换元法在解方程或方程组中的应用

换元法是将无理方程转化为有理方程、将分式方程转化为整式方程的重要方法 ,它可以起到将方程次数降低、形式化简的作用 .因而换元法是中考、竞赛中考查的重点内容 .例 1　解方程 :ｘ2 +ｘ +1-6ｘ2 +ｘ=0 .( 2 0 0 0年北京市中考题 )解　设ｙ =ｘ2 +ｘ ,则原方程变形为ｙ +1-6ｙ =0 .去分母整理 ,得ｙ2 +ｙ -6=0 .解得ｙ =-3或ｙ =2 .当ｙ =-3时 ,ｘ2 +ｘ =-3,即ｘ2 +ｘ +3=0 .方程无实数根 .当ｙ =2时 ,ｘ2 +ｘ =2 ,即ｘ2 +ｘ -2 =0 .解得ｘ1=-2 ,ｘ2 =1.检验略。评注　换元的实质就是将代数式 (ｘ2 +ｘ)看做一个整体 .当然我们也可将 (ｘ2…     

换元法解分式方程

换元法是十分重要的数学方法 ,特别是在中考解分式方程时应用极广 .那么如何恰当地换元 ,则要根据各个方程自身的结构特点加以分析 .一、整体换元例 1　解方程 :ｘｘ- 12 - 5 ｘｘ- 1 +6 =0 .(2 0 0 1年新疆生产建设兵团中考题 )　解　设ｙ=ｘｘ - 1 ,则原方程可化为ｙ2 - 5ｙ+6=0 .解得ｙ1 =2 ,ｙ2 =3.当ｙ=2时 ,ｘｘ- 1 =2 .解得ｘ=2 .当ｙ=3时 ,ｘｘ- 1 =3 .解得ｘ=32 .经检验 ,ｘ1 =2 ,ｘ2 =32 是原方程的根 .二、倒数换元例 2　解方程 :ｘ2 -ｘ- 1 2ｘ2 -ｘ- 4 =0 .(2 0 0 1年黑龙江省哈尔滨市中考题 )　解　设ｙ=ｘ2 -ｘ,则原方程可化…     

赏析一道阅读型试题

一元二次方程是中考的必考热点 .在2 0 0 0年全国各地的中考试卷中 ,有不少试题设计得新颖别致 ,富有创新特点 .现选择一道关于一元二次方程的阅读型试题 ,介绍给同学们 .题目　已知关于ｘ的方程ｋｘ2 +( 2ｋ -1 )ｘ +ｋ -2 =0 .( 1 )若方程有实根 ,求ｋ的取值范围 .( 2 )若此方程两实根为ｘ1、ｘ2 且ｘ21+ｘ22 =3 ,求ｋ的值 .解　 ( 1 )依题意 ,得Δ≥ 0 ,∴　 ( 2ｋ-1 ) 2 -4ｋ(ｋ -2 )≥ 0 .解得ｋ≥ -14 .∴　ｋ的取值范围是ｋ≥ -14 .( 2 )依题意 ,得ｘ21+ｘ22 =(ｘ1+ｘ2 ) 2 -2ｘ1ｘ2 =3 ,即 -2ｋ -1ｋ2 -2·ｋ -2ｋ =3 .化简 ,得ｋ2 …     

二元(或三元)一次方程组的解法

解二元 (或三元 )一次方程组除教材中介绍的代入消元法和加减消元法两种基本解法外 ,为了开阔同学们的视野 ,提高解题能力 ,本文补充几种解法 ,供参考。一、整体代入法———当方程组中某个未知数的系数成整数倍时 .例 1　解方程组 2ｘ +5 ｙ =- 2 1　①ｘ +3ｙ =8　　　②解 :由①得 2 (ｘ +3ｙ) -ｙ =- 2 1　③ ,把②代入③得 16 - ｙ =2 1,ｙ =37,把 ｙ =37代入②解得ｘ =- 10 3,∴ ｘ =- 10 3ｙ =37二、消常数项法———当方程组中的常数项成整数倍时 .例 2　解方程组4ｘ +3ｙ =10　　①9ｘ - 7ｙ =- 5　　②解 :① +②× 2得2 2ｘ - 11…     

巧取倒数,妙求分式值

有些分式求值题 ,可以通过取倒数巧妙求解 .一、巧取已知分式的倒数例 1　若 ｘｙｘ +ｙ=1,ｙｚｙ +ｚ=2 ,ｘｚｘ+ｚ=3,则 1ｘ 的值是 .　解　∵　 ｘｙｘ +ｙ=1,∴　ｘ +ｙｘｙ =1,即 1ｘ +1ｙ =1① .同理可得 1ｙ+1ｚ=12 ② ,1ｚ+1ｘ=13③ .由 (① +② +③ )÷ 2 ,得 1ｘ+1ｙ +1ｚ=1112 ④ .④ -② ,得 1ｘ=512 .二、巧取待求分式的倒数例 2　若ｘ +1ｘ=3,则 ｘ2ｘ4 +ｘ2 +1=.　解　∵　ｘ +1ｘ=3,∴　 ｘ4 +ｘ2 +1ｘ2 =ｘ2 +1+1ｘ2 =ｘ +1ｘ2 - 1=32 - 1=8.∴　 ｘ2ｘ4 +ｘ2 +1=18.三、同时取已知分式和待求分式的倒数例 3　已知ａ、ｂ、…     

国家基础教育课程改革实验区2004年中考试题分类选编（一）

一、方程1.① (灵武市 )解方程x2 +2x - 3=0 .　　② (芜湖市 )已知方程 3x2 - 9x+m =0 的一个根是 1,则m的值是　　　　 .③ (潍坊市 )方程 1x- 1- 1x+1=1的解是　　　　 .2 .(海口市 )把分式方程 1x- 2 - 1-x2 -x =1的两边同时乘以(x - 2 ) ,约去分母 ,得 (　　 ) .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(A) 1- (1-x) =1(B) 1+(1-x) =1(C) 1- (1-x) =x - 2 (D) 1+(1-x) =x - 23.(青岛市 )用换元法解方程x2 +x +1=2x2 +x 时 ,若设x2 +x =y ,则原方程可化为 (　　 ) .(A)y2 +y+2 =0 (B)y2 -y - 2 =0(C)y2 -y +2 =0 (D)y2 +y - 2 =04 .…     

分析特点巧解方程

解一元二次方程是学生必须熟练掌握的基本技能 .教材中介绍了四种基本方法 :直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法 .有些方程在具体求解时 ,不能直接套用这四种基本方法 ,这时就需要认真分析方程的特点 ,选好突破口 ,施以适当的技巧 .现举例说明 .　　一、巧提公因式例 1　解方程 :4ｘ(ｘ -3 ) =3 -ｘ .解　移项并提公因式 ,得(ｘ -3 ) ( 4ｘ +1 ) =0 .∴　ｘ1=3 ,ｘ2 =-14 .评注　本例视 (ｘ -3 )为一个整体 ,移项后提公因式求解 .这里还要特别注意 ,方程两边不能随便约去 (ｘ -3 ) ,否则会造成失根 .二、巧配方例 2　解方程 :ｘ2…     

用因式分解法解一元二次方程

用因式分解法解一元二次方程是一种常用的方法。例 1　解方程ｘ2 - 2ｘ - 3=0解 :(ｘ - 3) (ｘ + 1 ) =0　　ｘ - 3=0或ｘ + 1 =0　　∴ｘ1 =3,ｘ2 =- 1根据该题的做法 ,逆向思考 ,已知两根ｘ1 =3,ｘ2 =- 1 ,可以求出一元二次方程 ,方法是把上面解方程的过程逆向运算便可以。∵ｘ1 =3,ｘ2 =- 1　　∴ｘ - 3=0或ｘ + 1 =0∴ (ｘ - 3) (ｘ + 1 ) =0即ｘ2 - 2ｘ + 3=0对于一般情况 ,以ｘ1 ,ｘ2 为根的一元二次方程是否也是 (ｘ -ｘ1 ) (ｘ-ｘ2 ) =0呢 ?设以ｘ1 ,ｘ2 为根据的一元二次方程是ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 ,两边除以ａ得 ,ｘ2 + ｂｘｘ + …     

初三代数期末综合训练题

一、填空题1 若ｘ1和ｘ2 是方程ｘ2 -5ｘ + 2 =0的两个根 ,则ｘ1+ｘ2 =,ｘ1·ｘ2 =.2 已知方程组 ｘ+ｙ=2 ,ｘｙ=-1 5 ,则以ｘ、ｙ为两根的一元二次方程是　　　　　　　　　　 .3 方程组 2ｘ -ｙ =1 ,4ｘ2 -ｙ2 =7的解是 .4 解方程 ｘ + 3ｘ2 -1 + ｘ2 -1ｘ + 3=2 65 时 ,若设ｙ=ｘ+ 3ｘ2 -1 ,则原方程可变形为　　　　　　　　 .5 在数据组 -1 ,0 ,3,6 ,7,9,1 3中插入一个数据ｘ,使这组数据的中位数是 5 ,则ｘ的值是 .6 图象经过Ａ( 0 ,3)、Ｂ( -1 ,0 )两点的一次函数的解析式是 .7 若抛物线经过Ａ( -1 ,0 )、Ｂ( 3,0 )、Ｃ( 0 ,3)三…     

判别式的应用

知识链接　　①一元二次方程根的判别式Δ >0 方程有两个不相等的实数根 ;②Δ =0 方程有两个相等的实数根 ;③Δ <0 方程没有实数根 .一、不解方程 ,判断一元二次方程根的情况例 1　方程ｘ2 -ｘ + 2 =0的根的情况是 (　　 ) .(Ａ)有两个不相等的实数根(Ｂ)有两个相等的实数根(Ｃ)没有实数根(Ｄ)不能确定 (2 0 0 1年辽宁省大连市中考题 )分析　∵　Δ =(-1) 2 -4× 1× 2 =-7<0 ,∴　给定方程没有实数根 .故应选 (Ｃ) .例 2　已知关于ｘ的一元二次方程ｍｘ2 -2 (ｍ + 1)ｘ +ｍ -2 =0 (ｍ >0 ) .求证 :这个方程有两个不相等的实数根 .(2 0…     

赏析一道中考阅读型试题

湖北省黄冈市 2 0 0 1年中考数学试卷中设计了一道特别新颖的阅读型试题 :题目　先阅读下列第 (1)题的解答过程 .(1)已知α、β是方程ｘ2 + 2ｘ - 7=0的两个实数根 ,求α2 + 3β2 + 4 β的值 .解法 1:∵　α、β是方程ｘ2 + 2ｘ - 7=0的两个实数根 ,∴　α2 + 2α - 7=0 ,β2 + 2 β - 7=0 ,且α + β =- 2 .∴　α2 =7- 2α ,β2 =7- 2 β .∴　α2 + 3β2 + 4 β =7- 2α + 3× (7- 2 β)+ 4 β =2 8- 2 (α + β) =2 8- 2× (- 2 ) =32 .解法 2 :由求根公式 ,得α =- 1+ 2 2 ,β =- 1- 2 2 .∴　α2 + 3β2 + 4 β =(- 1+ 2 2 ) 2 +3× (…     

解分式方程常见错误分析

一、去分母时漏乘整式项例 1　解方程 :1ｘ -2 =1 -ｘ2 -ｘ-3 .　错解　原方程可化为 1ｘ -2 =ｘ -1ｘ -2 -3 .去分母 ,得 1 =ｘ -1 -3 .∴　ｘ =5 .分析　错解的原因是方程两边同乘以(ｘ-2 )时 ,等式右边漏乘整式项 -3 .正确答案为 :原方程无解 .二、去分母时分子中的多项式忘记添括号例 2　解方程 :17-ｘ-6-ｘ7-ｘ=3 .　错解　去分母 ,得 1 -6-ｘ =3 (7-ｘ) .∴　ｘ =1 3 .分析　去分母时 ,若分式的分子是多项式 ,则应用括号括起来 .在本题中 ,6-ｘ应写成(6-ｘ) ,然后再去分母求解 .正确答案为ｘ =1 32 .三、忽视对根的检验例 3　解方程 :…     

两道例题的简解

本文给出文[1]中例2,例3这两道例题的简洁解法. 例2 解方程 解 易知方程的解满足x>1 ① 将原方程两边平方,得 由①可设x~2-1=y~2 (y>0) ② 得 或,     

函数综合题

近年来的中考综合题中 ,有一类试题成为热点 .它将《函数》一章的知识有机综合 ,以考查学生对知识的综合运用能力 .下面以 2 0 0 0年中考的函数综合题为例 ,介绍这类题型的解题思路 .例 1　已知关于ｘ的方程ｘ2 +( 2ｍ +1)ｘ+ｍ2 +2 =0有两个不相等的实数根 ,试判断直线ｙ =( 2ｍ -3)ｘ -4ｍ +7能否通过点Ａ( -2 ,4) ,并说明理由 .( 2 0 0 0年天津市中考题 )解　由Δ =( 2ｍ +1) 2 -4 (ｍ 2 +2 ) =4ｍ -7>0 ,得 2ｍ -72 >0 .所以 2ｍ -3 >12 >0 ,-4ｍ +7<0 .说明直线ｙ =( 2ｍ -3)ｘ -4ｍ +7通过第一、三、四象限 ,而点Ａ( -2 ,4)在第二象限…     

一道方程题的研讨

高中代数(甲)第二册第239页第22(2)题是在复数C中解方程 x-y/1+xy=1/3 ① x+y/1-xy=3 ②本文将指出学生作业和《教学参考书》上的两个问题。同时补充一个比例解法。误解一:①、②相乘再化简得 (x~2-1)(y~2+1)=0 ③     

判别式的妙用

应用判别式的关键在于 :找出或构造出以某个字母为主元 (即把这个字母看成未知数 ,其他字母看成已知数 )的一元二次方程 ,并将该方程化成一元二次方程的一般形式 ,再运用判别式解答 .一、解不定方程例 1　若ｘ、ｙ为实数 ,且满足 2ｘ2 +ｙ2 +8=2ｘｙ + 4ｙ① ,则ｘ、ｙ的值分别是ｘ =,ｙ =.(1997年“希望杯”初中数学竞赛题 )分析　方程①中有两个未知数 ,把ｘ看成已知数 ,构造一个以ｙ为主元的一元二次方程 .解　以ｙ为主元 ,将①式整理 ,得ｙ2 - (2ｘ + 4 )ｙ + (2ｘ2 + 8) =0 .∵　ｙ为实数 ,∴　Δ≥ 0② .而Δ =(2ｘ + 4 ) 2 - 4(2ｘ2 …     

数学阅读理解题分类解析

随着数学课程理念的变化,阅读理解题已成为近年来中考命题的热点.这类题目形式灵活多样,既考查同学们的阅读理解能力,又考查同学们获取信息后的抽象概括能力和决策判断能力,对提高同学们的逻辑思维能力,强化数学应用意识都有重要的意义.下面将这类题目进行分类解析,供同学们参考.一、判断纠错型例1阅读下列解题过程.题目:已知方程x2+3x+1=0的两个根为α、β,求αβ姨+βα姨的值.解:因为Δ=32-4×1×1=5>0,所以α≠β.①由一元二次方程根与系数的关系,可得α+β=-3,αβ=1,②所以αβ姨+βα姨=α姨β姨+β姨α姨=α+βαβ姨=-31=-3.③阅读…     

一元二次方程基础知识问答

1 为什么要规定一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ=0中的系数ａ≠ 0 ?答　因为当ａ =0时 ,方程变成了ｂｘ+ｃ=0 .这就不是一元二次方程了 .2 关于ｘ的方程 2ｘ2 (ｘ +1 ) +3ｙ -8ｘ=2ｘ3 +3ｙ-7( )是一元二次方程吗 ?答　这个方程通过变形 ,可化为 2ｘ2 -8ｘ +7=0 ,这是一个一元二次方程 ,这说明原方程 ( )是一元二次方程 .因此判断一个整式方程是不是一元二次方程 ,通常要化成一般形式之后再判定 .3 在方程ｘ2 +1ｘ=0中 ,含有一个未知数ｘ ,且未知数ｘ的最高次数是 2 ,能说这个方程是一元二次方程吗 ?答　不能 .一元二次方程首先应该是整式方…     

与分式方程的增根有关的问题

<正>在初中数学教材中先后出现了可化为一元一次方程的分式方程和可化为一元二次方程的分式方程的相关问题.其中,让学生一直感到困惑的是与增根有关的问题.下面就常见的几种情况加以分析.题型一、解分式方程例1(2008南京中考)解方程:2/x+1-x/x~2-1=0.错解方程两边同乘(x-1)(x+1),得2(x-1)-x=0.解这个方程,得x=2.所以,x=2是原方程的解.     

数学问答

66.问 :已知ａｆ(4ｘ -3 ) +ｂｆ(3 -4ｘ) =2ｘ(ａ2 ≠ｂ2 ) ,求 ｆ(ｘ) .(河南商丘市一高一 (18)班　吴　鹏)答 :令 4ｘ -3 =ｔ ,则有 2ｘ =ｔ+ 32 ,所以ａｆ(ｔ) +ｂｆ(-ｔ) =ｔ + 32 .①将①中的ｔ换成 -ｔ,则ａｆ(-ｔ) +ｂｆ(ｔ) =-ｔ+ 32 .②由①、② ,结合ａ2≠ｂ2 ,消去 ｆ(-ｔ)得 ｆ(ｔ) =12 (ａ -ｂ) ｔ + 32 (ａ +ｂ) .∴　ｆ(ｘ) =12 (ａ -ｂ) ｘ + 32 (ａ +ｂ) .注 :1.对于此类函数方程 ,一般可通过赋值和解方程组 ,求出函数解析式 .2 .相关链接 :(1)对于任意非零实数ｘ ,函数 ｆ(ｘ)满足ａｆ(ｘ) +ｂｆ 1ｘ =ｃｘ(ａ、ｂ、ｃ均…