应用全等三角形解题

全等三角形是能够完全重合的两个三角形 ,它们的对应边相等 ,对应角相等 .巧用这两个相等 ,可顺利地解答一些几何求值和证明问题 .例 1　如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,∠ＡＣＢ =90° ,ＡＣ=ＢＣ ,ＡＥ是ＢＣ边上的中线 ,过Ｃ作ＣＦ⊥ＡＥ ,垂足是Ｆ ,过Ｂ作ＢＤ⊥ＢＣ交ＣＦ的延长线于Ｄ ,ＡＣ =1 2 .求ＢＤ的长 . ( 1 997年浙江省中考题 )　解　∵　∠ＡＣＢ =90°,ＣＦ⊥ＡＥ于Ｆ ,∴　∠ 1 =90° -∠ 3=∠ 2 .在△ＤＢＣ和△ＥＣＡ中 ,∵　∠ＤＢＣ =∠ＥＣＡ =90° ,ＢＣ =ＡＣ ,∠ 1 =∠ 2 ,∴　△ＤＢＣ≌△ＥＣＡ .∴　ＢＤ =ＣＥ .∵　Ｃ…     

圆幂定理在几何证题中的应用

下面举例说明圆幂定理在几何证题中的常见应用 .一、证明两条线段相等例 1　如图 1 ,已知ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ分别是△ＡＢＣ三边上的高 ,Ｈ是垂心 ,ＡＤ的延长线交△ＡＢＣ的外接圆于点Ｇ .求证 :ＤＨ =ＤＧ .( 1 997年甘肃省中考题 )分析　由相交弦定理有ＤＧ·ＤＡ =ＢＤ·ＤＣ ,即ＤＧ =ＢＤ·ＤＣＤＡ .从而 ,欲证ＤＨ =ＤＧ ,只须证ＤＨ =ＢＤ·ＤＣＤＡ .为此 ,只须证△ＡＢＤ∽△ＣＨＤ .证明　如图 1 ,由已知有∠ 1 ∠ 3=90°,∠ 2 ∠ 4 =90°.∵　∠ 3=∠ 4 ,∴　∠ 1 =∠ 2 .∵　∠ＡＤＢ =∠ＣＤＨ =90°,∴　△ＡＢＤ∽△ＣＨＤ…     

巧用切线长定理解题

切线长定理告诉我们 ,从圆外一点引圆的两条切线 ,它们的切线长相等 .对于题设中已知或隐含着圆的两条相交切线的求值或证明问题 ,巧用切线长相等这一性质 ,可使解题简捷 .例 1　如图 1 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,直角边ＡＣ =4 ,ＢＣ =3,⊙Ｏ内切于Ｒｔ△ＡＢＣ ,则⊙Ｏ的半径ｒ=.( 2 0 0 0年广东省广州市中考题 )解　设⊙Ｏ与Ｒｔ△ＡＢＣ的三边分别切于Ｄ、Ｅ、Ｆ ,连结ＯＤ、ＯＥ、ＯＦ ,则四边形ＯＥＣＦ是正方形 .∴　ＣＥ =ＣＦ =ｒ.∴　ＡＥ =ＡＣ -ｒ,ＢＦ =ＢＣ -ｒ.∵　ＡＣ =4 ,ＢＣ =3,∴　ＡＢ =ＡＣ2 +ＢＣ2 =5 .∵　ＡＤ与ＡＥ、…     

一类中考新题型——材料阅读题

综观近几年的中考数学试题 ,一类能较全面的考查学生能力的新题型———材料阅读题正逐渐成为热点 ,并且在试题中所占的比重也越来越大 .下面简要介绍这类试题 .一、补全解题过程型图 1例 1　填空 :如图 1 ,已知ＡＥ与ＢＤ交于点Ｃ ,且ＣＤ =ＣＡ ,ＣＢ =ＣＥ .求证 :ＡＢ =ＤＥ .证明 :在△ＡＣＢ和△ＤＣＥ中 ,ＣＡ =ＣＤ(已知 ) ,∠ 1 =∠ 2 ( ) ,ＣＢ =ＣＥ(已知 ) ,∴　△ＡＣＢ≌△ＤＣＥ(　　　　　　　 ) .∴　ＡＢ =ＤＥ(全等三角形的对应边相等 ) .( 1 999年陕西省西安市中考题 )解答略 .评注　这种类型的试题一般是考查学生的基…     

证明几何题的几种基本方法

1　分析法分析法就是从题目的结论出发 ,逐步找出使结论成立的原因 ,直到找出所用的原因恰好是题目的已知条件或所学过的定理 ,再按分析的思路从后往前把证题过程写出来 .图 1例 1　如图 1 ,△ＡＢＣ中 ,∠Ａ的平分线ＡＤ交ＢＣ于Ｄ ,⊙Ｏ过点Ａ且与ＢＣ相切于Ｄ ,与ＡＢ、ＡＣ分别相交于Ｅ、Ｆ ,ＡＤ与ＥＦ相交于Ｇ .求证 :ＡＦ·ＦＣ =ＧＦ·ＤＣ .( 2 0 0 1 ,河南省中考题 )证题思路 :ＡＦ·ＦＣ =ＧＦ·ＤＣ ＡＦＤＣ=ＧＦＦＣ △ＤＣＦ∽ＡＦＧ(连结ＤＦ) ∠ＣＤＦ =∠ＦＡＤ∠Ｃ =∠ＡＦＧ ＥＦ∥ＢＣ ∠ＥＦＤ =∠ＣＤＦ ∠ＥＦＤ =…     

构造等腰三角形解题

等腰三角形是特殊的三角形 ,在解 (证 )题时 ,若能根据已知和图形特点 ,巧妙地构造等腰三角形 ,利用等腰三角形的性质来解决问题 ,将会取得事半功倍的效果 .　　一、由“线段的和差”构造等腰三角形例 1　如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,ＡＤ平分∠ＢＡＣ ,ＡＢ +ＢＤ =ＡＣ .求∠Ｂ∶∠Ｃ的值 .　解　延长ＡＢ至Ｅ ,使ＢＥ =ＢＤ ,连结ＤＥ ,则△ＢＥＤ是等腰三角形 .∴　ＡＣ =ＡＢ +ＢＤ =ＡＢ +ＢＥ =ＡＥ .∴　△ＡＤＥ≌△ＡＤＣ .∴　∠Ｅ =∠Ｃ .∵　∠ＡＢＣ =2∠Ｅ ,∴　∠ＡＢＣ =2∠Ｃ ,即∠ＡＢＣ∶∠Ｃ =2∶1 .图 1图 2　　二、由“二…     

勾股定理在证明中的应用

勾股定理是几何中一个极为重要的定理 ,它揭示了直角三角形三边之间的数量关系 .灵活应用它 ,不仅可以证明一些与线段平方有关的等量问题 ,而且可以证明一些与线段和差有关的不等问题 .例 1　如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,Ｄ是ＡＣ边的中点 .求证 :ＡＢ2 +3ＢＣ2 =4ＢＤ2 .证明　在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∵　ＡＢ2 =ＡＣ2 +ＢＣ2 ,　　ＡＣ =2ＣＤ ,∴　ＡＢ2 =4ＣＤ2 +ＢＣ2 .在Ｒｔ△ＢＣＤ中 ,∵　ＣＤ2 =ＢＤ2 -ＢＣ2 ,∴　ＡＢ2 =4(ＢＤ2 -ＢＣ2 ) +ＢＣ2 .∴　ＡＢ2 +3ＢＣ2 =4ＢＤ2 .图 1图 2　　例 2　如图 2 ,在△ＡＢＣ中 ,∠ＡＣ…     

等角共轭点的一个有趣性质

给定△ＡＢＣ和一点Ｐ ,满足∠ＱＡＣ =∠ＰＡＢ ,∠ＱＢＡ =∠ＰＢＣ ,∠ＱＣＢ =∠ＰＣＡ的点 (如图 )Ｑ叫做Ｐ关于△ＡＢＣ的等角共轭点[1] [2 ] .我们发现了等角共轭点的一条新性质 :定理　设Ｐ、Ｑ是△ＡＢＣ的等角共轭点 ,则ＡＰ·ＡＱＡＢ·ＡＣ ＢＰ·ＢＱＢＣ·ＢＡ ＣＰ·ＣＱＣＡ·ＣＢ=1 .证明 :如图 ,在射线ＡＱ上取点Ｄ ,使∠ＡＣＤ =∠ＡＰＢ ,因∠ＡＰＢ >∠ＡＣＢ ,故Ｄ在△ＡＢＣ外 .又因∠ＰＡＢ =∠ＣＡＤ ,从而△ＡＢＰ∽△ＡＤＣ ,故ＡＢＡＤ=ＡＰＡＣ=ＢＰＣＤ,ＣＤ =ＢＰ·ＡＣＡＰ .①又由∠ＱＡＢ =∠ＰＡＣ ,Ａ…     

2002年IMO中国国家集训队选拔考试

一、设凸四边形ＡＢＣＤ的两组对边所在的直线分别交于Ｅ、Ｆ两点 ,两对角线的交点为Ｐ ,过Ｐ作ＰＯ⊥ＥＦ于Ｏ .求证 :∠ＢＯＣ =∠ＡＯＤ .图 1解 :如图 1,只需证明ＯＰ既是∠ＡＯＣ的平分线 ,也是∠ＤＯＢ的平分线即可 .不妨设ＡＣ交ＥＦ于Ｑ ,考虑△ＡＥＣ和点Ｆ ,由塞瓦定理可得ＥＢＢＡ·ＡＱＱＣ·ＣＤＤＥ=1.①　　再考虑△ＡＥＣ与截线ＢＰＤ ,由梅涅劳斯定理有ＥＤＤＣ·ＣＰＰＡ·ＡＢＢＥ=1.②　　比较①、②两式可得ＡＰＡＱ=ＰＣＱＣ.③过Ｐ作ＥＦ的平行线分别交ＯＡ、ＯＣ于Ｉ、Ｊ ,则有ＰＩＱＯ=ＡＰＡＱ,ＪＰＱＯ=ＰＣＱＣ…     

两道数学题的巧解

1 若一个四位数等于它的各位数字的和的 4次方 ,则这个四位数是 .图 12 如图 1,在△ＡＢＣ中 ,ＤＥ∥ＢＣ ,分别交ＡＢ、ＡＣ于Ｄ、Ｅ .若Ｓ△ＡＤＥ=4,Ｓ△ＢＤＥ=6 ,则Ｓ△ＢＣＥ=.参考答案1 欲求这个四位数 ,只需求出它的各位数字的和即可 .设这个四位数为ａｂｃｄ ,则ａｂｃｄ =(ａ +ｂ +ｃ+ｄ) 4.∵　 10 0 0 <ａｂｃｄ <9999,∴　 10 0 0 <(ａ +ｂ +ｃ +ｄ) 4<9999.∴　 6≤ａ +ｂ +ｃ+ｄ≤ 9.　　∵　ａ、ｂ、ｃ、ｄ是整数 ,∴　ａ +ｂ +ｃ +ｄ =6或 7或 8或 9.经检验可知 ,ａ +ｂ +ｃ +ｄ =7符合题意 ,其余都不符合题意 .∴　ａｂ…     

三角形有关概念中考题选登

一、填空题1 在△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,∠Ａ =32°,那么∠Ｂ =.(2 0 0 1年广西壮族自治区中考题 )2 在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,若锐角Ａ的平分线与锐角Ｂ的邻补角的平分线相交于点Ｄ ,则∠ＡＤＢ =. (2 0 0 1年河北省中考题 )3 如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ｂ =∠Ｃ ,ＦＤ⊥ＢＣ ,ＤＥ⊥ＡＢ ,∠ＡＦＤ =15 8° ,则∠ＥＤＦ =度 . (2 0 0 1年天津市中考题 )4 长度为 5ｃｍ ,7ｃｍ ,10ｃｍ的三条线段能否组成三角形 ?答 :.(2 0 0 1年山东省滨州市中考题 )图 1图 2　　 5 如图 2 ,ＡＤ∥ＢＣ ,Ｅ在ＡＢ的延长线上 .若∠ 1=6 0° ,∠ 2 =5 0°,则∠Ａ…     

九年级结课平面几何质量检测题

一、选择题 (每小题 3分 ,共 30分 )1.如图 1,四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的内接四边形 ,∠ＡＢＣ =115° .那么 ,∠ＡＯＣ等于 (　　 ) .(Ａ) 115°　　 (Ｂ) 12 0°　　 (Ｃ) 130°　　 (Ｄ) 135°图 1图 22 .如图 2 ,以ＢＣ为直径 ,以Ｏ为圆心作半圆 ,点Ａ、Ｆ把半圆三等分 ,ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ ,且ＢＣ =12 .连结ＢＦ交ＡＤ于点Ｅ .则ＡＥ的长为 (　　 ) .(Ａ) 2 3(Ｂ) 33(Ｃ) 3(Ｄ) 32 33.已知Ｒｔ△ＡＢＣ外切于⊙Ｏ ,∠ＡＣＢ =90° ,∠ＢＯＣ =10 5° ,ＢＣ =2 0ｃｍ .那么 ,Ｒｔ△ＡＢＣ的面积是(　　 ) .(Ａ) 180 3ｃｍ2 (Ｂ) 2 0 0 3ｃｍ…     

"a2=bc"型几何题的证明方法

几何“ａ2 =ｂｃ”型的命题 ,综合性强 ,证法灵活 ,是训练初中学生思维能力的重要题型 ,也一直是中考的“热点” .本文举例说明此类题型常用的证明方法利用共边相似三角形证明　　　　　图 1例 1　如图 1,已知⊙Ｏ与⊙Ａ相交于Ｂ、Ｃ两点 ,经过点Ａ ,过Ａ作⊙Ｏ的弦ＡＦ交⊙Ａ于Ｅ ,交ＢＣ于Ｄ .求证 :ＡＢ2 =ＡＤ·ＡＦ .证明　连结ＢＦ ,ＡＣ ,∵ＡＢ =ＡＣ ,∴∠ＡＢＣ =∠ＡＦＢ .又∵∠ＢＡＤ =∠ＦＡＢ ,∴△ＡＢＤ∽△ＡＦＢ ,有　　 ＡＢＡＦ =ＡＤＡＢ,故　　ＡＢ2 =ＡＤ·ＡＦ .2　利用等高相似三角形证明　　　　　图 2例 2　　…     

中考中的矩形折叠问题

近年来 ,各地中考试题中经常出现一类矩形折叠问题 .由于折叠后重合的两部分关于折痕对称 ,因此 ,对于此类问题 ,需注意轴对称的性质的应用 ,同时结合勾股定理、相似三角形的性质及方程思想来求解 .一、折叠后求线段的长例 1　如图 1 ,在矩形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =8,ＢＣ =6,将矩形沿ＡＣ折叠后 ,点Ｄ落在点Ｅ处 ,且ＣＥ与ＡＢ交于点Ｆ ,那么ＡＦ的长是.( 2 0 0 0年新疆维吾尔自治区中考题 )解　由题意可得∠ 1 =∠ 2 ,ＣＥ =ＣＤ =ＡＢ=8,ＡＥ =ＡＤ =ＢＣ =6,ＡＣ =ＡＢ2 +ＢＣ2 =1 0 .由ＡＢ∥ＣＤ ,得∠ 1 =∠ 3 .∴　∠ 2 =∠ 3 .∴　ＡＦ…     

九年级第一学期期末平面几何质量检测题参考答案

一、1.Ｂ　 2 .Ｄ　 3.Ｂ　 4 .Ｃ　 5 .Ｄ　 6 .Ｄ　 7.Ａ　8.Ｃ　 9.Ｃ　 10 .Ｂ二、11.1∶ 3∶2　 12 .3ｃｍ　 13.5 7　 14 .1∶ 2　 15 .5 0　 16 .117　 17.2 2　 18.6 0°　 19.15　 2 0 .内切三、2 1.作ＡＤ =ＡＤ′ =1,连结ＯＤ ,ＯＤ′ .则△ＯＡＤ和△ＯＡＤ′为等边三角形 ,有∠ＯＡＤ =∠ＯＡＤ′ =6 0° .连结ＯＣ ,可求得∠ＯＡＣ =4 5° .所以 ,∠ＣＡＤ =6 0°± 4 5° ,即　∠ＣＡＤ为 10 5°或 15° .2 2 .∵ＦＧ与⊙Ｏ相切 ,∴ＦＧ2 =ＦＢ·ＦＣ .∵ＦＥ =ＦＧ ,∴ＦＥ2 =ＦＢ·ＦＣ .有 ＦＥＦＢ=ＦＣＦＥ.又　∠ＥＦ…     

对一道高考题的思考

1　题目与解法研究2 0 0 0年高考理 18(文 19)题 :如图 1,已知平行六面体ＡＢＣＤ—Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1的底面ＡＢＣＤ是菱形 ,且∠Ｃ1ＣＢ =∠Ｃ1ＣＤ =∠ＢＣＤ =60°.(Ⅰ )证明 :ＣＣ1⊥ＢＤ ;(Ⅱ )假定ＣＤ =2 ,ＣＣ1=32 ,记面Ｃ1ＢＤ为α ,面ＣＢＤ为 β ,求二面角α -ＢＤ - β的平面角的余弦值 ;(Ⅲ )当 ＣＤＣＣ1的值为多少时 ,能使Ａ1Ｃ⊥平面Ｃ1ＢＤ ?请给出证明 .图　 1(Ⅰ )证 1　连结ＡＣ与ＢＤ交于Ｏ ,连结Ａ1Ｃ1、Ｃ1Ｏ .由四边形ＡＢＣＤ是菱形 ,知ＡＣ⊥ＢＤ ,ＢＣ =ＣＤ .∵∠ＢＣＣ1=∠ＤＣＣ1,∴△Ｃ1ＢＣ≌△Ｃ1ＤＣ ,有Ｃ1…     

线段垂直平分线性质的应用

对于某些几何证明问题 ,同学们可以从线段垂直平分线入手 ,常可找到解决问题的捷径。一、直接利用已知的线段垂直平分线图 1.例 1　如图 1,ＡＤ平分∠ＢＡＣ ,ＥＦ是ＡＤ的垂直平分线交ＡＤ于Ｅ ,交ＢＣ的延长线于Ｆ ,连ＡＦ ,求证 :∠Ｂ =∠ＣＡＦ证明 :∵ＥＦ是ＡＤ的垂直平分线∴ＦＡ =ＦＤ　∠ＦＤＥ =∠ＦＡＥ∴∠Ｂ +∠ 1=∠ＣＡＦ +∠ 2∵∠ 1=∠ 2∴∠Ｂ =∠ＣＡＦ .二、挖掘利用隐含的线段垂直平分线例 2　如图 2 ,△ＡＢＣ中 ,ＡＤ平分∠ＢＡＣ ,ＣＥ⊥ＡＤ于Ｏ ,ＣＥ是∠ＤＥＦ的平分线 ,求证ＥＦ∥ＢＣ .图 2证明 :在△ＡＥＯ和…     

与全等三角形有关的开放题

一、添加条件型这类题的特点是要使某一结论成立 ,需要添加给定个数的条件 ,往往所要添的条件不惟一 ,可在多个中选择 .图 1例 1　如图 1,∠ 1=∠ 2 ,ＢＣ =ＥＦ ,那么需要补充一个直接条件 (写出一个即可 ) ,才能使△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ .(2 0 0 1年吉林省中考题 )分析　补充ＡＣ =ＤＦ即可 .从而由ＢＣ =ＥＦ ,∠ 1=∠ 2 ,根据“ＳＡＳ”可证得△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ .说明　还可添加∠Ａ =∠Ｄ或∠Ｂ =∠Ｅ .二、方案设计型这类题的特点是打破教材中“标准的封闭型数学题”的框框 ,要求根据题目条件自己拿出方案 ,往往方案不止一个 ,有时还要…     

由一道例题引发的思考

课本例题具有很强的示范性和典型性 .在教学中教师要善于挖掘课本例题潜在的教学价值 ,引导学生解题后反思 ,这对提高学生学习的积极性 ,培养学生发散思维、求异思维和创新精神都大有裨益 .本文就《几何》教材第二册第 1 2 9页的一道例题的教学谈点体会 .例　一块铺地的瓷砖 ,实际尺寸如图 1所示 (单位为ｍｍ) ,∠Ｄ =∠Ｅ =∠Ｃ =90° .求它的面积 .图 1图 2　　 1 .在图形的内部添加辅助线 ,利用分割求和求面积解 :如图 2 ,过点Ｂ作ＢＦ∥ＣＤ交ＥＤ于Ｆ .Ｓ矩形ＢＣＤＦ =ＣＤ·ＢＣ =80 0 (ｍｍ2 ) ,Ｓ梯形ＡＢＦＥ =12 (ＡＥ +ＢＦ)·…     

2002年河北省初中升学统一考试数学试题参考答案

一、1.23　 2 .(ａ -ｂ + 1) (ａ -ｂ - 1)　 3.6　 4 .ｙ2 -ｙ - 2 =0　 5 .1<ｄ <9　 6 .12 5 %　 7.4 5ｍｍ　8.392ｘ - 392ｘ + 4 0 =1　 9.ｙ =90ｘ　 10 .2 6二、11.Ｄ　 12 .Ｃ　 13.Ｂ　 14 .Ａ　 15 .Ｃ　 16 .Ａ　17.Ｂ　 18.Ｄ　 19.Ｃ　 2 0 .Ｂ三、2 1.6 .2 2 .在梯形ＡＢＣＤ中 ,∵ＡＢ∥ＣＤ ,ＡＤ =ＢＣ ,∴ＡＣ =ＢＤ .∵ＤＣ =ＣＤ ,∴△ＡＤＣ≌△ＢＣＤ .∴∠ＡＣＤ =∠ＢＤＣ .故ＯＤ =ＯＣ .图 1四、2 3.如图 1,连结ＰＯ并延长 ,交⊙Ｏ于点Ｃ、Ｄ .根据切割线定理的推论 ,有ＰＡ·ＰＢ =ＰＣ·ＰＤ .∵ＰＢ =ＰＡ +…