也谈Z_3-Z_1=K(Z_2-Z_1)(cosθ isinθ)的应用

本Tll83年第6期《介~:,二K份2一:,)(。058 ‘sin口)的应用》一文指出:在复平面内.者点Z,,2:,23表示复数:,二2,。,且乖:与才二式夹兔为。,}气里里叁轰!一*,则 ,212:‘ 燕一气二K(翱一B1)(eo。口 ￡51牡夕)(,) 对于涉及两线段的长度及其夹角的问题,若把坐.二4. ,,。,穿不万东失、     

复平面上两点间距离的另一公式及应用

在复平面内若已知点A,B对应的复数是z;,z:,则A、B两点间的距离是!ABI二!Z:一z,.同时我们根据高中代数(甲种本)第二册p:i。第7题的结论得到另一个两点间的距离公式:!z,一z:l’=2{z:12十212,!2一!Z, Z,!2(带)从图一我们可以看出这一公式的实际意义,由此可知它是一个重要的公式,它在解决许多间题上显示了重要的作用。 一、求轨迹苏l十云么 例12满足{Z一212 }Z 2},=16,求Z点的轨迹方程. 解:由(朱)得}Z一2{2 }Z 21’ =2}2 12 2}2 12。 再根据所给条件有: 2 j ZJZ 8二16,则1 Zj=2.故Z点轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆.,.__,__奋一二1一_~…     

平移在复数中的应用

由复数加法法则可知,两个复数相加的几何意义是把加数中的一个复数对应的点进行有规律的平移,平移后得到的点对应的复数就是其和。利用这一观点解决有关复数问题更简捷。 依据:z=x+yi,z_0_a+bi(x,y,a,b∈R)由复数加法法则知z+z_0=(x+a)+(y+b)i 结论:复数z对应复平面内的点z,点z+(a+bi)是把点z沿实轴方向移动|a|个单位(a>0时向右移动;a<0时向左移动)再沿虚轴方向移动,61个单位(b>0时向上移动,b<0时向下移动)得到的。 本文称这种方法为平移法,下而举例说明这种方法的应用。 例1.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,求|z+1+i|的最小值。 解:由复数的几何意义知复数z为以A(0,-1),B(0,1)为端点的线段AB,而z+1+i表线段AB向右平移一个单位,再向上平移一个单位得到的线段A′B′,(如图所示),而|z+1+i|最小值表线段A′B′上的点到原点的最短距离,即|z+1+i|_(min)=|OA′|=1。     

求一类“伴随曲线”的复数解法

我们们先推导两个有公共起点且夹角为θ的复向量AB、AC间的一个公式。在复平面内,设向量AB、AC所表示的复数分別为,且点A、B、C所表示的复数分另为z、z_B、z_C, 又设|AC|=λ|AB|(λ>0)。则根据复数减法、乘法的几何意义有:     

方程求解向量分解式遇到的问题

正这是一道向量的典型题目,几乎在所有的练习册中都要出现,如果不观察点的位置,盲目列式,就得不到有效的方程组,使问题得以解决,本人用这道题将这个问题进行说明。已知:在△ABC中,点D是边AB的三等分点,点E是边AC的中点,BE与CD相交于点F。求:(1)用AB和AC表示AF(2)用BC和BA表示BF解:(1)方法一:【分析】利用1平面向量基本定理2A、B、C三点共线OA=xOB+yOC且x+y=1列方程组求解。∵点D是边AB的三等分点,点E是边AC的中点     

i在解题中的妙用

在解题中若能灵活运用虚数单位￡这个特殊数,能使一些问题化繁为简. 例1.二:是复平面内曲线l二一5,一!二 5{=6上的点。动点君:满足Z:=幻i 3,求动点Z,的轨迹方程. 解.丫幻一午兰一:、‘。,代入已知曲线的方程得卜:j: ,卜。卜卜‘,‘ 3, 51=6,详拿至lJ!‘!“l,可得}一之、; 3,一6!·I:卜‘一之i‘ 3名 。卜l‘l二6,故21的轨迹方程是!z一(3 5‘)l一I二一(,一5‘)!二6,它是双曲线的一支。 例2.解方程分 7十24f,。 解:根据二项方程的根的几何意义以及复数乘法的几何意义知:该方程的所有根可通过其中任一个根平沐季尽l得到,因而可有下面的解法·…     

联想·猜想·证明

部编教材《几何》第二册p24第九题: 已知:如图AC工AB,BD一AB,AD和BC相交于点E,EF一AB,垂足为F,又AC 再想下去:若以过E、C、D的抛物线,且H为抛物线的焦点,便可以得到常见的解析几何习题:=P,刀D·q,FE·下,AF=功,FB二刀,1)、用m、,表示于,用二、。表示兰 q 已知:过抛物线扩=ZPx的焦点F任作一直线交抛物线于A、B两点,设}AF}二二,{BF!=n,2一p 一一i一” +1︸嫩证明李十 p_毛二王求证: 、、、.声、.产,曰nJ证明:1),.’ EF工AB AC上AB卜EF,‘c在△ACB中二二二二二二二二二二‘二二二二二兮.兰二P n阴+刀.2)同理可得上一= q…     

例说求线段的长

例l如图1,D为线段AB的中点,E为线段刀C的中点,C在AB的延长线上,AC一12,EC一4,求AD的长, 解’:E为BC的中点,EC一4,:.BC二ZEC一8. 丫AC~12, .’. AB一AC一BC一4.A D B Ec图1丫D为AB的中点,。.。AD-喜AB一2.乙 例2如图2,已知线段AB~16,C点在线段AB上,D和E分别是AC、CB的中点,那么DE的长为一解题方法一 解‘:D和E分别是AC、CB的中点,‘---日匕--~山~~~~~~A D C EB 1,~:二二-二,且L 艺图2…DC:。DE例3一DC+EC一EC= 1~n十万万七力 乙 X1一2 1,,~.on、一二二L入七十七力少 乙 1,。-二丁J气力- Z16=8如图3,延长线…     

动点轨迹的复数方程的几种求法

在高二数学“复数”这一章的学习中,如何在复平面内求动点Z的轨迹方程是复数知识的一个重点,也是一个难点.在复平面内,动点对应的是一对变化的实数,动点轨迹是实数方程f(x,y)=0;而在复平面内,动点对应的是一个变化的复数,动点轨迹的复数方程是f(z)=0.这两个方程在本质上是完全一致的,都是以数表示点,以方程表示曲线,但在形式上并不相同,所以在复平面内求点Z的轨迹可以利用、借鉴实平面内求轨迹的方法,还可以利用复数所具有的特殊性质另辟蹊径.下边略举几例说明求轨迹复数方程的一些方法.     

用圆求最值

●妙法多多●用圆求最值☆周继祥 圆与很多最值有关,比如,直径是圆中最大的弦,面积一定的平面图形中,圆的周长最短.因此,对某些问题,我们可用圆(或半圆、扇形等)求最值,下面举例说明. 例1 已知两线段l、m满足l2+m2=k2(k>0且为定值),求l+m的最大值. 分析:因为l2+m2=k2,k>0且为定值,故可作Rt△ABC,∠C=90°,AB=k,AC=l,BC=m.这样,问题就转化为在以AB为斜边的直角三角形中,求两直角边之和的最大值. 解:如图1,以O为圆心作半圆AB,使AB=k,在AB上任取一点C.则在Rt△ABC中,AC2+BC2=k2,延长AC至P,使CP=C…     

复平面上圆方程的若干等价命题

我们知道 ,解有关复数的命题大体有三大策略 :(1)化归思想 ;(2 )整体思想 ;(3)数形结合 .本文以数形结合的解题思想为中心 ,探讨复平面上圆方程的若干等价命题 ,供同行参考和指正 .定理 1　下列六个命题彼此等价 :1.虚数 z满足 |z|=r(r是正实数 ) .2 .虚数 z满足 |z2 |+(1- r) |z|- r=0(r是正实数 ) .3.虚数 z满足 zz=r2 (r是正实数 ) .4 .虚数 z满足 - 2 r相似文献   

中国台北第一届数学奥林匹克

第一天“992一05一03)一兴< d。匕 12十丫万‘ 1.设A,B是已给圆上的两点,M是AB的中点.记此圆在A点的切线为l,C是从B向l引垂线的垂足.又圆在M点的切线分别交万云及石乙于A’及B’.证明:若之BAC<晋,则(△ABC,<2(△A‘B‘C‘,· 证明如图,设已给圆O的半径为R,记a~匕BAC.由题设BC土AC, O.,_A‘C从四,-顶下二一1一 司气七AA‘AC)鱿~匕互之 2十了歹‘ .了厄一一2因M是AB的中点,故A‘B‘// AB.所以△ABC的△A于是, (△A‘B‘C‘.B‘C)(△ABC) ,A‘C、,_1~L一万于二)“尸夕不丁 Z性七乙有 AC~ABeosa·又AB ~ZRsin匕AOM …     

1989年湖北黄冈地区高中数学竞赛试题及解答

一、选择题 1.5 5 na 51。夕=5 in(a 夕)的充要条件是(). (A)a 夕=0.(B)a=夕== Zk‘(k任Z). (C)a,口中至少有一个是Zk二(k任2). (D)a,夕,a 夕中至少有一个是2无斌无任Z). (A)0个.(B)1个.(C)2个- (D)无穷多个. 4.设::二一1 :,::=2 女,复数:满足}:一:,}一{:一:2{=弓.则表示复数:的点的轨迹是(). (A)双曲线.(B)双曲线一支. (C)一条直线.(D)一条射线.1了2了3一11了2一12.2“ 1末位数是(宝数列毛手、‘J1丫2一3(3了提(A)3.(B)5.(C)7. )。(D)9.则这数歹11第1989项3.将平面上两坐标均为整数的点称为整点,则曲线夕=数为().4丁夕口2 98一尤…     

2005年高考理科数学模拟试题(二)

一、单项选择题 1.复数Z,一3+,.2:一1一,.则Z二Z,·Z:在复平面上对应的点位于() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.给出下列命题 ①若两非零向量及荡,使得妥一忘(*任R).那么及//石 ②若两非零向量及另共线.则石一疡以任R) ③若人任尺,则石//妥 ①若义,:‘〔尺.几铸‘,.则以+“)蕊与蕊共线 其中正确命题的个数是() A .1 B 2 C.3 D.4 3.圆了+一+2二+4y一3一。上到直线,+y+1一。的距离为丫一了的点共有( A .1 B.2 C.3 D.4 4.已知平面a,月,。,直线l,m满足:l土m,a土:,二自a一,n,:门夕~l,那么在:①夕土二 条件推出的只有() A.…     

数学(三)期末复习自测题

一、复数 1.数_称为虚数单位。 2.i的幂有周期性,所以_=1、 =1、=i、=-i。 3.1 i i~2 … i~(50)_。 4.复数Z的代数形式是_、三角形 式是_。 5.复数Z=a bi(其中a、b都为实数)中a叫做_、bi叫做_、b叫做_;Z表示实数需满足_,Z表示0需满足_且_,Z表示虚数需满足_,Z表示纯虚数需满足_且_。 6.两个复数Z=a bi、Z_1=c di ,Z=Z_1的条件是_和_。 7.如果两个复数都是_,可以比较大小,如果_,就不能比较大小。 8.在复平面上x轴称为_,y轴称为_,原点O在_上,它表示_。 9.两个互为共轭复数Z与的实部 _,虚部_;Z =,Z-= ,Z·=,=。 10.复数Z=a bi可以用复平面以 _为起点,点_为终点的向量来表示,向量的_叫做这个向量的模。 11.复数Z=a bi(a≠0)的幅角θ可用公式_求得,模可用公式_求得。两个共轭复数的模_。 12.Z=a bi化成r(cosθ iSinθ)来表示,其中模r=_,幅角θ有公式cos=_,sinθ=_。 13.复数幅角θ的主值取_,在电     

每期一题

题:已知:、:,是复数,且}‘卜1,‘正明:}r气周=‘。 !‘一:,】里一补丁不飞1万-证法一用复数的三角法证明’:}‘卜1,设z二coso+‘Sin。, 之x二了,(eoso;+15 ino,)s则了=eoso一fs ino。:.}一兰二乙一}=1。 11一名.考11(’:1‘1=1,证法四:.‘一乞=!:}“变换法(利少}」11,z=1)万之来证明){:一之,! i之一z, {1一“一‘,__}兰二兰、(,八一七之、一}二: !叉一2.21!}之Z一2.之1}i一‘“,{eos(一O:)=二}之一z:}训l+r一么一2::}}:一:、}了1+,一2一2,·leos(e一0:)(’:!:卜}:}价一i==l),12 一一 211之证法二用复数的代数法证明(2)1=1-2才=l自丁万五丁…     

一道立体几何高考题两种解法之比较

2004年高考(江苏卷)第四大题:在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1=4CP(图1).(1)求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小;(2)设点O在平面D1AP上射影为H,求证D1H⊥AP;(3)求点P到平面ABD1的距离.解(1)连结BP,∵AB⊥平面BC1,∴∠APB为直线AP与平面BCC1B1所成角的大小.在RtABP中,AB=4,BP=12+42=17,∴tan∠APB=ABBP=417=41717.故直线AP与平面BCC1B1所成角为arctan41717.(2)∵点O在平面D1AP的射影为H,∴OH⊥AP,∵PC⊥平面AC,AC为AP在平面AC上射影,AC⊥BD.∴BD⊥AP…     

几个复数公式的应用

复数Z=eosa+1 sina的共扼复数是万=eosa_fsina,显然 Z·Z=l,Z+Z二2 eosa,Z一Z=21 sina 可以推导出: 例3.求tgg’+etg 117一tgZ军3一etg 35!’的值(82年高考文科数学试题、 解:设z=cosg’+‘sing‘那么矛二‘,沙”~一l则tgg“= 22一li(二2+l)COS口=之2十l 2之Slna二二沙一l 2万z,tga=沙一l公(:2+l)再根据棣莫佛定理,可得tg27 护一lf(:6+1)COS月口=之Zn+1 2二刀Sln路a=之Zn一l Zf之路tg 63 之2。一之5‘(22。+:舀) 才一卜l公(之。一l)tg”a二了zZn一1(zZn+l)tg 81。_zl’一l一i(zl4千一已 218一l i(:,8+l) 22了,_之2i(之20+之2之2+If…     

高二数学单元练习题—复数部分

,几一,︸ 一、选择题(选出唯一正确答案) 1.若了(幻=,1十幻一:,且j(一:)=!。一认则复数二为 (A)3 5:;·(B)5 3‘;(C)一,一5‘: (D)一5一31‘答:() 2.一个模等于1的复数二,使得J万 ‘ 二的模最大,‘则z是,。、1一了万.1 了了,气七少—州卜一——甘 44,。、/了丁、」7少I— \2co·晶二 ‘s,n矗二答:()4.复平面上的点Z在曲线!引=3上变动,‘“)雀一 穿‘;‘C,夸一扣(B)(D)1了万22,当幅角口变化时,且复点。了3—一一气~ Q数叨满和一音(z 幼构成的曲线是 (A)双曲线;(B)圆;(C)椭圆;(D)抛物线. 答:() 答:(、在复平面的上半平面内有一个正方…     

一道题的联想

六年制重点中学高中数学课本《代数》第二册上有这样一道题:设点Z表示复数z,在复平面内如何通过画图的方法找出表示复数z (3 4i)的点按题目的要求,可随意确定点Z,找出点Z_0(3,4)。然后根据复数的几何加法——向量的平行四边形法则,画出以OZ、OZ_0为邻边的□的对角线OZ_1,则点Z_1表示复数