sum from k=0 to n P_n~k=?

在组合公式中有:C_n~0+C_n~1+C_n~2……C_n~n=2~n对于排列,约定:P_n~0=1,能否有一个简单的数学式表示sum from k=0 to n P_n~k呢?本文将给出明确的回答。设a_n=sum from k=0 to n P_n~k,由于数列{a_n}是由排列问题引出,所以称数列{a_n}为排列数列。经计算有:     

关于某些三角函数和函数的单调性

L·Fejer在[1]文中证明了下面的论断:二、如果面△~4an≥(n=1,2,…),b_n→O u b _1≠O_1则S(x)=sum from n=1 to ∞(b_n)SinnX在区间(π/2,π)上单减.2、如果△_4an≥O(n=1,2,…)且a_n→O,则C(x)=sum from n=1 to ∝(a_n)cosnx在区间(0,π)上单减.     

波波维奇型不等式与樊■型不等式

设a_i>0,i=1,2,……n,n+1,令A_n=[a_1+a_2+…+a_n]/n,G_n=(a_1,a_2,…a_n)n,则有拉多(R·Rado)不等式(n+1)(A_n+l-G_(n+1))≥n(A_n-G_n)(1)与波维奇(Popovie)不等式     

算术——几何平均值定理的几种简短证明

设a_1, a_2,…,a_n为n个正数,令A_n=(a_1+a_2+…a_n)/n,分别称A_n和G_n为这n个正数的算术平均值和几何平均值.算述——几何平均值定理 对于任意自然数n,有A_n≥G_n等号成立当且仅当a_1=a_2=…=a_n.应用高等数学中的几个简单不等式可以很容易地证明算术——几何平均值定理.[证法1]利用e~x≥1+x当且仅当x=0时取等号,有当且仅当诸a_i/A_n-1=0(i=1,2,…,n)即a_1=a_2=…=a_n=A_n时等号成立.证毕.[证法2]应用不等式ln(1+x)≤x,x∈(-1,+∞),等号当且仅当x=0时成立,就有     

浅议柯西不等式在中学数学教学中的应用

设任意实数a_i,b_i(i=1,2,……,n),有(a_1b_1+a_2b_2+……a_nb_n)~2≤((a_1)~2+(a_2)~2+……+(a_n)~2)(b_1~2+b_2~2+……+b_(?)~2)即(sum from i=1(a_ib_i))~2≤sum from i=1(a_i)~2·sum from i=1(b_i~2),并且当且仅当a_i/b_i=k;即a_i与b_i(i=1,2,……,n)成比例时取等号.这个不等式叫做柯西不等式.其证明方法在此省略,主要说明其应用方法.柯西不等式是一个重要的数学不等式,在中学教材中未提及,但在教学过程中若能适时地引入,可以大大简化解题过程,拓宽视野,起到事半功倍的作用,本文特举几例说明如下:例1 求证ac+bd≤(a~2+b~2)~(1/2)·(c~2+d~2)~(1/2)在中学阶段一般采用比较法或分析法,当ac+bd≤0时不等式显见成立.当ac+bd>0时用分析法.欲证ac+bd≤(a~2+b~2)~（1/2）·(c~2+d~2)~（1/2）,只须证(ac+bd)~2≤(a~2+b~2)(c~2+d~2)即 2abcd≤a~2d~2+b~2c~2即(ad—bc)~2≥0显见最后一个不等式成立.所以ac+bd≤(a~2+b~2)~（1/2）·(c~2+d~2)~（1/2）。其实由柯西不等式有:     

判定等差数列的两个方法

本文给出等差数列的两个判定方法,供学习中参考,现举例说明其方法和应用.1 通项公式是n的一次式,即通项公式判定法.数列{a_n}为等差数列的充要条件是a_n=pn+b(p,b为常数)证:必要性,设{a_n}是公差为d的等差数列,则:a_n=a_1+(n-1)d=d_n+(a_1-d)记:d=pa_1-d=b ∴a_n=pn+b(充分性)若a_n=pn+b(p,b为常数)则a_(n+1)=p(n+1)+b ∴a_(a+1)-a_n=p(n+1)+b-pn-b=p(n=1,2,3…)故{a_n}是等差数列.∴数列{a_n}是等差数列的充要条件是a_n=pn+b(p,b为常数)2 前n项的和是n的二次式(不含常数项)即前n项和判定法.     

求一个递推数列极限的几种方法

数列{a_n},a_1=1,a_(n+1)=(1/(1+a_n)),n∈N.根据此数列的特点,下面给出求其极限的三种方法,供读者参考.(一)用数学归纳法证明数列{a_n}的奇子列与偶子列的单调性,再由单调有界数列存在极限的公理求其极限.     

实数域R上的无穷级数的基本代数系统

甲 实数域R上的无穷常数项级数的基本代数系统一 实数域R上的常数项级数设 u_1,u_2,…u_n…∈Ru_1,u_2,…u_n…(1)是实数域R上的无穷数列,u_1+u_2+…+u_n+…=sum from n=1 to ∞ u_n (2)(2)叫做实数域R上的无穷级数,u_n叫做(2)的通项.     

sum from K=1 to ∞ a_kSin~2b_kx及sum from K=1 to ∞ a_k|Sinb_kx|等类函数的连续且无处左、右方可导性

本文推广了文[1]的定理,并讨论了sum from K=1 to∞(a_kSin~2b_kx)、sum from K=1 to∞(a_k|Sinb_kx|)等类函数的连续且无处左右方可导性。     

几个拉多型不等式

设a_i>0,i=1,2,…,n,n 1,令A_n=1/n(a_1 a_2 … a_n),G_n=(a_1a_2…a_n)~n,则有 (n 1)(A_(n 1)-G_(n 1)≥n(A_n-G_n) (1)式中等号当且仅当a_( 1)~u=G_n时成立。此不等式称为拉多(R.Rado)不等式。近年来,国内数学杂志已有不少文章加以讨论,有兴趣的读者可以查阅参考文献〔1〕,〔2〕、〔3〕,〔4〕,〔5〕等。 笔者在〔1〕中得到了另一种拉多型的不等式,即对于任何实数值a_1,a_2,…,a_n;b_1,b_2,…b_n来说,均有     

关于自然坐标系中符号规则的讨论

理论力学中研究曲线运动时,常以轨道的切线与法线为坐标轴建立坐标系,这种坐标系称自然坐标系。在自然坐标系中,质点的运动微分方程为 mdv/dt=sum from i=1 to n(F_(li)) (1) mv~2/p=sum from i=1 to n(F_(ni)) (2) 式中为曲线的曲率半径。应用上述方程解题时,需要确定切线τ与法线n的正方向。一般教材中只规定法线n的正方向,对切线τ的正方向没有统一的规定。如《理论力学简明教程》(肖士珣编)中规定:顺着质点运动的方向为切线τ的正方向;《理论力学教程》(周衍柏编)中对切线τ的方向没有明确说明。这样就给学习者造成混乱,无规则可循。     

用导数的方法判别级数的敛散性

判别级数sum from n=1 to∞u_n的敛散性,主要归结为判别正项级数sum from n=1 to∞|u_(?)|的敛散性。正项级数的敛散性有各种各样的形式,本文介绍两种利用导数判别级数敛散性的新方法。     

一类非线性中立型差分方程最终正解的存在性

本文通过讨论一类非线性差分方程Δ(x_n-p_nx_(n-τ))+sum from i=1 to k(q_i(n))muitiply from j=1 to m_i(|x_n-σ_y|α_ySgnx_n)=0,n≥0最终正解的存在性,得到了差分方程Δ(x_n-x_(n-τ))+q(n)muitiqly from j=1 to m_i(|x_n-σ_j|α_jsgnx_n)=0有最终正解与方程Δ(x_n-x_(n-τ))+1/τq_nx_n~α=0有最终正解的等价性。     

用同余理论证明数的整除

在数的整除理论中,经常要判断一个数能否被另一个数整除.虽然用初等方法也能证明判断的正确性,但用同余理论解决这类问题,更是简捷明了,而且有一定的高度.在这里,我们将不加证明也反复用到如下事实:1.设b_i(i=1,2,……,n)C都是整数,若对于i的每一个可能值都有c|b_i,则c|sum from i=1(b_(?))2.设a、b、c、m>0,n>0都是整数,若a≡b(modm),则有a~n≡b~n(modm)及ac≡bc(modm).3.设a_1 b_1及m>0均为整数,若a_i≡b_i(modm),i=1,2,…n则有sum from i=1(a_i)≡sum from i=1(b_i)(modm)及multiply from i=1(a_i)(modm)例1,任何一个整数a=a_na_(n-1)…a_1a_1(a_0、 a_1、…依次是这个n+1位整数的个位、十位、…上的数字,0≤a_i<10,a≠0.下同)都可以用科学计数法写成如下形式.a=a_n×10~n十a_(n-1)×10~(n-1)十…a_1×10十a_0.上式右边的 n十1项中,前n项都能被2或5整除,那么,a能否被2或5整除就取决于最后一项 a_0了.因此,只要a的个位数字是0,2,4,6,8中的一个,a就能使2整除,只要a的个位数字是0或5,a就能被5整除.用同余理论,这一事实可证明如下:     

一个命题的联想、拓广与应用

引 言 在代数中,众所周知有如下命题成立:[原命题]:若 ab=1(a≠-1,b≠-1),则: 1/(1+a)+1/(1+b)=1 (1) a/(1+a)+b/(1+b)=1 (2) 文[1]笔者给出原命题的推广结论:[推广Ⅰ]:若multiply from k=1 to n(x_k)=1,且f(k)=1+x_k+x_kx_(k+1)+…x_kx_(k+1)…x_nx_1x_2…x_(k-2),(f(k)≠0),并设f_v(k)为多项式 f(k)的第i项,则:     

递推数列的构造与求法

在一些特殊数列中,既非等差数列又非等比数列。往往根据观察求其通项公式,这既要有深厚的数学功底,又要对所求数列进行证明。是否可用中学生学过的等差和等比数列通项公式与求和公式求此类数列的通项公式呢?下面谈谈本人在此方面的粗浅体会。 如:数列{a_n}中a_1=1a_(n+1)=2a_n+1求数列a_n通项公式及a_k     

加权平均值基本不等式的分析证明

本文运用数学分析的观点与方法在证明了(sum form k=1 to n (qka_k~r))~(1/r)的单调性的基础上导出n个常见的基本不等式成立的结论。     

体育课程难度及其定量模型构建的研究

从课程难度的含义过渡到对体育课程难度的论析,并研究得出体育课程难度的独有特征:(1)体育课程知识学习的亲历性特征;(2)体育课程知识整体上的纵向非逻辑顺序特征;(3)体育课程知识的一个项目中动作技术的逻辑性与非逻辑性并存特征.结合体育本身的特点,研究得出体育课程难度的定量模型:N≈αS/T+(1-α)G/T+ N2.     

有关极限概念的教学感想

极限概念是高等教学中最重要同时也是最基本的一个概念,学生在理解和掌握这一概念时常会遇到困难,特别是关于极限的“ε—N”语言及“ε—3”语言的定义法一直是学生学习的难点,同时也是教师教学的难点.目前大多数教材处理这部分内容时,一般都是根据取极限过程的不同特点,给出不同形式的定义.这种做法占用时间过多,且显得过于繁琐.尤其是对那些成人的非数学专业的学生,教学效果很不理想.因此我在教学中做了些尝试;首先通过一些具体的例子使学生对于极限的概念有一直观形象的理解,然的再给极限下一个统一形象的定义,最后根据各种具体情况下的严格数学定义.这种做法可以使学生集中精力领会“极限”这一概念的实质,而不至于被各种具体的情形搞晕.当学生真正理解了极限的直观定义之后,对各种变化过程中极限的严格定义就“呼之即出”了,同时也节省了教学时间.1.举例渗透极限思想极限是对某一指定变化过程中的变量y数值变化“趋势”的“数量化”描述,若用t表示所考虑变化过程的一个“时刻”,则变量y是时刻t的函数:y=y(t)例1:a_n=n/(n+1)这时所考虑的变化过程只有一种情形,即n=1,2,3,…一直下去越来越大,我们来看变量a_n在n越来越大时的变化趋势,这里n相当于我们上面所说的“时刻t”,a_n相当于y(t).由于“     

论静电场能量

普通物理电磁学教材中,关于静电场能量问题从不同角度进行了论述.能量是一个重要物理概念,有实用价值.它是物质的固有属性弄清静电能的概念,对解决静电学问题以及电场的物质性质的认识都是非常重要的,但是学生学习这部分知识,对静电场能量概念及其中的一些重要公式感到不好理解,理解不深不透在处理静电场能量的问题中易于出现差错,同时中学物理教材中也有关于静电场的能量问题学生虽然学习过静电场能量问题,解决实际问题不能用静电场能量的观点进一步认识静电场能量的物质及其转化规律,对这一问题有必要深入探讨和认识.1 公式间的区别及其物理意义点电荷系的静电能量 W_e=1/2sum from i=1 to (?)(q_1(?)_1)……(1)连续分布带电体系的静电能量 W_e=1/2integral vp(?)dv+1/2integral so(?)ds……(2)真空中静电场能量 W_e=1/2integral vq_0E~2dV……(3)一个带电体系的能量可分为势能和动能,由于在静电学电荷之间不发生相对运动.因而带电体系统的能量完全以势能的形式存在,它等于两部分之和.