一道竞赛题与两道改编题

<正>第20届伊朗数学奥林匹克中,有如下一道经典的不等式题:原题已知a、b、c为正实数,a2+b2+c2+abc=4,求证:a+b+c≤3.文[1]、[2]、[3]分别从不同角度对该题给出了证明与拓展,笔者读后很受启发,思考之余突发奇想,如果将该题由三元退化到二元,同时又不降低问题的难度,那么会是什么结果呢?     

一道数学竞赛题的推广

原题设f（x）=4x/4x＋2,求和：f（1/1001）＋f（2/1001）＋…＋f（1000/1001）。（1986年全国高中数学联赛试题）     

一道数学竞赛题的解答、推广与反思

正~~     

一道竞赛题的多种解法

探讨2011年全国初中数学竞赛第13题的多种解法,结合初中学生的认知特点及知识基础,分析、解决问题的通性、通法.     

两道数学竞赛题与一个有趣的不等式

题1对所有正实数a,b,c证明:(?).①(第41届IMO试题)题2设a,b,c为正实数,试证明:(?)②.(2007年台湾地区数学奥林匹克竞赛试题)     

一道数学竞赛题的推广

试题（2009年全国初中数学竞赛试题）如图1,在矩形ABCD中,E、F是DC边上的点,满足DE=EF=FC,又G、H是BC边上的点,满足BG=GH=HC．AE与DG相交于点K,AF与DH相交于点N求证：KN//CD．     

对一道数学竞赛题的探讨

2007年台湾数学能力竞赛决赛（笔试一）第1题为： 试求使√2006/x＋y＋√2006/y＋z＋√2006/z＋x为整数的正整数解.文献[1]中的《数学奥林匹克高中训练题（109）》第二试第2题把它改编为：     

一道不等式竞赛题的初等证明

题 已知a＞1,b＞1,c＞1,且a+b+c=9,试证:√a+√b+√c≥√bc+ca+ab(1)(第三届全国大学生数学竞赛预赛题) 这是一道大学生竞赛题,参考解答应用导数给出了她的证明.在数学竞赛辅导中本入向同学们推崇了如下优美的初等证法,现提出来与大家共享.     

一道数学奥赛题的推广

在文[1]中有2004年西部数学奥林匹克赛题,其中最后一题为:求证:对任意正实数a,b,c都有1＜a/((a~2 b~2)~(1/2)) b/((b~2 c~2)~(1/2)) c/((c~2 a~2)~(1/2))≤(32~(1/2))/2 (1)本文给出其推广形式,即有下面的命题:     

活用判别式解题

<正>在学习一元二次方程的过程中,我们经常要与根的判别式打交道.在求解相关问题时,如果能够灵活运用根的判别式,会给解题带来极大的方便,而且有助于提高我们思维的灵活性和敏捷性.一、顺用根据判别式判定一元二次方程根的情况.     

构造一元二次方程解读初中数学竞赛题

构造一元二次方程既是一种重要的数学方法,又是一种常用的数学思想.某些非一元二次方程问题,若能抓住特征则可以通过构造一元二次方程来解决.怎么构造一元二次方程呢?下面归纳构     

一道竞赛题的推广

题目:设实数a、b∈[α,β],求证: b/a+a/b≤β/a+a/β,其中等号当且仅当a=α,b=β或a=β,b=α成立,α,β为正实数.(2008年湖南省高中数学竞赛试题第15题)     

一道国际数学奥林匹克竞赛题的推广

第45届国际数学奥林匹克竞赛第4题(45-IMO-4):设n(n≥3)为整数,t1,t2,…,tn为正实数,且满足n2 1>(t1 t2 … tn)(1/t1 1/t2 … 1/tn).     

一道国际数学奥林匹克竞赛题的推广

第45届国际数学奥林匹克竞赛第4题: (45-IMO-4) 设n(n≥3)为整数,t1,t2,…,tn为正实数,且满足     

一个错解剖析及推广

文[1]最后一道例题的解答错误,现更正并进行推广．原题如下： 例把数列{2n＋1},（n∈N＋）依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第四个括号四个数,……,循环分为（3）,（5,7）,（9,11,13）,（15,17,19,21）,（23,……）,（35,37,39,41）,（43,……）．求第104个括号内各数之和．     

自主招生和联赛中的一类非线性递推数列

递推数列是自主招生和各类数学竞赛中的热点问题.[1]近年来,形如 an＋1=an＋p（n）a2n的一类非线性递推数列频繁出现,而裂项相消是解决此类问题的最有效方法.本文撷取几例加以剖析. 1 p（n）=c（常数c＞0）