三点共线的性质及应用

性质 设^→OA,^→OB不共线,若A、P、B三点共线,则^→OP＝λ^→OA＋μ^→OB＝1（λ,μ∈R）. 证明 因为A、P、B三点共线,所以     

向量视角下的平面区域问题

根据平面向量基本定理,我们知道：选定平面向量的一组基底→OA、→OB,那么对于平面内任一向量→OP,有且只有一对有序实数对x、y,使→OP=x→OA＋y→OB.再结合共线向量定理,一个向量系数和为1的结论经常被用到：点P在直线AB上的充要条件是x＋y=1（如图1）。     

向量中易被忽视的二个结论

结论1 设OA、OB不共线，点P在过A、B两点的直线上的充要条件是OP=αOA＋βOB，其中α，β∈R，且α＋β=1．在结论1中，若α=1/1＋λ,β=λ/1＋λ（λ∈R,县λ≠-1），则有：     

用“平移法”解一类平面向量题

由平面向量基本定理可以得到如下结论：已知向量→OA,→OB不共线,且→OP=→αOA＋→βOB（α,β∈R）,则A,B,P三点共线的充要条件是α＋β=1．以这个结论为基础,通过简单的拓展,可以直观、快捷地解决一类与向量有关的最值问题．     

一道课本例题及其推广

人教版新教材高一下册第109页有这样一道例题:如图(1),已知OA、OB不共线,AP=tAB,用OA、OB表示OP.图1解:∵AP=tAB∴OP=OA AP=OA tAB=OA t(OB-OA)=(1-t)OA tOB细察本例条件和结论可以发现:(1)A、B、P三点共线(2)(1-t) t=1(3)若t变化,则OA(或OB)的系数也随之变化.可以证明,下列推广成立.推广(一):不同三点A、B、P共线的充要条件是:存在λ(λ≠0,λ≠1),使OP=λOA (1-λ)OB,(亦可写为OP=λOA μOB,λ μ=1)其中O为平面内任一点,并且满足:1°λ>1时,点P在AB线段的反向延长线上2°0<λ<1时,点P在AB线段上3°λ<0时,点…     

向量三点共线结论的拓展与妙用

正结论1 P是平面OAB(OAB)上的一个动点,→OP=→x OA+→y OB(x,y∈R),若点P,A,B共线,则x+y=1;反之,若x+y=1,则点P,A,B共线.结论 1可作进一步推广:结论 2若点P与O落在直线AB的2侧,则有x+y1,反之也成立.证明设OP与AB所在的直线交于点P',则存在实数λ,使得→OP=λ→OP'且λ1.由上述定理     

巧借结论，快速作答

大纲高一（下）第109页例5：已知^→OA,^→OB不共线,^→AP=t^→AB,试用^→OA,^→OB表示^→OP,结论：^→OP=（1-t）^→OA＋t^→OB。对于结论,可作以下变式和推广：     

向量中易被忽视的二个结论

结论1 设^→OA,^→OB不共线,点P在过A,B两点的直线上的充要条件是^→OP=α^→OA＋β^→OB,其中,α,β∈R,且α＋β=1.     

向量的一个结论及应用

有一类向量问题,可以利用三点共线的结论快速求解． 结论 已知^→OA,^→OB和^→OC是三个非零向量,且^→OC=m^→OA＋n^→OB,m,n∈R,则A,B,C三点共线的充要条件是m＋n=1.     

平面向量共线定理及其应用

新版高一数学 (下册 )第五章第三节《实数与向量的积》中 ,介绍了平面两个向量共线定理 :向量 b与非零向量 a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b =λa.由此 ,可以得到下列推论 :推论 1　　 OA、OB是平面内两不共线向量 ,向量OP满足 :OP =a OA +b OB( a,b∈ R) ,则 A、P、B三点共线的充要条件是 a +b =1.证明 :( 1)若 a +b=1,则 A P =OP - OA =( a -1) OA +b OB =b( OB - OA ) =b AB,故 AP与 A B共线 ,从而 A、P、B三点共线 ;( 2 )若 A、P、B三点共线 ,则存在唯一实数λ,使得AP =λAB,即 OP - OA =λ( OB - OA …     

三点共线的一个充要条件

研究全日制普通高级中学教科书(试验修订本)数学·第一册(下)p.107的例5,得: 定理1 平面内,OA→,OB→不共线,则点P在直线AB上的充要条件是:存在实数λ,μ,使得OP=λ     

类似于三角形重心的一类向量问题

1．问题的提出 我们知道,△ABC所在平面上,若O点满足→OA＋→OB＋→OC=0,则O是△ABC的重心,即O点位置是唯一确定的.那么,如果O点满足m→OA＋n→OB＋p→OC=0（m、n、p是正实数）,O点的位置在哪里？     

四点共圆，由此一览，……

题目 已知O为坐标原点,F为椭圆C：x2＋y2/2=1在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为-√2的直线l与椭圆C交于A、B两点,点P满足OA→＋OB→＋OP→=0。     

全国卷理科21题

题目已知0为坐标原点,F为椭圆C：x^2＋y^2/2=1在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为-√2的直线∫与C交于A、B两点,点P满足→（OA）＋→（OB）＋ →（OP）=0.（Ⅰ）证明：点P在C上;（Ⅱ）设点P关于O的对称点为Q,证明A、P、B、Q四点在同一圆上。     

一道“希望杯”赛题的背景及应用

1．题目 O是平面内一点,A、B、C、D是平面内与O不共线的三个点,点P是BC的中点且使等式λ（^→AB/｜^→AB｜＋^→AC/｜^→AC｜）＋^→OA=^→OP成立,则△ABC是（ ）     

对定比分点向量公式、向量基本定理的理解与应用

如图1,设P．（x1,y1）、P2（x2,y2）是直线l上的两点,点P是l上不同于P1、P2的任一点,则存在一个实数λ,使P1P=λPP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比,则OP=（OP1＋λOP2）/（1＋λ）,我们把它称为定比分点向量公式．     

例析共起点的三个向量问题

平面向量中有关共起点的三个向量问题,内容丰富,形式多样,方法灵活.现分类举例说明如下.类型一：共起点的三个向量的终点共线P是平面OAB（O∈/AB）上的一个动点,且OP=x·OA＋y·OB（x,y∈R）,若P,A,B三点共线,则x＋y=1;反之,若x＋y=1,     

巧用公式(OC→)=1+λ/(OA→)+λ(OB→)妙解向量题

1定理 定理1若A、B、C三点共线(如图1),且→AC=λ→CB,O为任意一点,则有→OC=1+λ/→OA+λ→OB.     

源于一道课本例题的探索

高一(下)第109页例5:已知OA,OB不共线,AP=t AB,(t∈R),用OA,OB表示OP.[答案:OP=(1-t)OA t OB]图11结构特征如图1:①(1-t) t=1;②当P在线段AB上时,t,1-t与OA,OB“交叉”相乘.2等价变换若A、B、P3点共线,则OP=λOA μOB,其中λ μ=1.证明设AP=t AB,则AO OP=t(AO OB),所以OP=(1-t)     

空间向量基本定理教学价值新探

由空间向量基本定理的推论知[见高中数学教材(人教版)第二册(下)P31页]:若O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组λ1、λ2、λ3,使→OP=λ1 →OA λ2 →OB λ3 →OC.