哪种方法好

老师说汪辉同学的解法较好 ,很简捷 .王婷同学是学习委员 ,当然不甘落后 .她观察方程 3ｘ(ｘ -1 ) =2 -2ｘ ,发现 2 -2ｘ =-2 (ｘ -1 ) ,这样 ,方程左右两边有公因式 (ｘ -1 ) ,能否用提公因式法来解呢 ?于是她这样解 :移项 ,得 3ｘ(ｘ -1 ) +2ｘ -2 =0 3ｘ(ｘ -1 ) +2 (ｘ -1 ) =0 (ｘ -1 ) ( 3ｘ +2 ) =0 ｘ1=1 ,ｘ2 =-23 .老师说王婷同学的解法更具特色 .她观察得仔细 ,发现了公因式 (ｘ -1 ) ,使问题迎刃而解 .同学们只要善于动脑筋 ,并学会观察与联想 ,自己的思维能力一定会得到提高 .哪种方法好@丁燮涛…     

抓特征巧解一元一次方程

在熟练掌握一元一次方程解法的基础上,若能抓住方程特征,并根据不同特征得到巧解。一、巧用乘法例1解方程0.25x=2.分析:因0.25×4=1,故两边同乘以4要比两边除以0.25简便易求。解:两边同乘以4,得x=8.二、直接加减例2解方程191z+72=92z-75.分析:常规方法是先去分母,注意到191z-29z=z,-75-27=-1,直接移项加减更快。解:移项,得191z-92z=-75-72,∴z=-1.三、巧对消例3解方程x-31[x-31(x-9)]=19(x-9).分析:从整体上观察方程两边,左边先去中括号有91(x-9)这一项,这可与右边的相同项对消。解:去中括号,得x-31x+91(x-9)=91(x-9),∴x-31x=0,故x=0.四、…     

解分式方程常见错误分析

一、去分母时漏乘整式项例 1　解方程 :1ｘ -2 =1 -ｘ2 -ｘ-3 .　错解　原方程可化为 1ｘ -2 =ｘ -1ｘ -2 -3 .去分母 ,得 1 =ｘ -1 -3 .∴　ｘ =5 .分析　错解的原因是方程两边同乘以(ｘ-2 )时 ,等式右边漏乘整式项 -3 .正确答案为 :原方程无解 .二、去分母时分子中的多项式忘记添括号例 2　解方程 :17-ｘ-6-ｘ7-ｘ=3 .　错解　去分母 ,得 1 -6-ｘ =3 (7-ｘ) .∴　ｘ =1 3 .分析　去分母时 ,若分式的分子是多项式 ,则应用括号括起来 .在本题中 ,6-ｘ应写成(6-ｘ) ,然后再去分母求解 .正确答案为ｘ =1 32 .三、忽视对根的检验例 3　解方程 :…     

分式方程的几种特殊解法

解分式方程的基本方法是在方程两边都乘以各分式的最简公分母,约分后化为整式方程而求解.但对于有些分式方程,若根据其结构特征,采用某些特殊的解法,可以使解题过程变得更简捷.下面我们来看几个具体的例子.一、移项合并法例1解方程6=x-x.x-6x-6解:移项,得x=x-6,即x=x-6.x-6x-6x-6因为x-6,所以x=1.≠0经检验,是原方程的根.x=12 x=x-2.x练习解方程x-2(答案:1)二、分子相等法例2解方程4=5.x 32x 3解:原方程可化为20=20,即5(x 3)4(2x 3)5(x 3)=4(2x 3).解得x=1.经检验,是原方程的根.x=1练习解方程2=3.x 12x 3(答案:-3)三、等式性质法例3解方程x-…     

一元一次方程错解例析

在一元一次方程的求解过程中,一些初学者由于忽视了变形前后的同解性,常会出现这样那样的错误.现就几类比较常见的病例,简要分析如下.一、解题格式不对致错例1解方程5x-2=3x 4.错解:5x-3x=4 2=2x=6=x=3.评析:这里混淆了方程的同解变形和代数式的恒等变形,解方程进行同解变形时不能用等号连等.二、移项不变号致错例2解方程5x 1=3x 7.错解:5x 3x=7 1.解得:x=1.评析:移项法则掌握不牢,方程中的项从等式的一端移到另一端时,一定要改变原来的符号.三、去括号忘记法则致错例3解方程5x-2(8-x)=6x-3(4-x).错解:5x-16-x=6x-12-x.移项、合并同类项,得-…     

评析一道考查学生创新意识的中考题

考查学生的创新意识已成为中考命题的趋势 .为了引起广大师生的注意 ,本文以 2 0 0 0年北京市朝阳区的一道中考题为例 ,评析此类问题的解法 .题目　 ( 1 )解下列方程 :①ｘ2 -2ｘ -2 =0 .② 2ｘ2 +3ｘ -1 =0 .③ 2ｘ2 -4ｘ +1 =0 .④ｘ2 +6ｘ +3 =0 .( 2 )上面的四个方程中 ,有三个方程的一次项系数有共同特点 ,请你用代数式表示这个特点 ,并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式 .评析一道考查学生创新意识的中考题刘应平　　解　 ( 1 )解方程① ,得ｘ1=1 +3 ,ｘ2 =1 -3 .解方程② ,得ｘ1=-3 +1 74 ,ｘ2 =-3 -1 74 .解方程③ ,得ｘ1…     

这样的“配方法”更好——评用“配方法”解一元二次方程a~2+bx+c=0(a≠0)

“配方法”是初中代数中的一种重要的解题方法 ,人教版初中《代数》第三册第 13页给出了用“配方法”解一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 )的过程 ,由此可以归纳为四个步骤 :1.方程两边都除以二次项系数2 .把常数项移到方程右边去3 .方程两边都加上一次项系数一半的平方4.把方程左边化为完全平方式 ,如果方程右边是非负常数 ,那么再运用“直接开平方法”求解 ,这是一种“传统”的“配方法” ,事实上用下面的“配方法”解一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ =0 (ａ≠ 0 )更好 .解法一　把方程的两边都乘以ａ ,得ａ2 ｘ2 +ａｂｘ+ａｃ =0 ,移项…     

解一元一次方程的八巧法

解一元一次方程的基本方法是五步法:即去分母、去括号、移项、合并、把系数化为1.然而有些方程不一定要按常规的方法去解. 一、巧化系数为1 例1 解方程-0.25x =3解两边同乘以-4得x=-12     

互相渗透的函数、方程和不等式

1 .方程问题转化为函数问题一元二次方程 ｆ(ｘ) =0 ,经移项 ,可化为一端是一个二次式 ,另一端是一个一次式或常数项的形式 ,从而得到 φ(ｘ) =ψ(ｘ) .令 ｙ1 =φ(ｘ) ,ｙ2 =ψ(ｘ) ,则函数 φ(ｘ)与 ψ(ｘ)的图象的交点 ,即为ｆ(ｘ) =0的解 .判断一个方程的解的个数问题 ,可用此法求解 .例 1　已知关于ｘ的方程ｘ2 -2ｘ -1-ｋ =0 ,ｘ∈ [-1,2 ] ,ｋ≤ 1,求此方程的实数解的个数 .解 :原方程化为 :(ｘ -1) 2 =2 +ｋ ,-1≤ｘ≤ 2 ,ｋ≤ 1.令ｙ1 =(ｘ -1) 2 (-1≤ｘ≤ 2 ) ,ｙ2 =2 +ｋ(ｋ≤ 1) .在同一坐标系中 ,作出它们的图象 ,如右图 .观…     

一元二次方程解法归纳

<正>一元二次方程的重点与关键是其解法.解方程时,须从“数”(系数)和“形”(外形)两个角度进行分析,这样才能事半功倍.下面结合实例对一元二次方程的解法进行归纳．一、直接开平方法直接开平方法就是通过直接开平方来求解一元二次方程的方法.例1解下列方程：(1)2x²-8=0;(2)3(x-1)²-6=0.分析：(1)方程的一次项系数为0,通过移项、系数化为1,可以转化为x²=4,直接开平方求解;(2)将x-1看作一个整体,方程可以转化为(x-1)²=2,直接开平方求解.     

巧解一元一次方程

解一元一次方程的一般步骤是“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1”.但对于一些特殊形式的一元一次方程,我们若能抓住方程的结构特征,选择恰当的方法,灵活安排求解步骤,就能简化求解过程,提高解题速度,达到事半功倍的效果.下面介绍几种常用的解题方法和技巧,供初一同学学习参考. 一、巧去括号例1 解方程3/2[2/3(1x/4-1)-2]-2=x. 分析:因为中括号外的3/2与中括号内的2/3互为倒数,且3/2·(-2)=-3,所以要由外到内去括号为好.     

换元法解分式方程

换元法是十分重要的数学方法 ,特别是在中考解分式方程时应用极广 .那么如何恰当地换元 ,则要根据各个方程自身的结构特点加以分析 .一、整体换元例 1　解方程 :ｘｘ- 12 - 5 ｘｘ- 1 +6 =0 .(2 0 0 1年新疆生产建设兵团中考题 )　解　设ｙ=ｘｘ - 1 ,则原方程可化为ｙ2 - 5ｙ+6=0 .解得ｙ1 =2 ,ｙ2 =3.当ｙ=2时 ,ｘｘ- 1 =2 .解得ｘ=2 .当ｙ=3时 ,ｘｘ- 1 =3 .解得ｘ=32 .经检验 ,ｘ1 =2 ,ｘ2 =32 是原方程的根 .二、倒数换元例 2　解方程 :ｘ2 -ｘ- 1 2ｘ2 -ｘ- 4 =0 .(2 0 0 1年黑龙江省哈尔滨市中考题 )　解　设ｙ=ｘ2 -ｘ,则原方程可化…     

换元法在解方程或方程组中的应用

换元法是将无理方程转化为有理方程、将分式方程转化为整式方程的重要方法 ,它可以起到将方程次数降低、形式化简的作用 .因而换元法是中考、竞赛中考查的重点内容 .例 1　解方程 :ｘ2 +ｘ +1-6ｘ2 +ｘ=0 .( 2 0 0 0年北京市中考题 )解　设ｙ =ｘ2 +ｘ ,则原方程变形为ｙ +1-6ｙ =0 .去分母整理 ,得ｙ2 +ｙ -6=0 .解得ｙ =-3或ｙ =2 .当ｙ =-3时 ,ｘ2 +ｘ =-3,即ｘ2 +ｘ +3=0 .方程无实数根 .当ｙ =2时 ,ｘ2 +ｘ =2 ,即ｘ2 +ｘ -2 =0 .解得ｘ1=-2 ,ｘ2 =1.检验略。评注　换元的实质就是将代数式 (ｘ2 +ｘ)看做一个整体 .当然我们也可将 (ｘ2…     

巧移项 妙解题

移项是解方程的一个重要步骤,灵活运用移项的方法可以使运算简化.现举几例说明.例1解方程:3-x=4x-2.解法一:移项,得-x-4x=-2-3.合并同类项,得-5x=-5.系数化为1,得x=1.解法二:移项得:3+2=4x+x.合并同类项,得5=5x.系数化为1,得x=1.同学们把两种解法比较一下,哪种方法更好些?显然解法二更好,这样可避免符号出现差错.例2解方程:x-13〔x-13(x-9)〕=19(x-9).分析:先去中括号,把右边的19(x-9)作为一个整体移到左边,这样比较简便.解:去中括号,得x-13x+19(x-9)=19(x-9).移项,得x-13x+19(x-9)-19(x-9)=0.合并同类项,得23x=0.数学系数化为1,得x=0.例3已…     

巧用不等式解方程举隅

数学中相等与不等是一对基本矛盾 ,方程 (组 )作为特殊的等式 ,通常利用等式的性质求解 .而有些方程 ,特别是多元不定方程 (组 ) ,常规解法往往无能为力 .若视情况灵活应用不等式的性质来解 ,却常收意外之效 .以下各方程 (组 ) ,均在实数范围内求解 ,不再另加说明 .例 1　解方程ｘ2 2ｘｓｉｎｙ 1=0 .解　ｘ为实数 ,有Δ =4ｓｉｎ2 ｙ - 4≥ 0 ,即ｓｉｎ2 ｙ≥1.但ｓｉｎ2 ｙ≤ 1,故ｓｉｎ2 ｙ =1,ｓｉｎｙ =± 1.当ｓｉｎｙ =1时 ,ｘ2 2ｘ 1=0 ,此时ｘ =- 1,ｙ =2ｋπ π2 (ｋ∈Ｚ) ;当ｓｉｎｙ =- 1时 ,ｘ2 - 2ｘ 1=0 ,此时ｘ…     

一元二次方程错解分析

例1解方程:x~2+6x-19=0,错解移项,得x~2+6x=19.配方x~2+6x+3~2=19-3~2,(x+3)~2=10,两边开平方,得     

浅谈无解方程的判定

在解方程中 ,常有些无解的方程出现 ,有不少同学因不能正确识别这类方程 ,而采用常规的解题方法 ,以致造成解题繁琐 ,影响解题速度。这里给大家简单介绍几种无解方程的判定方法。1 .利用矛盾区间判定。此方法是由方程入手 ,通过恒等变形或对原方程成立的条件进行合理的分析 ,推出明显的矛盾 ,从而判定原方程无解。例一 :方程 1 -ｘ 2 -ｘ =ｘ - 3是否有实数根 ?解 :由1 -ｘ≥ 02 -ｘ≥ 0ｘ - 3≥ 0　 　ｘ≤ 1ｘ≤ 2ｘ≥ 3　　这显然是矛盾区间 ,∴原方程无解。例二 :方程3ｘ 6ｘ- 1 =ｘ 5ｘ(ｘ- 1 ) 是否有解 ?解 :∵原方程可以变形…     

复数方程问题分类例析

复数方程是复数有关问题中的一类重要题型 ,近些年来 ,一直活跃于高考 ,竞赛和各地考题中 .由于这类问题概念性强 ,且与相关内容的联系广泛 ,因此学生在解这类题时往往容易丢分 .下面对复数方程的常见题型进行归纳 ,并探析求解的基本方法 .1　复数方程的求解问题1)含ｚ , ｚ或 ｜ｚ｜的方程 ,一般可用复数的代数形式代入 ,转化为实数方程或方程组求解 .例 1　已知ｚ∈Ｃ ,解方程 2ｚ ｜ｚ｜ =2 6ｉ.解　设ｚ=ｘ ｙｉ　 (ｘ ,ｙ∈Ｒ) ,代入得2ｘ 2 ｙｉ ｘ2 ｙ2 =2 6ｉ.　　由 2ｘ ｘ2 ｙ2 =2及 2ｙ=6 ,解得ｘ=4± 313,ｙ=3.…     

配方法在解题中的应用

配方法是常用的解题方法 .使用配方法的关键是配方 ,常见的配方法有下述 4种基本类型 .1　形如ａ2 ± 2ａｂ +ｂ2 的三项式配方这是最简单的配方形式 .只需化简、整理 ,使所给三项式变为完全平方式即可 .例 1　分解因式 :(ｘ + ｙ) 2 - 4(ｘ + ｙ) +4= .( 2 0 0 1 ,济南市中考题 )分析 :将ｘ + ｙ看成一个整体 ,易发现这三项式是完全平方 .设Ａ =ｘ + ｙ .故原式 =Ａ2 - 4Ａ + 4=(Ａ - 2 ) 2　　　 =(ｘ + ｙ - 2 ) 2 .例 2　方程ｘ2 + 2 3ｘ + 3=0的根的情况是 (　　 ) .(Ａ)有两个不等的有理数根(Ｂ)有两个相等的有理数根(Ｃ)有两个不等的…     

二次根式化简的六种技巧

二次根式的化简是二次根式这一章的难点 ,要突破这一难点 ,则应根据题目的特点 ,充分运用约分技巧 ,并结合分母有理化 ,常会取得事半功倍的效果 ,现举例说明。1　巧约分[例 1 ]　化简求值 :ａ ａｂａｂ ｂ ａｂ -ｂａ -ａｂ,其中ａ =2 3,ｂ =2 - 3。分析 :此题如分子、分母均乘以分母的有理化因式 ,其繁琐程度一试可知。但注意到分子、分母的各项均可提公因式 ,则原式 =ａ(ａ ｂ)ｂ(ａ ｂ)　 ｂ(ａ -ｂ)ａ(ａ -ｂ)=ａｂ ｂａ=ａ ｂａｂ,再代入ａ ,ｂ的值 ,则一目了然。2　巧降次[例 2 ]　已知ｘ =5 12 ,求ｘ3 ｘ 1ｘ5 的值。…