一类高阶非线性泛函微分方程的强迫振动性研究

大讨论了一类高阶非线性微分方程x^（n）（t）＋p（t）f（t,x（t）,x^（n-1）（t）-q（t）｜x（s）｜^λsgn x（t）=m（t）的强迫振动性。建立了该方程的几个振动性定理,并用相同的方法讨论了高阶中立型时滞微分方程[x（t）＋cx（t-τ）]^（n）＋a（t）x（t）＋b（t）x（t-τ）=m（t）＋q（t）｜x（t）｜^λsgn x（t）＋α（t）｜x（t-τ）｜^σsgn x（t-τ）解的振动性。     

非局部波动方程组解的全局存在性与爆破问题

本文主要处理非局部波动方程组解的全局存在与爆破问题,考虑如下非局部波动方程组的初值问题：{δ^2u1/δt^2=δ^2u1/δx^2＋‖u2（·,t）‖p1,δ^2u2/δt^2＋‖u3（·,t）‖p2,δ^2u3/δt^2=δ^2u3/δx^2＋‖u1（·,t）‖p3,-∞〈x〈∞,t〉0 ui（x,0）=fi（x）,δui/δt（x,0）=gi（x）,i=1,2,3,-∞〈x〈∞ 这里0〈p1,p2,p3〈＋∞,‖ui（·,t）‖=∫-∞^＋∞ φi（x）｜u（x,t）｜dx,i=1,2,3,其中φi（x）≥∫-∞^＋∞ φi（x）dx=1,i=1,2,3。所有这些初值函数都为连续的且｜fi（x）｜＋｜gi（x）｜恒不等于0,i=1,2,3.根据对称性,本文假定p1≤p2≤p3.     

二阶不稳定中立型时滞微分方程的无界正解的存在性

考虑二阶不稳定型中立型时滞微分方程[x（t）-p（t）x（t-τ）]″=q（t）｜x（t-σ）｜^α-1x（t-σ），t≥t0，其中α〉1，τ〉0，σ〉0，且p，q∈C（[t0，＋∞），R^＋）获得了该方程的一个无界正解，推广了文献中的结论。     

一类非线性时滞函数方程的振动准则

主要研究非线性时滞高阶函数方程x（t—τ）=P（t）z（t）＋^m∑i=1Qi（t）^s∏j=1｜x（t-（κj＋i）τ）｜^aj signx（t-（t-（κj＋i）τ）的解的振动性,利用迭代法,得到该方程解振动的若干个充分条件。     

用换元法解决不等式问题

一、用换元法解不等式例１（１９９９年全国高考题）解不等式３logax－２√＜２logax－１（a＞０，a≠１）．解设３logax－２√＝t≥０，则logax＝t２＋２３．原不等式可化为２t２－３t＋１＞０．解得０≤t＜１２或t＞１．∴２３≤logax＜３４或logax＞１．当a＞１时，原不等式的解集是｛x｜a２３≤x＜a３４｝∪｛x｜x＞a｝；当０＜a＜１时，原不等式的解集是｛x｜a３４＜x≤a２３｝∪｛x｜０＜x＜a｝．例２解不等式３－x√－x＋１√＞１２．解∵（３－x√）２＋（x＋１√）２＝４，∴可令３－x√＝２sinθ，x＋１√＝２cosθ，θ［０，π…     

一题多解，探根溯源

题目 已知函数f（x）=x^2＋ax＋1/x^2＋a/x＋b（x∈R,且x≠0）,若实数a,b使得f（x）=0有实根,求a^2＋b^2的最小值.（2014年高中数学联赛贵州赛区） 1．一题多解 分析 令t=x＋1/x,则t∈（-∞,-2]∪[2,＋∞）,于是 方程f（x）=0,即t^2＋at＋b-2=0（｜t｜≥2）.（＊）     

不等式｜x-a｜＋｜x-b｜〉c（〈c）的简解

一、定理1 （1）若｜a-b｜〉c,则不等式｜x-a｜＋｜x-b｜〉c的解集为R。 （2）若｜a-b｜≤c,则不等式｜x-a｜＋｜x-b｜〉c等价于｜（x-a）＋（x-b）｜〉c,其解集为{x｜x〈1/2（a＋b-c）或x〉1/2（a＋b＋c）}。[第一段]     

2007年一道高考解析几何题的拓展及变式推广

1．提出问题 （2007年北京文科卷第20题）已知函数y=kx与y=x^2＋2（x≥0）的图象相交于A（x1,y1）、B（x2,y2）,11、12分别是y=x^2＋2（x≥0）的图象在A、B两点的切线,M、N分别是l1、l2与x轴的交点．（1）求k的取值范围;（2）设t为点M的横坐标,当x1〈x2时,写出t以x1为自变量的函数式,并求其定义域和值域;（3）试比较｜OM｜与｜ON｜的大小,并说明理由（O是坐标原点）．     

韦达定理和根的对称式

如果x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两个根,由根与系数的关系（即韦达定理）,不解方程可求得下列代数式的值：（1）x12＋x22;（2）1x1＋1x2;（3）x2x1＋x1x2;（4）x12＋x1x2＋x22;（5）（x1＋k）（x2＋k）（k为常数）;（6）｜x1-x2｜···仔细观察这些代数式,它们都有一个共同的特点：把式子中的x1、x2互换,原来的式子不变.例如,把x1、x2互换后,x12＋x22变成了x22＋x12,｜x1-x2｜变成了｜x2-x1｜,其值不变,我们把这类式子叫做一元二次方程根的对称式.     

一阶中立型时滞微分方程新的振动准则

在原有方程的基础上,建立了一个新的带有变系数的一阶中立型时滞微分方程[x（t）-P（t）x（t-τ）]′＋Q（t）∏｜f（x（t-iδ））｜aisgnx（t-iδ）＋c（t）f（x（t-r））=0的振动准则.讨论了此类方程一切解振动的几族充分条件.这些结果提高和延伸了原有结果.实践表明,研究结果是具有实质性意义的.     

一维p—laplacian方程组的正解存在性

考虑一维p—laplacian非线性边值问题：（φ（x’））＇＋f（t,x,y）=0,（φp（x）’）’＋g（t,x,y,）=0,其中φp（s）=｜s｜^p-2s,p〉1．通过应用krasnoselskii锥不动点定理,建立了该问题存在多个正解的充分条件,推广并丰富了以往文献的一些结论．     

一类带有p—Laplace算子的方程解的有界性

研究方程（Фp（x＇））＇＋λ2Фp（x）＋f（x）=e（t）的拉格朗目稳定性,其中Фp（s）=｜s｜p-2s,p≥2为常数;当x→∞时,扰动项f（x）=o（x）;e（t）为2πp周期函数,且πp=2π（p-1）1/p/psinπ/p.     

两类联图的边色数

两个不交图G与H的联G+H是指顶点集为V(G)∪V(H),边集为E(G)∪E(H)∪{xy|x∈V(G),y∈V(H)}的图.证明了当n=m+1时,联图Om+Cn是第二类图,否则,Om+Cn是第一类图;当|n-m|=1时,联图Cm+Cn是第二类图,否则,Cm+Cn是第一类图.     

关于不定方程51x~4-103x~2y~2+51y~4=-1的整数解

利用Pell方程及同余的性质证明了不定方程51x4-103x2y2+51y4=-1仅有整数解(|x|,|y|)=(1,1).     

一类奇异三阶三点特征值问题的非平凡解

考察了非线性三阶三点特征值问题 {u^m（t）＋λf（t,u（t）,u′（t）,u″（t））=0,0〈t〈1, u（0）=a,u′（η）=βu″（1）=γ, 其中非线性项f（t,u0,u1,u2）是一个强Caratheodory函数．证明了当a^2＋β^2＋γ^2〉0或者∫1 0｜f（t,0,0,0）｜dt〉0时存在λ^＊〉0使得对于任何0〈λ≤λ^＊,此问题至少有一个非平凡解。     

自正则化和重对数律的极限定理

设X,X1,X2,Λ是独立同分布的随机变量序列,记■。     

粗糙Hardy-Littlewood极大交换子在Herz空间上的有界性

本章主要是研究由BMO函数和Caldero′n-Zygmund奇异积分算子所生成的交换子M_(b,Ω)(f)(x)=sup1/|B(x,r)|∫B(x,r)|Ω(x-y)||b(x)-b(y)||f(y)|dy在非齐次Herz空间上的有界性.