一道高考立体几何解答题解法研究

2005年全国卷Ⅲ的立体几何试题如下: 如图1,在四棱锥 V—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD． (I)证明AB⊥平面 VAD;     

一道无棱二面角题目的不同解法

如图所示,ABCD是直角梯形,∠A BC=90°,SA⊥底面ABCD,AD=0.5,求面SCD与面SBA所成二面角的大小.解法一延长BA与CD,交于点P,连接SP.过点A作AE⊥SP,垂足为E,连接DE.∵SA⊥底面ABCD,AD?面ABCD,∴SA⊥AD.∵AD⊥AB,SA∩AB=A,∴AD⊥面SAB,∴AE为ED在底SAB内的射影.∵AE⊥SP,∴ED⊥SP,∴∠A ED即为面SCD与面SAB所成二面角的平面角.在Rt△SAP中,SA=AP=1,∴AE=2/2.在Rt△EAD中,tan∠A ED=12/2/2=22,∴∠A ED=arctan(2/2)点评无棱二面角的求解,关键在于如何寻找二面角的棱.很明显,在这个题目中,已经知道了…     

2004年全国高考数学(理)20题别解

原题　如图 1 ,已知四棱锥P -ABCD ,PB ⊥AD ,侧面PAD为边长为2的正三角形 ,底面ABCD是菱形 ,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为 1 2 0°.(Ⅰ )求点P到平面ABCD的距离 ;(Ⅱ )求面APB与面CPB所成的二面角的大小 .解　 (Ⅰ )取AD的中点E ,连结BE、PE .因为△PAD是正三角形 ,所以PE⊥AD ,又PB⊥AD ,所以AD⊥平面PBE ,所以BE⊥AD ,∠PEB是二面角P-AD-B的平面角 ,∠PEB=1 2 0再由AD ⊥平面PBE知面PBE ⊥面ABCD于BE .过P作PO ⊥BE交BE的延长线于O ,则PO ⊥平面ABCD ,PO的长度 ,为P到平面ABCD的距离 .在…     

高考浙江卷理科第17题（Ⅱ）的别解

题目如图1,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90,°PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.图1(Ⅰ)求证:PB⊥DM;(Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角.(Ⅱ)别解1(直接法)由题意知,MN∥BC,所以可作平行四边形CBN O,如图1.因为BN⊥平面DANM,所以CO⊥平面DANM.连DO,则∠CDO就是CD与平面ADMN所成的角.设AB=2.在R t△CDO中,CO=BN=2,CD=5,所以sin∠CDO=COCD=105.所以CD与平面ADMN所成的角的大小为∠CDO=arcsin105.说明要确定线CD在面ANMD上的射影,首先要找有关点在面上的射影,注意到…     

一道兰州市一诊数学选择题中体现的立体几何思想方法

<正>2019年3月的兰州市一诊数学试卷中选择题第10题是这样的:在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,AB=1,PD=2,则异面直线PA与BD所成角的余弦值为()。A.10~(1/2)/5B.3((10)~(1/2))/(10) C.(15)~(1/2)/5 D.(10)~(1/2)/(10)     

离子浓度的大小比较

因为EF //AB,所以EF∥面ABCD. 所以点E、F到面ABCD的距离相等. 因为F为PD中点,PA⊥底面ABCD, 所以点F到面ABCD的距离为1/2PA=1, 所以点E到面ABCD的距离d=1. 因为VE-ABC =VC-ABE, 所以1/3d·S△ABC=1/3CH·S△ABE,CH=√2. 又AC=2√5,所以sin∠CAH=CH/AC=√10/10. 故直线AC与面ABEF所成角的正弦值为√10/10.     

例谈计算推理在高考立体几何试题中的运用

区别于用定理推理的计算推理已成为近几年高考立体几何试题的一大亮点,不能不引起同学们足够的重视.例1(2007年全国Ⅰ理科卷)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ABC=45°,AB=2,BC=22%姨,平面SBC⊥底面ABCD,SB=SA=3%姨.(1)求证:SA⊥BC;(2)求直线SD与平面SAB所成角的大小.解析(1)如图1,取BC的中点O,连结AO,SO.因为∠ABC=45°,AB=     

参数思想在解立体几何题中的应用

参数思想是一种应用广泛的数学思想,在立体几何教学中应指导学生善于运用参数思想去解题。 1.独立性参数与非独立性参数 例1 在正四棱锥P—ABCD中,已知一对角面与侧面的面积之比为6~(1/2)∶2,求一侧面与底面的夹角。 分析 设底面的对角线AC、BD的交点为O,连PO,则PO⊥平面ABCD。 作OE⊥CD于E,并连PE,则PE⊥CD,∠PEO为侧面PCD与底面ABCD的夹角。 ∵正四棱锥P—ABCD的形状大小是制约∠PEO的条件,而BC=a,PO=h又是制约正四棱锥P—ABCD的形状大小的条件。 ∴BC=a,PO=h是制约∠PEO的条件,a、h就是根据制约∠PEO的条件而确定的参数。     

1994年一道上海高考立几题的解法分析

如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=π/2,AB=a,AD=3a,且∠ADC=arcsin5~(1/2)/5,又PA⊥平面ABCD,PA=a,求 (1) 二面角P-CD-A的大小(用反三角函数表示):     

利用向量方法求空间角问题例析

<正>一、求异面直线所成的角例1如图1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点。已知AB=2,AD=2x2^(1/2),PA=2。求:(1)△PCD的面积。(2)异面直线BC与AE所成的角的大小。     

用向量数量积解解几题

一、a·b=｜a｜｜b｜cosθ中的cosθ与S=12｜a｜｜b｜sinθ中的sinθ是建立起数量积与面积关系的桥梁.【例1】设i,j是平面直角坐标系内x轴,y轴正方向上的单位向量,且AB=4i 2j,AC=3i 4j,则△ABC的面积等于()(A)15(B)10(C)7.5(D)5分析:①由题意可知:AB=(4,2),AC=(3,4),所以｜AB｜=25,｜AC｜=5,AB·AC=4×3 2×4=20②由S△ABC=12｜AB｜｜AC｜sin∠BAC,故知必须先求sin∠BAC.由AB·AC=｜AB｜｜AC｜cos∠BAC,可得cos∠BAC=25从而由sin2∠BAC cos2∠BAC=1可求出∠BAC=55,S△ABC=5,故选D.二、利用a⊥bZx1x2 y1y2=0来实…     

一道几何题的多种证法

在△ ABC中 ,∠ C=90°,CD⊥ AB于 D,AM是∠ BAC的平分线 ,交 CD于 E,交 BC于 M,过E作 EF∥ AB交 BC于 F。求证 :CM=BF。证法一 :(运用三角形知识 )证明 :过 M作 MN⊥ AB于点 N。∵∠ 1=∠ 2 ,易证△ ACM≌△ ANM,∴CM=MN。　 ( 1)又 CD⊥ ABMN⊥ AB CD∥ MN, ∠ 3=∠ 5∠ 4 =∠ 5 ∠ 3=∠ 4 CE=CM。　 ( 2 )由 ( 1)、( 2 )得 CE=MN。在 Rt△ EFC和 Rt△ NBM中 ,EF∥ AB ∠ B=∠ CFE,∠ CEF=∠ MNB,CE=MN Rt△ EFC≌ Rt△ NBM,∴ CF=BM,∴ CM=BF。　　证法二 :(运用四边形知识 )证明 :过 M…     

对一道平面几何题进行探究性学习的几个方面

例题如图1,⊙O1与⊙O2外切于点P,两圆半径分别为R1,R2,且R1>R2,AB是两圆的外公切线,A,B为切点,AB与O1O2的延长线相交于点C,在AP的延长线上有一点E满足条件:AP∶AB=AC∶AE,求证:(Ⅰ)AC⊥EC;(Ⅱ)PC=EC.图11分析证明,串联基础知识分析(Ⅰ)连PB,O1A,O2B,由AP∶AB=AC∶AE,易知△APB∽△ACE.而要证AC⊥EC,只需证∠ACE=90°.因此,证题关键是证∠APB=90°,故只需证∠2 ∠3=90°.而∠2=∠1=90°-21∠AO1P,∠3=∠4=90°-21∠BO2P,又∠AO1P ∠BO2P=180°,故∠2 ∠3=90°.获证.(Ⅱ)由(Ⅰ),易证∠CPE=∠1=∠E,从而PC=B…     

利用空间向量轻松求解夹角

一求异面直线的夹角例1如图1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,AE⊥PD于E,PD与底面成30°角.求异面直线AE与CD所成的角.分析:如图1建立空间坐标系.依题意知A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,2a,0).在Rt△ADE中,∵∠PDA=30°,∴ED=3姨a,作EF⊥AD于F,则EF=3姨2a.在Rt△AEF中,AF=12a,∴E(0,12a,3姨2a).∴cos〈AE,CD〉=AE·CDAECD=2姨4.则异面直线AE与CD所成角的大小为arccos2姨4.点评:本题关键在于求E点坐标,进而求AE的坐标表式以便应用空间向量的夹角…     

一个相似基本图形在中考题中的应用

<正>一、原题呈现(2012凉山洲)如图1,在矩形ABCD中,AB=6,AD=12,点E在AD边上,且AE=8,EF⊥BE交CD于F.(1)求证:△ABE∽△DEF;(2)求EF的长.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形∴∠D=∠A=90°∴∠EBA+∠AEB=90°∵EF⊥BE,即∠BEF=90°∴∠DEF+∠AEB=90°∴∠DEF=∠EBA(同为∠AEB的余角)     

一道高考题的别解

2005年高考(全国卷)试题第18题:已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥CD,∠DAB=90°,PAD⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=1/2AB=1,M是PB的中点.     

你会构造异面直线所成的角吗?

题目 (2005年高考·全国卷I)已知四棱锥 P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°, PA⊥底面ABCD,且PA= AD=DC=1/2AB=1,求AC 与PB所成的角．     

由平角与三角形内角和得出的一个结论

题目1:已知,如图1,在矩形 ABCD 中,点E,F 分别在 BC、CD 上,且 CE=AB,CF=BE求证:AE⊥EF.证明:由条件可得△ABE≌△ECF,所以∠1=∠2,又∠B ∠1 ∠3=180°,∠AEF ∠3 ∠2=180°,所以∠AEF=∠B=∠C=90°,所以 AE⊥EF.     

空间中的勾股定理

在《立体几何》授课过程中,做过这么一道题,如下图:三棱锥V?ABC中,三个侧面VAB、VBC、VCA两两垂直,三侧面VAB、VBC、VCA与底面ABC所成的二面角分别为30°、45°、60°,底面积为1,求三棱锥的侧面积.解由三个侧面VAB、VBC、VCA两两垂直,易知,VA、VB、VC两两垂直.在平面VAB内,过点V作VF⊥AB于F,连结CF,易证CF⊥AB.∴∠V FC为侧面VAB与底面ABC所成的角的二面角,∠V FC=30°,∵△CAB在面VAB的射影是△VAB,∴VABcos30CABSS??=°,∴S?V AB=cos30°?S?CAB=3/2,同理可得cos452S?V BC=°?S?ABC=2,S?V CA=co…     

用计算证明几何(初二、初三)

例1 如图1,三个小正方形拼成矩形ABCD,连结AE、AF、AC, 求证:∠1=∠2+∠3. 证明设AB=a,则AE=2~(1/2)a,AF=5~(1/2)a,AC=10~(1/2)a. 在△AEF和△CEA中,