有放回抽取与无放回抽取的概率、期望值、方差一样吗

<正>在高三随机变量的分布列、期望、方差的学习中,学生常常困惑于有放回抽取和无放回抽取的概率、期望、方差的联系与区别,本文试图通过对一个问题的分析研究给学生答疑解惑。题目有n件产品,其中有m件次品(m相似文献   

概率中两类抽样问题例析

在人教版高中数学新教材中新增了概率和统计的教学内容 ,有两类基本的抽样问题应区分清楚 1　不放回抽样问题 1　若某批产品中有a件次品 ,b件正品 ,采用不放回抽样方式从中抽n件产品(n ≤a b) ,问正好有k件次品的概率是多少 ?解　把从a b件产品中取出n件产品的所有可能组合作为基本事件全体 ,总数为Cna b,有利于场合数为Cka·Cn-kb ,由等可能性事件的定义可知概率P =Cka·Cn-kbCna b,这一概率称为超几何分布 .2　有放回抽样问题 2　若某批产品中有a件次品 ,b次正品 ,采用有放回的抽样方式从中抽n件产品 ,问正好有k件次品的概率是多少 ?…     

一道概率题“不同解法”的商榷

北京市西城区2007年5月份抽样测试题的第15题,曾先后在多种出版物上出现,其不同的版本上的解法各不相同,为避免该题解答的混乱状况,现就此题以及此类问题的不同解法进行分析.问题有6件产品,其中含有3件次品,现逐个抽取检查(不放回),求:(Ⅰ)前4次恰好查出两件次品的概率;(Ⅱ)设查出全部次品时检查产品的个数为ζ,求ζ的分布列与数学期望.解答:(Ⅰ)P=(C_3~2C_3~2A_4~4)/A_6~4=3/5.第(Ⅰ)问的解法没有问题.以下就第(Ⅱ)问的不同解法进行分析.解法1:有两种出版物上的解法如下:当ζ=3时,即在6次抽查中,前3次就查出全部3件次品,或前3次查出全部3件正品,均视为检查出全部3件次品,∵P(ζ=3)=A_3~3/A_6~3×2=1/10;同理,当ζ=4、5时,有P(ζ=4)=(C_3~2A_3~3C_3~1)/A_6~4×2=3/10;P(ζ=5)=(C_4~2A_3~3C_3~2A_2~2)/A_6~5×2=3/5;∴ζ的分布列为     

古典概型的概率计算

计算古典概型中任意一随机事件 A发生的概率 ,关键是要找出该试验的基本事件总数和导致事件 A发生的基本事件数 ,在不同情况下基本事件数的计算可能涉及排列、组合数的计算和使用分类计数、分步计数原理 .1　对产品进行抽样检查 ,是检验产品的质量的一种手段 ,利用古典概型可解决相应的问题抽样分为放回抽样和不放回抽样两种情况 ,针对不同的情况 ,计算基本事件的方法有所不同 .例 1　在 2 0件产品中有 4件次品 ,从中任取 3件 ,计算 (1) 3件都是次品的概率为多少 ?(2 ) 1件是次品、2件是合格品的概率为多少 ?(3 )最多 1件次品的概率为多少 …     

值得探究的一道概率习题

普通高中课程标准实验教科书<数学·选修2-3>(人教A版)第68页有如下问题: 某批N件产品的次品率为2%,现从中任意地依次抽取3件进行检验,问: (1)当N=500,5 000,50 000时,分别以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到1件次品的概率是多少?     

概率作业批改札记

在批改概率作业时,发现不少学生常犯一些同样类型的错误,分析其原因,发现主要是有关概念模糊不清,现取几例分析如下。 例1 100件产品有10件次品,从中任取两件(取后不放回),求第二次才取得次品的概率。 错解 令A=“第一次取得正品”,B=“第二次取得次品”,C=“第二次才取得次品”,P(C)=P(B|A)=10/99.     

概率易错题例析

概率是中学数学教材中的新增内容,也是近几年高考的重点,学生在学习过程中往往因忽视隐含条件而出现错解,下面举例说明易错的几类题型。例1.已知6件产品,其中有4件正品和2件次品,每次抽取一件测试,不放回,直到2件次品都检测出来为止,求直到第5次才把2件次品全部找到的概率。     

错在哪里

题有6只电器元件,其中有2只次品和4只正品,每次抽取1只测试后不放回,直到两只次品都找到为止,求测试4次能找到两只次品的概率.     

《概率统计》在高考中的应用体现

概率统计原来是高等数学中的知识,现在高中数学中也有很重要的位置,每年的高考都重点考查.本文就几个不同的题型及解法进行剖析和探究. 一、超几何分布问题 超几何分布是统计学上一种离散概率分布.它描述了由有限个物件中抽出n个物件,成功抽出指定种类的物件的次数(不归还).在产品质量的不放回抽检中,若N件产品中有M件次品,抽检n件时所得次品数X=k,则P(X=k)=CkM·CN-M/CnN,Cba,为古典概型的组合形式,a为下限,b为上限.此时我们称随机变量X服从超几何分布.一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件(X=k)发生的概率为P(x=k)=CkMC(n-k)(N-M)/NnN(k=0,1,2,…,m)(m≤M,m≤n,M≤N).     

有放回，无放回与一把抓

概率预测中,有一类诸如摸球、抽牌之类的问题．对于类似于反复摸球或抽牌的问题,有三种不同类型：有放回,无放回,和一把抓．许多同学一直都没能弄清它们之间的区别与联系,从而造成误解．这类问题的解决,常借助树状图和列表这两种方法．在此,再介绍一种方法一“连线法”．首先请看2010年中考试题中出现的三道关于摸球问题的考题：     

概率与统计中值得注意的几对概念

一、“频率”与“概率”例1下列两个命题中错误的是( ) (1)抛掷100次硬币,出现正面向上的频率为0．4,则该次试验中,硬币正面向上的次数为40次．(2)若一批产品的次品率为0．1,则从该产品中随机抽取100件,一定会有10件次品．     

巧用类比 避免陷阱

数学教育家波利亚说:"类比是伟大的引路人。"在学习概率统汁知识时,利用类比方法可以帮助同学们看清本质,避免误区。一、条件概率与积事件概率的类比考纲要求"了解条件概率的概念",但条件概率往往与积事件的概率容易混淆,通过典型例题加以类比,容易走出解题误区。例1从一批次品率为30%的10件产品中,每次不放回地任意抽取1件来测试。     

领悟一道课本例题 解决一类概率问题

人教2003年版高中数学第三册(选修Ⅱ)第11页有这样一道例题:有一批数量很大的产品,其次品率是15%.对这批产品进行抽查,每次抽出1件,如果抽出次品,则抽查终止,否则继续抽查,直到抽出次品,但抽查次数最多不超过10次.求抽查次数ξ的期望(结果保留三个有效数字).     

领悟一道课本例题 解决一类概率问题

人教2003年版高中数学第三册(选修Ⅱ)p·11有这样一道例题:有一批数量很大的产品,其次品率是15%.对这批产品进行抽查,每次抽出1件,如果抽出次品,则抽查终止,否则继续抽查,直到抽出次品,但抽查次数最多不超过10次.求抽查次数ξ的期望(结果保留三个有效数字).     

一个课本例题的推广及应用

新教材《数学·第二册 (下B) (实验修订本·必修 )》第 1 0 2页例 5 :题　在 1 0 0件产品中 ,有 98件合格品 ,2件次品。从这 1 0 0件产品中任意抽出 3件。( 1 )一共有多少种不同的抽法 ?( 2 )抽出的 3件中恰好有 1件是次品的抽法有多少种 ?( 3 )抽出的 3件中至少有 1件是次品的抽法有多少种 ?本文从课本对上述例题的两种解法出发 ,归纳总结出一个组合数公式 ,并给出其一个应用。课本对第 ( 3 )小题给出的两种解法如下 :解法 1　从 1 0 0件产品中抽出的 3件至少有 1件是次品 ,包括有一件是次品和有两件是次品这两种情况 ,其中 1件是次品的抽…     

古典概型常见错误剖析

一、重复计算或漏算事件个数致误例1一个盒子里装有完全相同的十个小球,分别标上1,2,3,…,10这10个数字,今随机地取两个小球.(1)小球是不放回的;(2)小球是有放回的.求两个小球上的数字为相邻整数的概率.错解:随机选取两个小球,记事件A为两个小     

对一道课本例题的解析及拓展

人教版数学第三册(选修Ⅱ)概率与统计部分有这样一道例题: 有一批数量很大的产品,其次品率是15%.对这批产品进行抽查,每次抽出一件,如果抽出次品,则抽查终止,否则继续抽查,直到抽出次品,但抽查次数最多不超过10次.求抽查次数的期望(结果保留三个有效数字). 本题主要考查相互独立试验,计算随机变量取值的概率是正确解题的关键.为了便于说明,下面把解法书写如下:     

几个易错的概率题

在新教材概率部分的教学过程中 ,发现有几个常见题较易出错 .举例如下 :例 1　某种产品 1 0 0件 ,其中有次品 5件 ,现从中任意抽取 6件 ,求恰有一个次品的概率 .错解　由题意知 ,这种产品的次品率为 5 %,且每次抽取相互独立 ,由独立和重复试验概率公式 ,得 :6件产品中恰有 1件次品的概率为 :Ｐ(1 )6 =Ｃ1651 0 0 (1 - 51 0 0 ) 5=0 .2 32 1 .剖析与正解　在上题的解法中有两个错误 .第一 ,1 0 0件产品 ,其中有 5件次品与次品率为 5%是两个不同概念 .第二 ,该试验不是独立重复试验 ,从1 0 0件产品中任抽 6件 ,可当作抽了 6次 ,每次抽 1个 ,但…     

获胜的概率因有无“放回”而不同

例1小华与小丽设计了A、B两种游戏．游戏A的规则：用3张分别写有数字2．3,4的扑克牌,将牌洗匀后背面朝上放置在桌面上．第一次随机抽出一张牌记下数字后再原样放回．洗匀后再第二次随机抽出一张牌记下数字．若抽出的两张牌上的数字之和为偶数,     

谈谈小概率事件原理的应用

小概率事件原理是概率论中的一个基本而有实用意义的原理.为便于对原理的掌握,我们先来看一个例子.例1　某厂每天的产品分3批包装,规定每批产品的次品率都低于0.01才能出厂.若产品符合出厂要求,问从3批产品中各任抽1件,抽到的3件中有0,1,2,3件次品的概率各是多少?若某日用上述方法抽查到了次品,问该日产品能否出厂?解　把从3批产品中各抽1件看作3次独立试验,于是可把问题归结为贝努利概型.若产品符合要求,则次品率小于0.01,令p=0.01,q=1-p=0.99.抽3件产品恰有0件次品的概率为P3(0)=C03(0.01)0(0.99)3-0=(0.99)3=0.970299抽3件产品恰有1件次…