完全平方数和完全平方式

设n是自然数,若存在自然数m,使得n=m^2,则称n是一个完全平方数（或平方数）．     

完全平方数

长久以来，在数学竞争中数论的内容往往是分值相对较高的一部分内容，由于数论比较抽象。学生学习起来有一定难度，因此也易陷入学习的误区，大多数学学生往往采用死记硬背的方法来消化所学的内容，     

完全平方数

完全平方数是数论中较为常见的一类问题,经常出现在各种数学竞赛中．在解决与完全平方数有关的问题时,需要用到完全平方数的性质及整数的有关知识,比如：     

完全平方数（上）

完全平方数是一类常见的特殊自然数．本文介绍涉及完全平方数的问题的常用解题方法． 1利用完全平方数的因数特征 完全平方数的因数具有如下特征：（1）n^2的标准分解式中,每个质因数的指数都是偶数．     

n^2与（n＋1）^2之间没有自然数的完全平方数

对于任意自然数n，n^2与（n＋1）^2之间没有自然数的完全平方数，这是一个非常明显的数学事实．在处理某些涉及完全平方数的数学竞赛试题时，这一结论有着不可低估的作用．下面以各地数学竞赛试题为例来说明．     

完全平方数

长久以来,在数学竞赛中数论的内容往往是分值相对较高的一部分内容,由于数论内容比较抽象,学生学习起来有一定难度。因此也易陷入学习的误区,大多数学生往往采用死记硬背的方法来消化所学的内容,导致各个知识点都似曾相识,但遇到实际题目却一筹莫展．同时,由于数论题目的叙述往往只有几句话,甚至只有一行,导致学生产生读题障碍。读不出题中的意思,解不出题,因此,本讲将以数论中的一个重要内容“完全平方数”为载体,通过例题分析．向读者揭示如何灵活利用定理,解决“完全平方数”题的一般途径,希望也能借此帮助大家一窥解决数论问题的一般途径．     

完全平方数（下）

4利用完全平方数序列的间距特征 完全平方数序列的间距具有如下特征：（1）m^2-n^2≥3（0〈n〈m,m、n∈N）;（2）m^2与（m＋1）^2之间不存在完全平方数,即：若m^2〈P〈（m＋1）^2,则p不是完全平方数．     

完全平方数问题

2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛最后一题是一个关于完全平方数的问题：已知a为实数,且存在正整数n0,使得√n0＋a为正有理数,证明：存在无穷多个正整数n,使得√n＋a为有理数．     

完全平方数问题的求解策略

若a是整数，则a2就叫做a的完全平方数，简称平方数．     

完全平方数的简单性质及应用

1 性质(1)任何一个完全平方数的个位数只能是:0,1,4,5,6,9.(2)个位数是2,3,7,8的数一定不是完全平方数.(3)相邻两个完全平方数之间的数一定不是完全平方数.(4)个位数字和十位数字都是奇数的数一     

一道“匹配完全平方数”的竞赛题的推广

如下的一道利用和式来“匹配完全平方数”的竞赛题是不少人所熟悉和感兴趣的：     

奇妙的完全平方数

小朋友,请你在下面两个等号左边的"○"内填入0、3、4、5、6、7、8、9各一次,在每个等号右边的"□"内分别填入1、2、3、4、5、6、7、8。怎么样,是不是有点儿难?没关系,只要你有耐心,一定可以填     

二次域 （√P）中的完全平方数

运用Pell方程的知识,借助于不定方程的解题方法,对二次域 （√P）的基本单位的范进行研究．给出了Pell方程的解,并证明了对于任意素数p,存在无穷多个形如py^z±1的完全平方数,进一步说明了对于任意无平方因子数d,存在着无穷多个形如dy^2＋1的完全平方数．     

递推数列中的完全平方数分析

完全平方数分析是竞赛数论中的常见问题,文[1]归纳了一些判断完全平方数的方法.而在近年的赛题中,还出现了以(递推)数列为载体的完全平方数分析问题,这类问题中,不仅涉及到完全平方数的性质研究,还需要借助递推数列的处理技巧,如构造、配凑、变阶等,形成别具一格的题型.本文针对这类问题,在解题方法上进行探究和归纳,以飨读者.     

巧用较大完全平方数的平方根

对于求较大数的平方根，同学们知道，一是查表，二是用笔算开平方法．但是，考试一般不允许查表，用笔算开平方较繁琐且又不易掌握，为了给以后用公式法解一元二次方程，特别是解应用题打下坚实的基础，特介绍两条捷径，供读参考．     

“n^2与（n＋1）2之间没有自然数的完全平方数”的巧应用

任意自然数n，n^2与（n＋1）^2之间没有自然数的完全平方数，这是一个非常明显的数学事实．这一结论在处理某些涉及完全平方数的数学竞赛试题时，有着不可低估的作用．下面以数学竞赛试题为例来说明．     

两种类型双色完全平方数的构造

两位印度数学家于1996年首先发现了完全平方数的一种奇妙性质,即当正整数k=956～968时,k²均为六位数,把它的前三位数与后三位数相加,得到的和也是完全平方数。而后国内初等数学研究爱好者出现了对其研究的热潮,高一学生杨晨曦于2020年发表文章对该问题做了变式研究,但丢掉了6个数,笔者的文章是对该类问题研究的继续。     

印度数学家的新发现

请同学们看一看，下面13个连续自然数的性质奇不奇？妙不妙？