一些存在性问题的解法

(本讲适合初中) 首先,我们介绍存在性原理,这是指如下关于实数的命题: 命题1 设有n(n≥2)个实数a_1,a_2,…,a_n,如果a_1 a_2 … a_n=A,则必存在实数a_i,a_j(1≤i,j≤n),使得 a_i≥A/n,a_j≤A/n。     

应用排序不等式的方法与技巧

(本讲适合高中) 所谓“排序不等式”,是指对两组n元有序实数a_1≤a_2≤…≤a_n,b_1≤b_2≤…≤b_n,以下不等式成立:     

不等式“H≤A”应用举例

n/(1/a_1 1/a_2 … 1/a_n),(a_1 a_2 … a_n)/n分别称为正数a_1,a_2,…a_n的调和平均和算术平均,依次记为H,A我们有不等式H≤A,仅当a_1=a-2=…=a_x时取等号。灵活运用这一不等式可证明一些较困难的不等式。     

一个不等式的推广

若a、b均为实数,且a~2+b~2=1,则有不等式-1/2≤ab≤1/2 (1) 成立。这是众所周知的。现对不等式(1)推广如下: 若a_1,a_2,…,a_n均为实数,且a_1~2+a_2~2+…+a_n~2=1,则当n≥2时有不等式成立。     

应用柯西不等式的几个推广

<正>柯西不等式:设a_1,a_2,…,a_n;b_1,b_2,…,b_n是两组实数,则有n∑k=1a_k²·n∑k=1b_k2·n∑k=1b_k²≥(n∑k=1a_kb_k)2≥(n∑k=1a_kb_k)²。其中等号成立当且仅当a_1:a_2:…:a_n=b_1:b_2:…:b_n。推论:设a_1,a_2,…,a_n是正实数,则(a_1+a_2+…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n2。其中等号成立当且仅当a_1:a_2:…:a_n=b_1:b_2:…:b_n。推论:设a_1,a_2,…,a_n是正实数,则(a_1+a_2+…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n²,其中等号成立当且仅当a_1=a_2=…=a_n。     

一道联赛题的背景知识及解题思路赏析

<正>一、赛题呈现2017年全国高中数学联赛决赛压轴的是一道数论不等式试题.试题设m、n均为大于1的正整数,m≥n,a_1,a_2,…,a_n是n个不超过m的互不相同的正整数,且a_1,a_2,…,a_n互素.证明:对任意实数x,均存在一个i,1≤i≤n,使得‖a_ix‖≥     

一道不等式问题的多种证法

第48届 IMO 中国国家集训队测试题(四)第1题:设正实数 a_1,a_2,…,a_n 满足 a_1 a_2 … a_n=1.求证:(a_1a_2 a_2a_3 … a_na_1)×((a_1/a_2~2 a_2) (a_2/a_3~2 a_3) … (a_n/a_1~2 a_1))≥n/(n 1)此题题型新颖,结构优美.本文给出了此题的6种证法,下面的证法1是由笔者给出的.证法1 首先由 Cauchy 不等式易得下述引理.引理1 设 a_1,a_2,…,a_n 是实数,x_1,x_2,…,x_n 是     

柯西——许瓦尔兹不等式及其在代数问题上的应用

设a_1，a_2，…，a_n；b_1，b_2，…，b_n为两组实数，则有不等式（a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n）~2≤（a_1~2+a_2~2+…+a_n~2）（b_1~2+b_2~2+…+b_n~2）（1）式中等号当且只当这两组数成比例，即当(a_1)/(b_1)=(a_2)/(b_2)=…=(a_n)/(b_n) （2）时成立     

1995年中国数学奥林匹克(第10届全国中学生数学冬令营,合肥)

第一天 (1995—01—10上午8:00—12:30)一、设2n个实数a_1,a_2,…,a_n;b_1,b_2,…,b_n(n≥3)满足条件: (1)a_1 a_2 … a_n=b_1 b_2 … b_n; (2)0相似文献   

柯西不等式的两种形式及应用

<正>柯西不等式设a_1,a_2,…,a_n与b_1,b_2,…,b_n是两组实数,则有(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…+b_n~2)≥(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)~2,当向量(a_1,a_2,…,a_n)与向量(b_1,b_2,…,b_n)共线时,等号成立[1].对于柯西不等式在n=2和n=3时有下面常见的代数形式和几何形式.设A,B与x,y是两组实数,则有     

2009年高考数列交汇题的三大题型

数列与集合交汇例1(北京卷)已知数集A={a_1,a_2,…,a_n}(1≤a_1     

非负数性质的应用

我们把不小于零的实数统称为非负数,若a表示非负数,则a≥0。 在初中数学中,常见的非负数有:实数的平方、非负数的偶次方根和实数的绝对值等。 非负数有如下性质: 若a_1,a_2,…,a_n均为非负实数,且a_1 a_2 … a_n=0,则     

不等式的证明（二）

设 a_1,a_2,…,a_n 与 b_1,b_2,…,b_n 是两组不成比例的实数,实数 x_1,x_2,…,x_n 满足sum from i=1 to n a_ix_i=0, (1)sum from i=1 to n b_ix_i=1, (2)证明 (3)题中的条件"a_1,a_2,…,a_n 与 b_1,b_2,…,b_n 不成比例"可以省去,因为若 a_1,a_2,…,a_n 与 b_1,b_2,…,b_n 成比例,则由式(1)可得 sum from i=1 to n b_ix_i=0,与式(2)矛盾,所以条件(1)和条件(2)已隐含此意.熟悉 Lagmnge 恒等式的人立即可以看出式(3)的分母     

一个代数不等式猜想的证明

文献[1]提出如下一个代数不等式的猜想:猜想设 a_i>0,i=1,2,…,n,3≤n ∈N,证明或否定:f(a_1,a_2,…,a_n)=(a_1/1 a_1 a_1a_2 … a_1a_2…a_(n-1)) (a_2/1 a_2 a_2a_3 … a_2a_3…a_n) (a_3/1 a_3 a_3a_4 … a_3a_4…a_na_1) ……     

柯西不等式的应用

已知a_1,a_2,…a_n和b_1,b_2,…b_n是实数,则(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)~2≤(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…+b_n~2),并且在a_1/b_1=a_2/b_2=…=a_n/b_n等时取等号。上面的不等式叫做柯西不等式,课本中“求     

第37届IMO预选题

1.设a、b、c是正实数,并满足abc=1.证明: ab/(a~5 b~5 ab) bc/(b~5 c~5 bc) ca/(c~5 a~5 ca)≤1,并指明等号在什么条件下成立. 2.设a_1≥a_2≥…≥a_n是满足下述条件的n个实数,对任何整数k>0,有a_1~k a_2~k … a_n~k≥0成立.令p=max{|a_1|,|a_2|,…,|a_n|}.证明:p=a_1,并且对任何x>a_1,均有     

《解复数数列一例》

例.设数列Z_1,Z_2,…,Z_n…是首项为48,公比为1/4(+(i)的等比(复)数列.(1)求Z_4;(2)将这个数列中的实数项,不改变原来的次序,从首项开始,排成a_1,a_2,….a_n,…,试求a_3;(3)求无穷级数a_1+a_2+…+a_n+…的和.解:利用     

由柯西不等式的两种证法所引申的解题技巧

柯西不等式：设a_1,a_2,…,a_n； b_1,b_2,…,b_n为两组实数,则 (a_1b_2＋a_2b_2＋…＋a_nb_n)~2≤(a_1~2＋a_2~2＋…＋a_n~2)(b_1~2＋b_2~2＋…＋b_n~2)。当且仅当b_1／a_1＝b_2／a_1＝…＝b_n／a_n(约定 a_i≠0,i＝1,2,…,n)时取等号。     

一类分式不等式的推广及应用

文[1]将一个无理不等式推广为:定理1 设正整数 n≥3,a_i∈R~ (i=1,2,…,n),实数 k≥(n-1)/n,则有∑(a_1/(a_2 a_3… a_n))~k≥n/(n-1)~k,当且仅当 a_1=a_2=…=a_n 时取等号.(∑表示对 a_1,a_2,…,a_n 的循环和)文[2]给出如下两个定理:定理2 若 a_i>0(i=1,2,…,n),s=,则(其中m≥1,n≥2,n∈N,p≥0,A>a_i~p).(1)     

柯西不等式在中学不等式证明中的应用

设a_1,a_2,…,a_n和b_1,b_2,…,b_n为两组实数,则有((sum from i=1 to n(a_ib_i))~2≤(sum from i=1 to n(a_i~2))(sum from i=1 to n(b_i~2)))。式中等号当且仅当a_1/b_1=a_2/b_2=…=a_n/b_n时成立。特别地,当b_1=b_2=…=b_n=1时,有 a_1~2 a_2~2 … a_n~2≥1/n(a_1 a_2 … a_n)~2。 以上第一个不等式称为柯西不等式,其证明方法很多,在此不再赘述。