一道48届IMO试题引申的别证

《中学数学杂志》（初中）2008年第6期p．56登载的“对一道IMO试题的探究”一文（下称文[1]）,“经、笔者深入探究”（文[1]）,将第48届IMO的第四题（由捷克提供）作了有趣的引申,得到了一个新颖、颇有思考性的平面几何命题,但其证明较为冗繁,不够简练,给初中生的阅读带来不便．受其启发,笔者经继续探究,得到异于文[1]的几种较为浅显、简明,易为初中生理解、接受的纯几何别证,现介绍如下,供读者参考．     

一道IMO试题的纯平几证法研究

第35届 IMO 试题中有一道平面几何试题△ABC 是等腰三角形,AB=AC,假如:(1)M 是 BC的中点,O 在直线 AM 上,使得OB⊥AB.(2)Q 是线段BC 上不同于 B和 C 的任一点(3)E 在直线 AB 上,F在直线上,使得 E、Q、F 是不同的和共线的.求证:OQ⊥EF,当且仅当 QE=QF     

一道IMO试题的另一证法

《中学数学月刊》2 0 0 2年第八期上 ,蔡玉书老师在《两条直线合成技巧的应用》一文中用解析几何法证明了下列竞赛题 :△ ABC是等腰三角形 ,AB=AC,假如 :(1) M是 BC的中点 ,O在直线 AM上 ,使得 OB⊥ AB;(2 ) Q是线段 BC上不同于 B和 C的一个任意点 ;(3) E在直线 AB上 ,F在直线 AC上 ,使得 E,Q和 F是不同的和共线的 .求证 :OQ⊥ EF,当且仅当 QE=QF.(第 35届 IMO试题 )这里再给出一种平几证法 .证明　题目所求证即为 QE=QF是 OQ⊥ EF的充要条件 .充分性 :过 E作 DE∥ AC交 CB延长线于 D,连 OE,OF,OC.∵ DE∥ AC,…     

一道IMO试题的另证

题目 在凸四边形ABCD中,已知∠ABC=∠CDA=90°,H是点A向BD引垂线的垂足,点S、T分别在边AB、AD上,使得H在△SCT的内部,且么CHS-∠CSB=90°,∠THC-∠DTC=90°．     

一道IMO试题的别证

题:设 a、b、c 是正实数,且满足 abc=1,求证:(a-1 (1/b))(b-1 (1/c))(c-1 (1/a))≤1.这是2000年第41届国际数学奥林匹克竞赛试题的第2题.本文给出两个别证.由题设条件可知(a-1 (1/b))、(b-1     

一道IMO试题的再加强与猜想的加强

第42届1M0第二题：对所有正实数a,b,c,证明a/√a^2＋8bc＋b/√b^2＋8ca＋c/√c^2＋8ab≥1（1）（以下简称赛题）．     

第42届IMO试题1的又一三角证明

第42届IMO试题1是一道平面几何题。题目设锐角△ABC的外心为O,从A作BC的高,垂足为P,且∠BCA≥∠ABC+30°,证明:∠CAB+∠COP<90°. 文[1]给出了一个构思精巧的纯平面几何证明,文[2]给出一个三角证法.笔者在对该题作出研究之     

一道30届IMO试题的别解

第30届IMO试题中有这样一道试题： 设n和k是正整数,S是平面上n个点的集合,满足（i）S中任何三点不共线：（ii）对s中的每一点P,5中至少有k个点与P的距离相等．     

一道IMO试题的别证

2007年7月第48届国际数学奥林匹克（IMO）第4题为： 在△ABC中,∠BCA的平分线与△ABC的外接圆交于点R,与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q．设K,L分别是边BC,AC的中点,证明：△RPK和△RQL的面积相等．     

一道IMO试题的加强与推广

题目 （IMO-31预选题）设a,b,c,d是满足ab＋bc＋cd＋da=1的非负实数,求证：a^3/b＋c＋d＋b^3/c＋d＋a＋c^3/d＋a＋b＋d^3/a＋b＋c≥1/3.     

一道IMO试题的推广

我们首先来看第28届国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题1（见文献[1]）：设Pn（k）是集{1,2,…,n}的保持k个点不动的排列的数目,求证：     

一道IMO试题的引申与瓦西列夫不等式

1赛题的引申 第24届IMO试题：设a,b,c是三角形的边长,试证：a2b·（a-b）＋b2c（b-c）＋c^2a（c-a）≥0（1）.     

第40届IMO一道试题的别证

试题：（IMO,1999）设a,b,c≥0,且abc=1,求证： （a-1＋b^-1）（b-1＋c^-1）（c-1＋a^-1）≤1.（1）证：作变换a=x/y,b=y/z,c=z/x,其中x,y,z〉0,     

一道IMO试题的推广及简证

2001年第42届IMO的第3题（德国命题）为： 21个女孩和21个男孩参加一次数学竞赛. （1）每一个参赛者至多解出6道题; （2）对于每一个女孩和每一个男孩,至少有一道题被这一对孩子都解出.证明：有一道题,至少有3个女孩和至少有3个男孩都解出．     

一道IMO试题的推广

2007年第48届IMO第4题是: 在△ABC中,∠ABC的平分张与△ABC的外接圆交于点R,与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q.     

一道IMO选拔赛试题的推广

题目(第37届IMO中国选拔赛试题).以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB、AC分别交于点D和E,过D、E分别作BC的垂线,垂足分别为F和G,线段DG、EF交于点M.求证:AM⊥BC.     

第50届IMO试题解答

1．设n是一个正整数,a1,a2,…,ak（k≥2）是集合{1,2,…,n}中互不相同的整数,使得对于i=1,2,…,k-1,都有n｜ai（ai＋1-1）．证明：n ak（a1-1）．     

一道IMO试题推广的简证

第24届IMO试题中有一道脍炙人口的不等式证明题:设a,b,c,为三角形的三边长,试证     

一道IMO试题的证明及推广

题目设整数a≥3,正实数a2,a3,…an满足a2a3…an=1,证明：     

第43届IMO试题解答

1 .设n为任意给定的正整数 ,T为平面上所有满足x +y 相似文献