构造函数证明一类不等式

本文给出了构造函数证明不等式的三种常用方法： １．利用 一次函数 ｆ（ｘ）＝ ａｘ２＋ ｂｘ＋ｃ的性质； ２．利用函数的单调性；３．利用函数的凸凹性。     

待定系数法统一证明和一题多证

文[1]就条件为"a+b+c=k(常数)"的一类不等式给出了一种叫"函数法"的统一证明,其证法和谐、理论上可操作,但求导后的化简整理部分繁琐、实际上的不可操作.出于应试角度的考虑,在单位时间里要完成这些高技巧的复杂的恒等变形,进而由导函数的符号判别出函数的恒号是不够现实的.为此,本人另辟蹊径给出这类不等式证明的统一的、操作性强的、初等的獉獉獉方法——线性待定系数法;另,摭谈不等式证明的一题多     

借助函数的性质证明不等式

不等式是中学数学中重要的基础知识，教材中有关不等式的证明重点介绍了比较法、综合法、分析法、数学归纳法及反证法，其实，函数作为中学数学的轴线，它与不等式更有着千丝万缕的联系，因此借助函数的性质证明不等式也是一种重要的思考途径。 １ 运用二次函数的性质推证 当不等式含有某字母的二次项时可构造二次函数，利用二次函数的性质推证不等式。 例１　设Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π且ｘ、ｙ、ｚ∈Ｒ，求证： 证明 注 高中代数（下册）第１５页习题７、８、９、１０均可利用二次函数性质推证。 例２ 设ｆ（ｘ）＝其中 α∈（０，１］，证明 ２ｆ…     

利用函数性质证明不等式

不等式是数学中不可缺少的工具之一．有许多不等式在数学研究中有着重要的作用．在中学数学中证明不等式的方法有许多种．但用初等数学知识证明不等式比较困难本文将不等式问题转化为函数问题．利用函数性质．如单调性．微积分中值定理．函数的极值和最值性来研究、解决不等式问题．利用函数性质来研究．解决不等式问题,使学生掌握不等式证明的函数思想方法,从而提高学生的分析问题与解决问题的能力．     

多元函数条件极值在不等式证明中的应用

不等式证明具有很强的技巧性，方法灵活多变，是对知识的综合性灵活运用。目前有多种形式的方法可用来证明不等式。本文则以举例说明的方式给出了应用多元函数条件极值证明不等式的方法，即在不等式证明中，适当地选择目标函数和相应的限制条件，应用求多元函数的条件极值的方法证明不等式。     

一个不等式的再研究

文［1］给出了不等式——＞壬（nEN且n＞2）的一种证法．下面给出此不等式的一种简单证法．证明为证原不等式先证下式，综合1”，2”可知（1）式成立，从而原不等式成立．运用上面的方法，不难得到以下两个不等式：命题置若nEN且n＞2，则nlthe证明1”当n一2时，左边2”当n＞3时，左边一n综合1”，2呵知（2）式成立．命题2若nEN且n＞2，则，；’证明时分n—2，n—3，n＞4三种情况讨论，并用公式l’＋2‘＋…＋n‘一万。‘（。＋1）’’。，，l，·、。—、——4求和，证明略．一个不等式的再研究@胡斌$山东省惠民师范学校!2517001张辉.一…     

例谈用ln（1＋x）〈x（x〉0）证明数列不等式

首先我们来证明这个不等式．求证：In（1＋x）〈x（x〉0）．证明：当x〉0时,令函数f（x）=In（x＋1）-x,有f^1（x）=ln（x＋1）-x在（0,＋∞）上是单调递减函数．f（x）〈f（0）=0,则有ln（x＋1）-x〈0,所以ln（x＋1）〈x成立。     

一类有关和的不等式的统一证明及推广

关于和的不等式在各类数学竞赛中频频出现，拜读了余红兵教授《关于和的不等式》一后受益匪浅．但对于中所说“在证明∑ai〈0时．可采用下面策略：对i=1,2,…，n．将每个单项ai放大至适当的bi，使得b1,…，bn的和b1＋…＋bn易于处理．且结果为0或不大于0，这一原则将“单项”与“整体”相结合，应用最为广泛．但怎样放大ai却并无简单的规则．得视具体问题而定．”对这一观点笔有不同的意见，经研究发现许多和的不等式按这种思路还是有统一的规则，能自然而简捷地解决，为此我们先证明如下定理．     

利用构造法证明不等式

通过构造适当的辅助函数,利用函数的单调性证明不等式可以简化证明过程,本文将利用函数的单词性给出一些不等式的证明.     

函数与方程思想在数学归纳法证明有关数列的不等式中的应用

在很多有关数列的不等式中,题目给出了数列{an}的相邻项an＋1与an的递推关系,要证明an在某个范围内．这类问题若用数学归纳法证明,则由递推关系所得ak＋1关于以的代数式,可以把an看成是关于ak的函数,归纳假设ak中的范围可以看作是函数的定义域,这样就可以用函数与方程的思想来求ak＋1的范围,从而证得结论．     

用函数方法巧证不等式

用函数方法证明不等式 ,常常能够方便地给出证明 .用函数方法证明不等式的关键是结合不等式的结构特征构造适当的函数 ,以便于利用这一函数的有关性质证明所给的不等式 .例 1　若ａ >ｂ>0 ,ｍ >0 .求证 :ａｂ >ａ +ｍｂ+ｍ.证明　令 ｆ(ｘ) =ａ+ｘｂ +ｘ.由ａ>ｂ可设ａ =ｂ+ｃ(ｃ >0 ) ,则ｆ(ｘ) =ｂ+ｘ +ｃｂ +ｘ =1+ｃｂ +ｘ.当ｘ∈ (0 ,+∞ )时 ,ｆ(ｘ)为减函数 .∵　ｍ >0 ,∴　ｆ(ｍ) <ｆ(0 ) .即 ａｂ >ａ+ｍｂ+ｍ.注　用函数方法证明不等式 ,往往要利用所构造函数的单调性 .例 2　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ .证明 :ａ2 +ａｃ+ｃ2 +3ｂ(ａ+ｂ+…     

引领数列不等式证明的函数意识

数列与不等式结合的证明问题一直是高考的热点,也是中学数学教学的难点,在高考中常为压轴题．数列是一类特殊的函数。用函数意识指导对数列不等式证明问题的分析,是解决此类问题的一种通法,若善于观察捕捉问题中变量之间的相互依赖关系,构造恰当的函数,则问题便可在研究函数的图象、性质的基础上,转化为用函数的单调性、最值等加以解决．     

构造函数证明不等式

在证明不等式时，先认真观察不等式的结构特征，或者作适当变形后再观察，然后构造出一个与该不等式有关的辅助函数，利用辅助函数的有关性质去证明不等式，这种证明不等式的方法就叫“构造函数法”，本文就如何构造辅助函数分四种情形举例探讨。     

二元凹凸函数浅探

本将一元函数的凹凸性推广到二元函数上．给出了二元凹凸函数的定义、判定及相应的琴生不等式;举例说明了本结论在证明一些较复杂的不等式方面的应用。     

演好用导数证不等式的前奏——构造辅助函数

用导数证明不等式是证不等式的一种重要方法,证明过程往往简捷、明快,特别是证明超越不等式,更是如鱼得水.证明的第一步要考虑如何构造函数,是证明的关键.若函数构造恰当,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式.本文谈谈在用导数证明不等式时,构造辅助函数的几种常用途径.     

一个不等式的两个简单证明

对不等式b＋m/a＋m〉b/a（其中a，b，m均为正数，b〈a）的证明，目前各杂志刊登了许多方法，如比较法、函数法、解析法、几何法等．本笔再提供两个简单的证明．     

利用sin2θ＋cos2θ=1证明具有条件a＋b=1的几个不等式

中学数学中一些不等式的证明常常有条件a＋b=1,这类不等式若利用sin2θ＋cos2θ=1来作替换,即令a=sin2θ＋,b=cos2θ＋,然后去证明就大大简化了证明的过程．下面给出几道例题,供大家参考．     

利用导数证明函数型不等式的常用技巧

函数型不等式的证明是近年来高考的热点,对于绝大部分学生而言,是非常困难的.文章给出了三种利用导数证明函数型不等式的常用技巧与方法.     

用均值不等式求最值，变不可能为可能

均值不等式a＋b≥2√ab（a、b∈R^＋）不仅可用于证明不等式，也可用于求某些函数的最值，在中学代数里有着非常重要的地位和作用．用均值不等式求最值，总是在当且仅当a=6成立时函数才能取得最值．如。     

函数与不等式的博弈——究竟谁主导谁？

1,引子 纵观湖北省近几年高考题的压轴题一般都是将不等式和函数问题相结合,其特点在于：第一问是求函数极值,第二问是利用第一问的结论,通过参量代换,证明一个局部不等式,第三问是利用第二问的局部不等式证明一个难度较大的不等式．利用参量代换（用换元法来“配”和“凑”相关的参量）来证明局部不等式的技巧性较强。