若b:全为零时,不等式也显然成立. 若a。和bi都不全为零时,构造向量 X={a1,a2,…,a。},Y一{bl,bz,…,b。}并设向量的夹角为臼,则 (“1 b1+a2bz+…+a.b。)。 一(xy)。一J z l。J Y J。COS。0≤J X卜J Y J 一(a}+ai+…+ai)(b}+b;+…+b;), 当且仅当cosO一0,即x∥Y时等号成立, 当x∥y D~…     

构造向量 证明不等式(高一、高二、高三)

向量本身就是“数”与“形”的一种结合.因而,为解题带来了新的生长点,本文说明它在不等式证明中的应用.     

向量的应用(高二、高三)

平面向量是研究数学问题、物理问题的得力工具,用途十分广泛,也是近年高考命题的热点之一. 因此本文就平面向量的应用作了分类说明. 1.定比分点     

三角形与不等式(高二、高三)

看完贵刊2004年第4期中的《用重心公式解三角二例》一文后,我感受颇深.三角形与不等式之间的确有很多相通点,想到自己原来做题时也有所发现,就将它们作一简要总结与大家共享.     

柯西不等式与“希望杯”赛题(高一、高二、高三)

柯西不等式:对于任意实数ai,bi(i=1,2,…,n)有 (a1b1 a2b2 … anbn)2≤(a12 a22 … an2)(b12 b22 … bn2),当且仅当ai=kbi(k为常数)时成立. 柯西不等式揭示了任意两组实数积之和的平方与平方和之积间的大小关系,应用十分广泛.下面以近十年来的“希望杯”试题为例,供同学们参考.     

足球与不等式(高二、高三)

1.足球产品销售与不等式题1 甲级足球赛期间,甲、乙两名中学生参加社会实践活动,帮助一个玩具足球商推销产品,每次在同一比赛场地外同价卖出玩具足球(随着足球赛的进程,玩具足球的价格可能不同).他们在小组赛、复赛和决赛期间,各推销了三次,中学生甲每次卖出玩具足球1000只,中学生乙每次卖出玩具足球所得款为1000元.现在规定谁平均每只足球卖     

参数法证不等式(高二、高三)

用参数法证明不等式,思路新颖自然,操作简捷,应用广泛.基本思路是引入参数,建立与结论形式相似的不等式(多采用平均值不等式),然后赋值(多为平均值不等式成立条件),消去参数,实现所建不等式特殊化,从而得证.     

向量,说明了……(高二、高三)

2000年高考数学第18题是一道综合性的立何几何题,它以平行六面体为中心,综合考查了线线、线面和面面关系的计算和证明,特别是第(3)问,还考查了学生探索问题的能力,对考生的综合素质提出了较高的要求.     

向量,解几中显身手(高二、高三)

高中教材里,关于向量性质:①非零向量的数量积为②设向量则③设非零向量则     

在立体几何中用向量(高二、高三)

例1 如图1,设ABC-A1B1C1是直三棱柱,AB=AC,∠BAC=90°,M、Q分别是CC1、BC的中点,P点在A1 B1上且A1 P:PB1=1:2,如果AA1=AB,则AM与PQ所成的角等于( )     

函数与不等式(高一、高二、高三)

不等式与函数的关系很密切,当不等式中问题用常规方法不易解决时,不妨考虑用函数观点进行分析,可能比较容易求解,为此,本文介绍函数观点在不等式的证明、求最值及确定参数范围等方面的应用. 例1 设a,6∈R,求证     

用法向量求角(高二、高三)

直线和平面所成的角以及二面角问题是立体几何中的难点.由向量的平移性以及平面法向量知识可知,两平面法向量的夹角等于这两个平面所成的角或补角(要注意两法向量的方向),故利用平面法向量来解决角度问题是一条捷径.     

在解析几何中用向量(高二、高三)

例1 双曲线 (x2/a2)-(y2/b2)=1(a>0,6>0)的离心率e=(1+5~(1/2))/2,点A与点F分别是双曲线的左顶点和右焦点,B(0,b),求∠ABF的值.     

向量与相对运动(高一、高二、高三)

例1 有两个向量e1=(1,0),e2=(O,1),今有动点P从P0(-1,2)开始沿着向量e1 e2的方向做匀速直线运动,速度为|e1 e2|;另一动点Q,从Q0(-2,-1)开始沿着与向量3e1 2e2相同的方向做匀速直线运动,速度为     

用向量找点的射影(高二、高三)

求点到面,直线与平面或异面直线间的距离,通常转化为点到面的距离.其中的关键是确定点在面上的射影,这里.可利用向量的方法来确定:在平面内设出垂足的坐标,由四点共面的性质和线面垂直的性质列出方程组,即可解出垂足的坐标     

向量基底的选择(高一、高二、高三)

1.以共点向量为基底例1 在△ABC内求一点P,使PA2 PB2 PC2的值最小. 解如图1, 设CA=a,CB=b,CP=x,以a,b,x为一组基底,有PA=a-x,PB=b-x,故|PA|2 |PB|2 |PC|2     

用换元法证明不等式(高二、高三)

在不等式的证明过程中,按照所证不等式的结构特点,将不等式中的变量作适当的代换,可使不等式的结构明朗,从而使不等式变得容易证明,这种方法称为换元法.