换元法解分式方程

换元法是十分重要的数学方法 ,特别是在中考解分式方程时应用极广 .那么如何恰当地换元 ,则要根据各个方程自身的结构特点加以分析 .一、整体换元例 1　解方程 :ｘｘ- 12 - 5 ｘｘ- 1 +6 =0 .(2 0 0 1年新疆生产建设兵团中考题 )　解　设ｙ=ｘｘ - 1 ,则原方程可化为ｙ2 - 5ｙ+6=0 .解得ｙ1 =2 ,ｙ2 =3.当ｙ=2时 ,ｘｘ- 1 =2 .解得ｘ=2 .当ｙ=3时 ,ｘｘ- 1 =3 .解得ｘ=32 .经检验 ,ｘ1 =2 ,ｘ2 =32 是原方程的根 .二、倒数换元例 2　解方程 :ｘ2 -ｘ- 1 2ｘ2 -ｘ- 4 =0 .(2 0 0 1年黑龙江省哈尔滨市中考题 )　解　设ｙ=ｘ2 -ｘ,则原方程可化…     

一元二次方程中考试题精选(Ⅱ)(一元二次方程的应用、分式方程、简单的二元二次方程组)

一、填空题1 用换元法解分式方程 3ｘｘ2 - 1+ｘ2 - 13ｘ =52 时 ,如果设 3ｘｘ2 - 1=ｙ ,那么原方程可化为 .(2 0 0 1年福建省泉州市中考题 )2 若 2ｘ2 - 5ｘ+82ｘ2 - 5ｘ +1- 5 =0 ,则 2ｘ2 - 5ｘ- 1的值为 . (2 0 0 1年北京市东城区中考题 )3 方程组 ｘ2 - 4ｙ2 =3,ｘ +2ｙ =1的解是 . (2 0 0 1年辽宁省中考题 )4 甲走 12ｋｍ的时间等于乙走 15ｋｍ的时间 ,乙比甲每小时多走 1ｋｍ .若设甲每小时走ｘｋｍ ,则可列方程 . (2 0 0 1年江苏省苏州市中考题 )二、选择题1 解方程组 ｘ+ｙ=4 ,ｘｙ =2 时 ,将ｘ、ｙ看成是一个一元二次方程的根 …     

二元(或三元)一次方程组的解法

解二元 (或三元 )一次方程组除教材中介绍的代入消元法和加减消元法两种基本解法外 ,为了开阔同学们的视野 ,提高解题能力 ,本文补充几种解法 ,供参考。一、整体代入法———当方程组中某个未知数的系数成整数倍时 .例 1　解方程组 2ｘ +5 ｙ =- 2 1　①ｘ +3ｙ =8　　　②解 :由①得 2 (ｘ +3ｙ) -ｙ =- 2 1　③ ,把②代入③得 16 - ｙ =2 1,ｙ =37,把 ｙ =37代入②解得ｘ =- 10 3,∴ ｘ =- 10 3ｙ =37二、消常数项法———当方程组中的常数项成整数倍时 .例 2　解方程组4ｘ +3ｙ =10　　①9ｘ - 7ｙ =- 5　　②解 :① +②× 2得2 2ｘ - 11…     

错在哪里

题　两抛物线 ｙ2 =7-3ｘ与ｘ2 =7-3 ｙ在第一象限内交点的个数为 (　　 )(Ａ) 1　　 (Ｂ) 2　　 (Ｃ) 3　　 (Ｄ) 4解　考查两抛物线 ｙ2 =7-3ｘ ,ｘ2 =7-3 ｙ可知它们关于直线 ｙ =ｘ对称 ,以 ｙ =ｘ代入方程 ｙ2 =7-3ｘ ,得ｘ2 +3ｘ -7=0 ,解得ｘ =-3± 3 72 ;以ｘ =ｙ代入方程ｘ2 =7-3 ｙ ,得 ｙ2 +3 ｙ -7=0 ,解得 ｙ =-3± 3 72 。欲使两抛物线在第一象限内相交 ,须ｘ >0且 ｙ >0 ,∴两抛物线在第一象限内的交点只有 1个。故选 (Ａ)。解答错了 !错在哪里 ?上述解法的错误在于 :误认为互为反函数的两个函数 ,若是有交点 ,则交点一定在…     

揭开绝对值神秘的面纱

在遇到含有绝对值的式子时 ,同学们常常颇感为难 .解决绝对值问题的一个非常有力的武器是 :分类讨论 .怎样恰当地运用分类讨论的方法来解决这种问题呢 ?下面例谈如何突破难关 ,揭开绝对值的面纱 .例 1　求方程｜ｘ｜+ ｜ｙ-1｜=2的图象所围成图形的面积 .分析　这个方程含有两个绝对值符号 ,为去掉绝对值的符号 ,应分四种情况讨论 :(1 )当ｘ≥ 0 ,ｙ≥ 1时 ,方程化为ｘ+ ｙ=3 ;(2 )当ｘ≤ 0 ,ｙ≥ 1时 ,方程化为-ｘ + ｙ=3 ;(3 )当ｘ≤ 0 ,ｙ≤ 1时 ,方程化为-ｘ -ｙ=1 ;(4)当ｘ≥ 0 ,ｙ≤ 1时 ,方程化为ｘ -ｙ=1 .如图 1 ,图象是中心在Ｏ′…     

初三代数期末综合训练题

一、填空题1 若ｘ1和ｘ2 是方程ｘ2 -5ｘ + 2 =0的两个根 ,则ｘ1+ｘ2 =,ｘ1·ｘ2 =.2 已知方程组 ｘ+ｙ=2 ,ｘｙ=-1 5 ,则以ｘ、ｙ为两根的一元二次方程是　　　　　　　　　　 .3 方程组 2ｘ -ｙ =1 ,4ｘ2 -ｙ2 =7的解是 .4 解方程 ｘ + 3ｘ2 -1 + ｘ2 -1ｘ + 3=2 65 时 ,若设ｙ=ｘ+ 3ｘ2 -1 ,则原方程可变形为　　　　　　　　 .5 在数据组 -1 ,0 ,3,6 ,7,9,1 3中插入一个数据ｘ,使这组数据的中位数是 5 ,则ｘ的值是 .6 图象经过Ａ( 0 ,3)、Ｂ( -1 ,0 )两点的一次函数的解析式是 .7 若抛物线经过Ａ( -1 ,0 )、Ｂ( 3,0 )、Ｃ( 0 ,3)三…     

2002年河北省初中升学统一考试数学试题

一、填空题 (每小题 2分 ,共 2 0分 )1 .- 23的相反数是 .2 .分解因式 :ａ2 +ｂ2 - 2ａｂ - 1 =.3.若 |ｘ - 2 | +ｙ - 3=0 ,则ｘｙ =.4 .已知方程ｘ2 - 5ｘ -ｘ2 - 5ｘ =2 .用换元法解此方程时 ,如果设ｙ =ｘ2 - 5ｘ ,那么得到关于ｙ的方程是 (用一元二次方程的标准形式表示 ) .5.已知两圆半径分别为 4和 5.若两圆相交 ,则圆心距ｄ应满足 .6 .某种收音机 ,原来每台售价 4 8元 ,降价后每台售价 4 2元 ,则降价的百分数为.图 17.如图 1 ,已知Ｏ是 ＡＢＣＤ的对角线交点 ,ＡＣ =38ｍｍ ,ＢＤ=2 4ｍｍ ,ＡＤ =1 4ｍｍ .那么 ,△ＯＢＣ的周长等…     

妙题巧解(四)

1 已知ｘ2 ｙ2 +ｘ2 +ｙ2 -4ｘｙ -8ｘ -8ｙ + 2 5=0 ,求ｘ、ｙ的值 .2 已知ａ、ｂ、ｃ都是正实数 ,且ａ >ｂ.求证 :ａ2 +ｃ2 -ｂ2 +ｃ2 <ａ-ｂ.3 已知 2 5ａ -5ｂ +ｃ =0 (ａ≠ 0 ) .求证 :ｂ2 ≥ 4ａｃ.4 已知△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足不等式ａ+ｂ +ｃ + 1 7≤ 4ａ -8+ 6ｂ-3+ 8ｃ-1 ,试判定△ＡＢＣ的形状 .5 若ｘ1、ｘ2 是方程ｘ2 + 5ｘ -7=0的两个根 ,则 (2ｘ21+ 1 3ｘ1-1 9) (2ｘ22 + 1 3ｘ2 -1 9)的值是.参考答案1 已知等式可变形为 (ｘｙ -3) 2 + (ｘ +ｙ) 2-8(ｘ +ｙ) + 1 6 =0 ,即 (ｘｙ -3) 2 + (ｘ +ｙ -4 ) 2=0 .∴　ｘ…     

错在哪里

题　求函数 ｙ =-ｘｘ2 +2ｘ +2 的值域。解　ｘ2 +2ｘ +2 =(ｘ +1 ) 2 +1≥ 1 >0 ,函数定义域为Ｒ。下用△法解题。原式变为　ｙ ｘ2 +2ｘ +2 =-ｘ①两边平方并整理得ｆ(ｘ) =(ｙ2 -1 )ｘ2 +2 ｙ2 ｘ +2 ｙ2 =0②∵ｘ∈Ｒ ,∴△≥ 0 ,即 (2 ｙ2 ) 2 -4(ｙ2 -1 )·2 ｙ2 ≥ 0 ,即 -ｙ2 (ｙ2 -2 )≥ 0 ,亦即 ｙ2 -2≤ 0 ,∴ -2≤ ｙ≤ 2 ,故原函数的值域为 [-2 ,2 ]。解答错了 ,错在哪里 ?在用△法解题时 ,首先要求二次项系数 ｙ2 -1≠0 ,即 ｙ≠± 1 ,上面解法中应完整考虑 ｙ2 -1≠ 0且△≥ 0 ,这时解得 -2≤ｙ≤ 2且 ｙ≠± 1。又 ｙ =± …     

数学奥林匹克高中训练题(60)

第　一　试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1.方程 6× (5ａ2 +ｂ2 ) =5ｃ2 满足ｃ≤2 0的正整数解 (ａ ,ｂ,ｃ)的个数是 (　　 ) .(Ａ) 1　　 (Ｂ) 3　　 (Ｃ) 4　　 (Ｄ) 52 .函数ｙ =ｘ2ｘ - 1(ｘ∈Ｒ ,ｘ≠ 1)的递增区间是(　　 ) .(Ａ)ｘ≥2 (Ｂ)ｘ≤0或ｘ≥2(Ｃ)ｘ≤0 (Ｄ)ｘ≤1- 2 或ｘ≥ 23.过定点Ｐ(2 ,1)作直线ｌ分别交ｘ轴正向和ｙ轴正向于Ａ、Ｂ ,使△ＡＯＢ(Ｏ为原点 )的面积最小 ,则ｌ的方程为 (　　 ) .(Ａ)ｘ +ｙ - 3=0 (Ｂ)ｘ +3ｙ - 5 =0(Ｃ) 2ｘ +ｙ - 5 =0 (Ｄ)ｘ +2ｙ - 4=04 .若方程ｃｏｓ 2ｘ +3ｓｉｎ 2ｘ =ａ +…     

解分式方程方法因题而异(初二)

1.用倒数换元例1 解方程x2-x-12/x2-x-4=0. (2001年哈尔滨中考) 解设x2-x=y,则12/x2-x=12/y,于是原方程化为 y-12/y-4=0,变形得 y2-4y-12=0,解得 y1=6,y2=-2, 当y1=6,即x2-x-6=0时,解得 x1=3,x2=-2; 当y2=-2时,即x2-x+2=0时,△<0,此方程无实数根.     

常用的六种换元方法

一、整体换元法例1计算20+142√3√+20-142√3√.解:设20+142√3√+20-142√3√=x,两边立方,得20+142√+20-142√+3202-(142√)3√2(20+142√3√+20-142√√)=x3,∴x3-6x-40=0,∴(x-4)(x2+4x+10)=0.∵x2+4x+10=(x+2)2+6>0,∴x-4=0,∴x=4.故20+142√3√+20-142√3√=4.二、局部换元法例2解方程5x2+x-x5x2-1√-2=0.解:设y=5x2-1√,则原方程可化为y2+x-xy-1=0,∴(y-1)(y-x+1)=0,解得y=1或y=x-1.当y=1时,5x2-1√=1,解得x1,2=±10√5;当y=x-1时,5x2-1√=x-1,解得x3=12,x4=-1,经检验,x3=12,x4=-1是增根.故原方程的根是x1,2=±10√5.三、常值换元法…     

浅析天津市2002年中考数学综合题

题目　已知二次函数ｙ1=ｘ2 - 2ｘ- 3.( 1 )结合函数ｙ1的图像 ,确定当ｘ取什么值时 ,ｙ1>0 ,ｙ1=0 ,ｙ1<0 ;( 2 )根据 ( 1 )的结论 ,确定函数ｙ2 =12 ( |ｙ1| -ｙ1)关于ｘ的解析式 ;( 3)若一次函数ｙ =ｋｘ +ｂ(ｋ≠ 0 )的图像与函数ｙ2 的图像交于三个不同的点 ,试确定实数ｋ与ｂ应满足的条件 .该题是天津市 2 0 0 2年中考题 .图 1由图 1及绝对值意义易得 :( 1 )当ｘ <- 1或ｘ>3时 ,ｙ1>0 ;当ｘ =- 1或ｘ =3时 ,ｙ1=0 ;当 - 1 <ｘ <3时 ,ｙ1<0 .( 2 )ｙ2 =0 (ｘ≤ - 1或ｘ≥ 3) ,-ｘ2 + 2ｘ + 3(- 1<ｘ <3) .而问题 ( 3)有较强的综合性 ,…     

平均值不等式的学习

平均值不等式定理 :若ａ,ｂ∈Ｒ+,则ａ +ｂ2 ≥ ａｂ ,当且仅当ａ=ｂ时 ,取等号 .若用它来求最值 ,需 ａ+ｂ2 、ａｂ之一为定值 .同时 ,利用平均值不等式求值域必须注意正值、定值、相等 3个条件 .一、当缺少正值条件时例 1　求函数 ｙ=ｘ +1ｘ 的值域 .分析　此时ｘ、1ｘ 不一定是正值 ,不能直接应用定理 ,应将其转化为正值 .解法 1　∵ｘ、1ｘ 同号 ,∴｜ｙ｜=｜ｘ｜+1｜ｘ｜ ≥ 2 ,当且仅当ｘ=1ｘ,即ｘ=± 1时 ,取等号 .∴值域为 { ｙ｜ｙ≥ 2或 ｙ≤-2 }解法 2　当ｘ>0时 ,ｙ=ｘ +1ｘ ≥ 2 ,当且仅当ｘ=1时取等号 ;当ｘ <0时 ,ｙ =ｘ +1…     

一元二次方程基础知识问答

1 为什么要规定一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ=0中的系数ａ≠ 0 ?答　因为当ａ =0时 ,方程变成了ｂｘ+ｃ=0 .这就不是一元二次方程了 .2 关于ｘ的方程 2ｘ2 (ｘ +1 ) +3ｙ -8ｘ=2ｘ3 +3ｙ-7( )是一元二次方程吗 ?答　这个方程通过变形 ,可化为 2ｘ2 -8ｘ +7=0 ,这是一个一元二次方程 ,这说明原方程 ( )是一元二次方程 .因此判断一个整式方程是不是一元二次方程 ,通常要化成一般形式之后再判定 .3 在方程ｘ2 +1ｘ=0中 ,含有一个未知数ｘ ,且未知数ｘ的最高次数是 2 ,能说这个方程是一元二次方程吗 ?答　不能 .一元二次方程首先应该是整式方…     

2002年上海市中等学校高中阶段招生考试数学试题

一、填空题 (每小题 2分 ,共 2 8分 )1.计算 :12-2 =.2 .如果分式ｘ + 3ｘ - 2 无意义 ,那么 ,ｘ =.3.在张江高科技园区的上海超级计算中心内 ,被称为“神威 1”的计算机运算速度为每秒384 0 0 0 0 0 0 0 0 0次 ,这个速度用科学记数法表示为每秒次 .4 .方程 2ｘ2 - 1=ｘ的根是 .5 .抛物线ｙ =ｘ2 - 6ｘ + 3的顶点坐标是.6 .如果ｆ (ｘ) =ｋｘ ,ｆ (2 ) =- 4,那么 ,ｋ = .7.在方程ｘ2 + 1ｘ2 - 3ｘ=3ｘ - 4中 ,如果设ｙ=ｘ2 - 3ｘ ,那么 ,原方程可化为关于ｙ的整式方程是 .8.某出租车公司在“五一”长假期间平均每天的营业额为 5万元 ,由此推…     

圆锥曲线的中点弦方程及应用

性质 1　圆 (ｘ -ｈ) 2 (ｙ-ｋ) 2 =ｒ2 中 ,以Ｐ0 (ｘ0 ,ｙ0 ) (ｘ0 ≠ｈ或ｙ0 ≠ｋ)为中点弦的所在的直线方程为(ｘ0 -ｈ) (ｘ-ｘ0 ) (ｙ0 -ｋ) (ｙ- ｙ0 ) =0 .当ｈ =ｋ=0时方程变为ｘ0 (ｘ -ｘ0 ) ｙ0 (ｙ - ｙ0 ) =0 .证明　设弦所在直线与圆交于Ａ(ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,所以有(ｘ1-ｈ) 2 (ｙ1-ｋ) 2 =ｒ2 ,(1)(ｘ2 -ｈ) 2 (ｙ2 -ｋ) 2 =ｒ2 . (2 )(2 ) - (1)得　　 (ｘ2 -ｘ1) (ｘ1 ｘ2 - 2ｈ)　　 =- (ｙ2 - ｙ1) (ｙ1 ｙ2 - 2ｋ) .当ｘ2 ≠ｘ1时 ,可变为ｘ1 ｘ2 - 2ｈｙ1 ｙ2 - 2ｋ =- ｙ2 - ｙ1ｘ2 -ｘ1.又Ｐ0 (ｘ0 ,ｙ0…     

能用反函数法求函数的值域吗?

在讨论求函数的值域时 ,有些书上介绍了一种方法 ,即所谓的“反函数法” .例如 [1]介绍“反函数法”如下 :如果函数 ｆ(ｘ)存在反函数ｘ =ｆ-1(ｙ) ,则ｘ =ｆ-1(ｙ)的定义域就是函数 ｙ=ｆ(ｘ)的值域 .例 1　求函数 ｙ=1(1-ｘ) (1- 2ｘ) 的值域 .解　由函数 ｙ =1(1-ｘ) (1- 2ｘ) ,解得ｘ =3ｙ± ｙ2 +8ｙ4 ｙ .其定义域由 ｙ2 +8ｙ≥ 0 ,且 ｙ≠ 0确定 ,所以 ,ｙ=1(1-ｘ) (1- 2ｘ) 的值域是……我们认为 ,“反函数法”作为一种求函数值域的方法是不成立的 .从映射的观点看 ,一个函数包含三个要素 :数集Ａ、Ｂ ,以及从Ａ到Ｂ的对应法则 ｆ :…     

一道解析几何题的多种解法

题目 :已知直线ｌ过点Ｍ( 3,2 )且与ｘ轴正半轴、ｙ轴正半轴交于点Ａ、点Ｂ .当△ＡＯＢ面积最小时 ,求直线ｌ的方程 .解法 1:设Ａ(ａ ,0 ) ,Ｂ( 0 ,ｂ) (ａ >0 ,ｂ >0 ) ,易知ａ >3,直线ｌ的截距式方程为ｘａ + ｙｂ =1,以点 ( 3,2 )代入得 3ａ + 2ｂ=1,于是ｂ =2ａａ - 3.Ｓ△ＡＯＢ=12 ａｂ=12 ·ａ·2ａａ - 3=ａ2ａ - 3=ａ2 - 9+ 9ａ - 3=ａ + 3+ 9ａ - 3=ａ - 3+ 9ａ - 3+ 6≥ 2 (ａ - 3)· 9ａ - 3+ 6 =12 .当且仅当ａ - 3=9ａ - 3且ａ >3,即ａ =6时取等号 ,此时ｂ =4 ,直线ｌ的方程为 ｘ6 +ｙ4 =1.解法 2 :同上…… 1=3ａ + 2ｂ ≥ …     

化归思想在求函数最值中的运用

一、化归为二次函数问题运用适当的代数代换 ,将所给函数转化为容易求得最值的二次函数 ,从而求得原函数的最值 .例 1　求函数 ｙ =ｘ - 4 2 -ｘ的最值 .解 :令ｔ=2 -ｘ(ｔ≥ 0 ) ,则ｔ2 =2 -ｘ ,ｘ =2 -ｔ2 .∴　ｙ =ｆ(ｔ) =( 2 -ｔ2 ) - 4ｔ=- (ｔ+ 2 ) 2 + 6 .由于 ｙ =ｆ(ｔ)在 [- 2 ,+∞ )上递减 ,且ｔ≥ 0 ,所以ｙｍａｘ=ｆ( 0 ) =2 .ｙ无最小值 .注 :运用这一方法时要密切注意新变量ｔ的取值范围 .二、化归为基本不等式问题当函数表达式满足基本不等式的条件时 ,可利用基本不等式求函数的最值 .例 2　求函数 ｙ =3ｘｘ2 + 4 的最值 …