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题目 :如图 1 ,AB是⊙O的直径 ,C是AB延长线上一点 ,CD是⊙O的切线 ,D为切点 ,过点B作⊙O的切线交CD于点E .若AB =CD =2 ,求CE的长 .( 2 0 0 2 ,天津市中考题 )本题旨在考查学生对圆幂定理、切线性质、切线长定理、直角三角形的相关知识的运用能力 .题目解法较多 .现介绍几种方法 ,以剖析“圆”中计算题的解题意识、突破点 ,以及“圆”中有关线段的数量关系的确立方法 .分析一 :题中给出了⊙O的两条切线 ,必用到切线性质及与切线有关的定理 .于是 ,连结OD ,易得与Rt△CBE有公共角的Rt△COD ,线段间的数量… 相似文献
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分析近年来各地的中考试题 ,可以发现许多题目都是由课本习题改编而成 .因此 ,同学们应对课本的例、习题给以足够的重视 .立足课本 ,认真探究一题多解、一题多变 ,有助于提高分析问题、解决问题的能力 .图 1题目 如图 1 ,已知在△ABC中 ,∠B =90°.O是AB上一点 ,以O为圆心 ,OB为半径的圆与AB交于点E ,与AC切于点D ,AD =2 ,AE =1 ,求CD的长 .(初中《几何》第三册 2 1 4页第 8题 )一、多种解法解法 1 设⊙O的半径是r,连结DO .∵ AC切⊙O于D ,∴ DO⊥AC .在Rt△ADO中 ,由勾股定理 ,得AD2 +DO2 … 相似文献
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求圆中锐角三角函数值的问题 ,涉及的知识点较多 ,综合性较强 ,解法也较灵活 .每年的中考中都有这种类型的试题 ,用以考查学生综合运用知识的能力 .一、转移线段比例 1 如图 1,P为⊙O外一点 ,PA切⊙O于点A ,PA =8,直线PCB交⊙O于C、B两点 ,且PC =4 ,AD⊥BC于D ,连结AB、AC ,∠ABC =α ,∠ACB =β .求sinαsinβ的值 .(2 0 0 1年湖北省沙市中考题 )思路分析 在Rt△ABD和Rt△ACD中 ,sinα =ADAB,sin β =ADAC.∴ sinαsin β=ADAB·ACAD=ACAB.故只需求 A… 相似文献
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一、选择题 (每小题 3分 ,共 30分 )1.如图 1,四边形ABCD是⊙O的内接四边形 ,∠ABC =115° .那么 ,∠AOC等于 ( ) .(A) 115° (B) 12 0° (C) 130° (D) 135°图 1图 22 .如图 2 ,以BC为直径 ,以O为圆心作半圆 ,点A、F把半圆三等分 ,AD⊥BC于点D ,且BC =12 .连结BF交AD于点E .则AE的长为 ( ) .(A) 2 3(B) 33(C) 3(D) 32 33.已知Rt△ABC外切于⊙O ,∠ACB =90° ,∠BOC =10 5° ,BC =2 0cm .那么 ,Rt△ABC的面积是( ) .(A) 180 3cm2 (B) 2 0 0 3cm… 相似文献
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一、填空题1 在△ABC中 ,AB =AC ,∠BAC =12 0° ,⊙A与BC相切于D ,与AB相交于E ,则∠ADE等于度 .(2 0 0 1年江苏省南京市中考题 )2 已知 :如图 2 ,在Rt△ABC中 ,∠C =90°,AC =2 ,BC =1.若以C为圆心 ,CB长为半径的圆交AB于点P ,则AP= . (2 0 0 1年江苏省宿迁市中考题 )3 已知⊙O的半径为 4cm ,AB是⊙O的弦 ,点P在AB上 ,且OP =2cm ,PA =3cm ,则PB =cm .(2 0 0 1年江苏省南京市中考题 )图 1图 2图 3图 4 4 已知 :如图 3,⊙O的弦AB平分弦CD ,AB =10 ,CD =8,且PA … 相似文献
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全等三角形是能够完全重合的两个三角形 ,它们的对应边相等 ,对应角相等 .巧用这两个相等 ,可顺利地解答一些几何求值和证明问题 .例 1 如图 1 ,在△ABC中 ,∠ACB =90° ,AC=BC ,AE是BC边上的中线 ,过C作CF⊥AE ,垂足是F ,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D ,AC =1 2 .求BD的长 . ( 1 997年浙江省中考题 ) 解 ∵ ∠ACB =90°,CF⊥AE于F ,∴ ∠ 1 =90° -∠ 3=∠ 2 .在△DBC和△ECA中 ,∵ ∠DBC =∠ECA =90° ,BC =AC ,∠ 1 =∠ 2 ,∴ △DBC≌△ECA .∴ BD =CE .∵ C… 相似文献
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原题 如图 1,⊙O1 和⊙O2 外切于点A ,BC是⊙O1 和⊙O2 的公切线 ,B、C为切点 .求证 :AB⊥AC .(初中《几何》第三册第 14 4页例 4)图 1 图 2 变式 1 如图 2 ,⊙O1 和⊙O2 外离 ,BC是⊙O1 和⊙O2 的公切线 ,B、C为切点 ,连心线O1 O2 分别交⊙O1 、⊙O2 于点M、N ,BM、CN的延长线相交于点A .求证 :AB⊥AC .证明 过点M、N分别作⊙O1 、⊙O2 的切线 ,交BC于D、E ,作AO⊥O1 O2 ,交BC于O .则MD =BD ,NE =CE ,MD∥AO∥NE .∵ BOAO=BDMD=1,∴ A… 相似文献
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《中学生理科月刊》2001,(12)
一、填空题1 在△ABC中 ,若∠C =90° ,AC =2 ,BC =1 ,则tgA =.2 化简cos 30° -sin 30°tg 4 5° +tg 6 0° 的结果是 .3 在△ABC中 ,∠C =90°,AC =8,sinA =35 ,则BC =,AB =.4 在⊙O中 ,直径AB与弦CD相交于点E ,当AB、CD满足条件时 ,必有CE =ED .5 如图 1 ,在⊙O中 ,若∠ACB =1 4 0° ,则∠OAB =.6 如图 2 ,在⊙O中 ,若劣弧DE的度数是 6 0° ,则∠B +∠C =.7 如图 3,P是⊙O外一点 ,PO交⊙O于A ,PC切⊙O于C .若OP =1 0 ,PC =8,则OA =.8 如图 4 ,PT切… 相似文献
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题目 如图 1 ,已知四边形ABCD外接圆⊙O的半径为 2 ,对角线AC与BD的交点为E ,AE =EC ,AB =2AE ,BD =2 3.求四边形ABCD的面积 .( 2 0 0 0年全国初三数学竞赛题 )这是一道综合性与技巧性都较强的试题 ,解题的思路开阔 ,方法较多 .图 1图 2 解法一 如图 2 ,∵ AB =2AE ,AE =EC ,∴ AB2 =2AE2 =AE·2AE =AE·AC .∴ ABAC =AEAB.又∠BAE =∠CAB ,∴ △ABE∽△ACB .∴ ∠ABE =∠ACB .∵ ∠ACB =∠ADB ,∴ ∠ABE =∠ADB .∴ AB =AD .作直径… 相似文献
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丁柏川 《中学数学教学参考》2000,(10)
1999年全国初中数学联合竞赛第二试第二题 :AD是△ABC的高 ,以D为圆心 ,AD为半径作⊙D交AB于E ,交AC于F ,AB =5,AE =2 ,AF =3 .求AC的长 .本文对该题做如下几方面的思考和探讨 .一、一题多解解法 1.如图 1,过D分别作DP⊥AB ,垂足为P ,DQ⊥AC ,垂足为Q ,由垂径定理得AP =1,AQ= 32 .易得△ADP∽△ABD ADAB= APAD AD =5.同样有△ADQ∽△ACD ADAC =AQAD AC =103 .解法 2 .如图 1,延长AD交⊙D于M ,连结ME及MF ,可得AD =5 AM =2 5,易得Rt△AMF∽Rt… 相似文献
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《中学教与学》2002,(10)
一、1.B 2 .D 3.B 4 .C 5 .D 6 .D 7.A 8.C 9.C 10 .B二、11.1∶ 3∶2 12 .3cm 13.5 7 14 .1∶ 2 15 .5 0 16 .117 17.2 2 18.6 0° 19.15 2 0 .内切三、2 1.作AD =AD′ =1,连结OD ,OD′ .则△OAD和△OAD′为等边三角形 ,有∠OAD =∠OAD′ =6 0° .连结OC ,可求得∠OAC =4 5° .所以 ,∠CAD =6 0°± 4 5° ,即 ∠CAD为 10 5°或 15° .2 2 .∵FG与⊙O相切 ,∴FG2 =FB·FC .∵FE =FG ,∴FE2 =FB·FC .有 FEFB=FCFE.又 ∠EF… 相似文献
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李新祥 《中学数学教学参考》2001,(7)
两圆位置关系中 ,较常见的是两圆外切、内切、相交 .在这些位置关系中有一些重要的特征图 ,掌握这些图可以在实际问题中明晰解题思路 ,使复杂问题简单化 .一、两圆中的平行线1 如图 1 ,已知⊙O1和⊙O2 相交于A、B两点 ,过A作直线交两圆于C、E ,过B作直线交两圆于D、F ,连结CD、EF .则CD∥EF .证明 :连结AB ,证明简单 ,为了节省篇幅 ,证明略 .2 如图 2 ,已知⊙O1和⊙O2 外切于A ,过A作两条直线交两圆于C、E、D、F ,连结CD、EF .则CD∥EF .证明 :作两圆的公切线AT ,证明略 .3 如图 3 ,已知⊙O1和⊙… 相似文献
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圆幂定理包含相交弦定理、割线定理、切割线定理 .这些定理是“圆”一章的重点内容 .应用圆幂定理进行计算的中考几何题十分常见 ,现分类举例如下 .一、相交弦定理的应用例 1 如图 1 ,⊙O1和⊙O2 内切于点P ,⊙O2 的弦AB经过⊙O1的圆心O1,交⊙O1于C、D .若AC∶CD∶DB =3∶4∶2 ,则⊙O1与⊙O2的直径之比为 .( 1 998年江苏省南京市中考题 )分析 为应用相交弦定理 ,过切点P作⊙O2 的直径PQ ,则O1、O2 必在直径PQ上 .设AC =3a ,则CO1=O1D =O1P =DB =2a .∵ O1P·O1Q =O1A·O1B ,∴ 2… 相似文献
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刘运宜 《中学数学教学参考》2001,(8)
在圆中 ,不少命题的证明都涉及到相交弦、平行弦和公共弦 ,因此构造三弦是我们解决与圆有关命题的有效途径之一 .如果构造得恰当 ,它既可以传递弧、弦、角之间的数量关系 ,又可直接应用圆中的有关定理 ,从而使我们需要解决的问题获得圆满解决 .下面分类举例说明构造三弦的方法及其应用 .一、构造相交弦例 1 如图 1 ,已知 :AE为△ABC外接圆O的直经 ,交BC于D .求证 :ADDE=tgB·tgC .证明 :过A作AK⊥BC ,垂足为K ,并延长交⊙O于F ,连结EF .在Rt△ABK和Rt△ACK中 ,由锐角三角函数得tgB =AKBK ,… 相似文献
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一、选择题 (每小题 3分 ,共 30分 )1 .⊙O的半径为r,⊙O的弦AB的长等于r.则以O为圆心、32 r长为半径的圆与AB所在直线的位置关系是 ( ) .(A)相离 (B)相切(C)相交 (D)位置不定图 12 .如图 1 ,PM与⊙O相切于点M ,PO交⊙O于点A ,且PA =AO .若⊙O的半径为R ,那么 ,PM的长为( ) .(A)R2 (B) 2R(C)R (D) 3R3.等腰梯形ABCD外切于⊙O ,AD∥BC ,∠B =30° ,中位线EF =1 2cm .则⊙O的半径为 ( ) .(A) 4cm (B) 3cm (C) 5cm (D) 2cm图 24 .如图 2 ,PT是… 相似文献
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沈文选 《中学数学教学参考》2002,(3):59-62
一、基础知识三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心 ,内心有下列优美的性质 :性质 1 设I为△ABC的内心 ,则I到△ABC三边的距离相等 ;反之亦然 .性质 2 设I为△ABC的内心 ,则∠BIC =90° 12 ∠A ,类似地还有两式 .性质 3 设I为△ABC的内心 ,BC =a ,AC =b ,AB =c,I在BC、AC、AB上的射影分别为D、E、F ;内切圆半径为r ,令 p =12 (a b c) ,则 (1 )S△ABC=pr;(2 )r =2S△ABCa b c;(3 )AE =AF =p -a ,BD =BF =p -b,CE =CD =p -c ;(4 )abcr=p·AI·… 相似文献
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蔡永祥 《中学数学教学参考》2000,(7):46-47
在一次复习辅导课上 ,笔者编制了一道平面几何题用于课堂教学的教改尝试 .此时构思是以某已知条件为背景 ,把凡涉及与已知条件相关的多题结论有机的结合在一起 ,使题目展现出一题多解 ,一图多用 ,一题多变 ,步步深入的解题新格局 .例 如图 1 ,Rt△ABC中 ,∠B =90°,点O在AB上 ,以O为圆心 ,OB为半径的圆与AC相切于点D ,交AB于E .1 .求证 :DE∥OC .2 .求证 :CBBO=ADAE.3.若AE =1 ,cosA =45 ,求⊙O的面积 .4.若AD =2 ,AE =1 ,(1 )求⊙O的直径、CB长及sin ∠ACB2 的值 ;(2 )求证 :S△AC… 相似文献
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在处理有关两圆相交、相切等问题时 ,常常要添加适当的辅助线 ,将较为分散的条件和图形相对集中 ,从而使问题能简捷获解 .这时 ,公切线或公共弦是重要的辅助线 ,它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角等得以沟通 .一、当两圆相交时 ,通常需要作出公共弦例 1 如图 1,⊙O1 和⊙O2 相交于A、B两点 ,过B点作⊙O1 的切线交⊙O2 于D点 ,连结DA并延长 ,与⊙O1 相交于C点 ,连结BC ,过A点作AE∥BC ,与⊙O2 相交于E点 ,与BD相交于F点 .(1)求证 :EF·BC =DE·AC .(2 )若AD =3 ,AC =1,AF =3 ,求EF… 相似文献
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一、填空题1 如图 1 ,PC切⊙O于C ,割线PAB交⊙O于点A、B ,若PA =2 ,AB =4 ,则BC2 ∶AC2 =.(四川省乐山市 )2 如图 2 ,等腰△ABC的底边BC的长为a,以腰AB为直径的⊙O交BC于D点 ,则BD的长为 .(山东省青岛市 )3 PA、PC分别切⊙O于A、C两点 ,B为⊙O上与A、C不重合的点 ,若∠P =5 0° ,则∠ABC =.(辽宁省 )4 ⊙O的半径为 5 ,P为⊙O内一点 ,OP =3,则经过点P的⊙O的最短弦和最长弦的长度之比为 .(山东省青岛市 )5 如图 3,⊙O的半径为 5cm ,PO =8cm ,若 PCCD=12 ,则PC的长… 相似文献