完全平方数

长久以来,在数学竞赛中数论的内容往往是分值相对较高的一部分内容,由于数论内容比较抽象,学生学习起来有一定难度。因此也易陷入学习的误区,大多数学生往往采用死记硬背的方法来消化所学的内容,导致各个知识点都似曾相识,但遇到实际题目却一筹莫展．同时,由于数论题目的叙述往往只有几句话,甚至只有一行,导致学生产生读题障碍。读不出题中的意思,解不出题,因此,本讲将以数论中的一个重要内容“完全平方数”为载体,通过例题分析．向读者揭示如何灵活利用定理,解决“完全平方数”题的一般途径,希望也能借此帮助大家一窥解决数论问题的一般途径．     

完全平方数

完全平方数是这样一种数：它可以写成一个正整数的平方．如：３６＝６×６，４９＝７×７．你知道下面几个好玩的事实吗？１．从１开始的n个奇数的和是一个完全平方数．即１＋３＋５＋…＋（２n－１）＝n２．例如，１＋３＋５＋７＋９＝２５．２．每一个完全平方数的末位数是０，１，４，５，或９．３．每一个完全平方数要么能被３整除，要么减去１能被３整除．４．每一个完全平方数要么能被４整除，要么减去１能被４整除．５．每一个完全平方数要么能被５整除，要么加上１或减去１能被５整除．完全平方数@田各     

完全平方数

完全平方数是数论中较为常见的一类问题,经常出现在各种数学竞赛中．在解决与完全平方数有关的问题时,需要用到完全平方数的性质及整数的有关知识,比如：     

完全平方数

两个相同自然数的乘积叫做完全平方数,如0,1,4,9,16,…都是完全平方数,简称平方数。 完全平方数有许多特征： （1）完全平方数的个位数只可能是0,1,4,5,6,9。 （2）在两个连续自然数的平方数之间不存在完全平方数。     

完全平方数

长久以来，在数学竞争中数论的内容往往是分值相对较高的一部分内容，由于数论比较抽象。学生学习起来有一定难度，因此也易陷入学习的误区，大多数学学生往往采用死记硬背的方法来消化所学的内容，     

谈完全平方数

我们知道,如果对于自然数N、n,满足N=n~2,则N称为完全平方数。确定或否定一个数或表示数的整式是完全平方数,往往牵涉到许多知识,如质因数的分解,整式的运算,因式分解,反证法等,而具体处理问題时,又有相当大的灵活性。加强这方面的指导,可以提高学生的思维能力,综合应用知识的能力和灵活解题能力,现举数例如下。     

完全平方数问题

2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛最后一题是一个关于完全平方数的问题：已知a为实数,且存在正整数n0,使得√n0＋a为正有理数,证明：存在无穷多个正整数n,使得√n＋a为有理数．     

一个完全平方数问题的解法及其思考

<正>有关完全平方数的问题在全国各类竞赛中屡见不鲜,本文就2010年全国初中数学联赛(武汉区)第12题的解法作一些探讨,并提出教学中的思考,供读者参考.     

一个完全平方数问题的解法及其思考

有关完全平方数的问题在全国各类竞赛中屡见不鲜,本文就2010年全国初中数学联赛（武汉赛区）第12题的解法作一些探讨,并提出教学中的思考,供读者参考．     

完全平方数的一个性质及应用举例

在自然数中,因为1=1~2,4=2~2,9=3~2,16=4~2,…,N=n~2,则称1,4,9,16,…,N为完全平方数.除完全平方数外,则其余称为非完全平方数.定理 完全平方数有奇数个因数;非完全平方数有偶数个因数.证明 若N是一个非完全平方数,则对它进行因数分解时,必有成对的因数,其一小于N~(1/2),另一必大于N~(1/2).例如 N=12,对12进行因数分解如下:12=1×12,12=2×6,12=3×4,     

完全平方数与完全平方式

<正>贵刊2015年第1期曾刊登了《一元二次方程根的判别式的若干应用》一文,笔者对其中两个例题的解法有不同看法,特与大家商榷.为了便于说明,先将文中的例8及解答抄录如下:例1 m为有理数,讨论k为何值时,方程     

完全平方数和完全平方式

设n是自然数,若存在自然数m,使得n=m^2,则称n是一个完全平方数（或平方数）．     

完全平方数及其应用

(本讲适合初中) 完全平方数是一类重要的整数,在近年来的数学竞赛中比较多地涉及到了这个概念,中国数学会普及工作委员会制订的《初中数学竞赛大纲》也把它列为基本内容。本文将讨论完全平方数的基本结论和有关问题。     

几类双色完全平方数

本刊文[1]给出了双色完全平方数的定义,并给出了一个构造一类双色完全平方数的定理,本文将给出双色完全平方数的更明确的定义,再给出一些构造双色完全平方数的定理。 定义 同时满足下列四个条件的数10~a b(n∈N ).称为2n位双色完全平方数:     

完全平方式与完全平方数

一、从一些问题的解法谈起完全平方式与完全平方数是初中数学的重要概念。如果不注意两个概念的区别和联系,往往解题不严谨,甚至出错。请看: 例1 设m为有理数,问k取何值时,方程x~2-3(m-1)x+m~2-2m+4k=0的根是有理数。解由习惯的二次△解法,首先须判别式     

奇妙的完全平方数

小朋友,请你在下面两个等号左边的"○"内填入0、3、4、5、6、7、8、9各一次,在每个等号右边的"□"内分别填入1、2、3、4、5、6、7、8。怎么样,是不是有点儿难?没关系,只要你有耐心,一定可以填     

浅谈完全平方数和完全平方式

完全平方数和完全平方式是两个既有联系又有区别的概念,初中代数中指出,“如果一个正数恰好是另一个有理数的平方,这个正数叫做完全平方数”,又指出,“把a~2±2ab b~2”这样的式子叫做完全平方式.”事实上,若正数A可以写成另一个有理数a的平方,即A=a~2,那么,可以找出两个有理数b,c,使得b=a-c,就有A=a~2=(b c)~2,由此可见,A可以视为一个完全平方式,就是说完全平方数可以视为完全平方式.但是,完全平方式不能视为完全平方数,如(1 2~(1/2))~2是完全平方式而不是完全平方数.显然,完全平方数的概念包含于完全平方式这个概念中.为了对这两个概念的联系和区别展开更全面的讨论,我们对x的二次三项式ax~2 bx c下列性质作简单的阐明.     

完全平方数（下）

4利用完全平方数序列的间距特征 完全平方数序列的间距具有如下特征：（1）m^2-n^2≥3（0〈n〈m,m、n∈N）;（2）m^2与（m＋1）^2之间不存在完全平方数,即：若m^2〈P〈（m＋1）^2,则p不是完全平方数．     

完全平方数的一个性质及应用(初一)

设一个多位数的个位数字是m,划去m,余下的部分是A,则这个多位数可表示为Am,(?)2=(10A+m)2=100A2+20Am+m2.从上式可以看出,m2的个位数字即是(Am)2的个位数字(因100A2、20Am的个位是0);m2的十位数字(即向十位上的进位)加上20Am的十位数字的和即是(Am)2的十位数字,100A2的末尾连续有两个0,与(Am)2的个、十位数字无关.注意到20Am的十位数字总是偶数,考察Am和(Am)2的个位数字及(Am)2的十位数字的奇偶性,不难得到下表:     

双色完全平方数的构造

定义 若自然数a_1a_2…a_(2n)(n∈N)是一个完全平方数,且 a_1a_2…a_n (a_(n 1))(a_(n 2))…(a_(2n))也是一个完全平方数,则称a_1a_2…a_(2n)为双