含参不等式“恒成立”与“能成立”问题剖析

平时我们遇到的含参不等式"恒成立"与"能成立"问题,大都满足函数存在最值的条件,也总结出了如下的常用结论。1.若函数f（x）存在最值,则有a>f（x）恒成立（?）af（x）_max;a≥f（x）恒成立（?）a≥f（x）_max;amin;a≤f（x）恒成立（?）a≤f（x）_min。2.若函数f（x）存在最值,则有a>f（x）能成立（?）a>f（x）_min;a≥f（x）能成立（?）a≥f（x）_min;a相似文献   

解两类含参数的复合不等式有解与恒成立问题

本文从学生对一道含参数的一元二次不等式恒成立问题处理的逻辑错误入手,对“a≤g(x)或a≥f(x)”和“g(x)≤a≤f(x)”这两类含参数的复合不等式有解与恒成立问题进行探讨,得出相应的等价处理方案.     

一类含参函数不等式恒成立问题的求解

<正>函数的单调性问题、最值问题、某集合是另一集合的子集等问题都可以转化为不等式恒成立.本文探讨其中一类过特殊定点的函数不等式恒成立问题.重点探讨恒成立不等式f(x)≥y0(或f(x)≤y0)中参数a取值范围     

用分离参数法确定有解或恒成立的含参不等式的参数范围

如何确定恒成立或有解的不等式中参数的范围是一个难点 ,如果能将参数分离出来 ,再运用有关的函数方程等知识可以较好解决 .下面分情况说明 .一、a 0在 | x|≤ 2时恒成立 ,求 m的范围 .解 :原不等式等价于 ( x2 - x + 1) m 0 ,m f ( x…     

不等式恒成立问题巧突破

一、分离参数,将原问题转化为求给定函数的最值问题解答含参数不等式的恒成立问题最常见的方法是分离参数,将其转化为a≤f(x)恒成立或a≥f(x)恒成立,从而转化为求给定函数的最值问题.     

含参数的等式或不等式的恒成立、存在性问题

含参数的等式或不等式的恒成立、存在性问题,是中常数学中的一个重要知识点,是学生对数学知识综合性、能力综合性的考查.一、含参数的不等式恒成立问题①对任意x1∈[a,b],存在x2∈[c,d],有f(x1)≥g(x2)成立,等价于f(x)min≥g(x)min.②对任意x1∈[a,b],x2∈[c,d],有f(x1)≥g(x2)成立,等价于f(x)min≥g(x)max.     

让方法的选择更合理——例说函数最值法和分离参数法

<正>含参变量的不等式恒成立、存在性问题在高考试题中经常出现,这类问题主要采用函数最值法和参数分离法来解决.最值法是利用f(x,a)≥0(≤0)恒成立(a为参数,x∈D)等价于x∈D时f(x,a)min≥0(f(x,a)max≤0);而参数分离法是将f(x,a)≥0(≤0)在x∈D时恒成立,转化为h(x)≥g(a)(x∈D)恒成立,然后求出h(x)的最小值m,转化为解关于a的不等式g(a)≤m.什么时候选择函数最值法?什么时候选择分离参数法?笔者试通过几例略加说明,以期对我们的解题有所启发.     

含参不等式的解法探讨及优化策略

含参不等式问题f(α，x)>0，(或<0，α为参数)，一般有两类：一类是对参数α分类讨论，求变量x的范围；一类是f(α，x)>0对某个条件恒成立，求参数α的范围．在求解含参不等式问题时，不仅需要学生掌握“分类”讨论、等价转化、数形结合等重要的数学     

一题偶得

正1.问题的提出已知f(x)=ax~2+bx+c(a≠0),且方程f(x)=x无实数解,下列命题:①方程f[f(x)]=x也一定没有实数解;②若a0,则不等式f[f(x)]x对一切实数x都成立;③若a0,则必存在实数x_0,使f[f(x_0)]x_0;④若a+b+c=0,则不等式f[f(x)]     

如何转化“恒成立”这个条件

当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内的所有值都成立时 ,即构成“恒成立”问题 .如何把“恒成立”这个条件转化为可利用的简单的条件是解题的关键 .下面介绍解这一类题目常用的几种方法 .1　利用函数的最值进行转化结论 1　当 f(x)≥a对一切 x∈I恒成立时 ,有fm in≥a,反之亦真 .结论 2　当 f(x)≤a对一切 x∈I恒成立时 ,有fm ax≤ a,反之亦真 .此结论看似简单 ,却非常有用 .它可以把无数个不等式转化为一个不等式 ,使问题简化为在区间 I上求函数 f(x)的最值 .例 1　设 a>b>c,且 1a- b+1b- c≥ na- c恒成立 ,求 n的最大值 .分析　…     

分离系数 避免讨论——分离系数法巧解函数中的恒成立问题

对于含有参数a的不等式f(x)≤0(包括不等式f(x)≥0)恒成立或方程f(x)=0恒有实根问题,若对参数或变量进行讨论,再结合函数的图象求解一般都较难或繁,而通过分离系数巧用"求函数最值"的方法便可以简解此类问题,由于在转化与化归时常需分离出系数a,     

高中数学恒成立问题的一般解法

高中数学复习中的恒成立问题成为历年高考的一个热点。恒成立问题解题过程中大致可分为以下几种类型:①一次函数型;②二次函数型;③变量分离型;④根据函数的奇偶性、周期性等性质;⑤直接根据函数的图象。一、一次函数型(略)二、二次函数型若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立,则有a>0驻<,若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞]时,都有f(x)≥a恒成立,求a的取值范围。分析:题目中要证明f(x)≥a恒成立,若把a移到等号的左边,则把原题转化成左边二次函数…     

不等式恒成立问题中的求参策略

含有参数不等式恒等式成立问题在高考试题中经常出现 ,是高考数学的一个重要知识点 .但是由于这类问题涉及知识点多 ,方法灵活多样 ,技巧性强 ,难度大 .是教学中的一个难点 .本文结合教学实例 ,对不等式恒成立问题中参数取值范围的求解策略作一些归纳和整理 ,希望有助于学生的复习 .一、分离参数法分离参数法就是把不等式中的参数 t和自变量 x分离出来 ,通过求函数 f ( x)的最值来求参数的取值范围 .例 1　已知 f ( x) =lg( x +1) ,g( x ) =2 lg( 2 x +t) ( t∈ R) ,如果 x∈ [0 ,1]时 ,f ( x)≤ g( x)恒成立 ,求t的取值范围 .解 :由 f ( x…     

af(x)+b f(x)~(1/2)=c的简捷解法

方程af(x)+f(x)~(1/b)=c,一般用代换法来解。但当a、b、c为整数,a>0时,用观察法来解,显得更为简便,下面介绍这种方法。定理:如果存在平方数m≥0,使 c=am+m~(1/b)则方程af(x)+f(x)~(1/b)=c ①与方程(f(x)-m~(1/2))(f(x)+b/a+m~(1/2)=0同解②其中f(x)为x的解析式。证明:设a是方程①的解,则 af(a)+f(a)~(1/b)=am+m~(1/b)∵ f(x),m≥0,     

含参不等式问题的求解策略

<正>含有参数的不等式问题在高考中频繁出现,它有机地融合函数、数列、不等式、三角、几何等内容,覆盖知识点多,解法灵活多样.本文阐述这类问题中参数范围的几种求解策略,供参考.一、分离参数分离参数法是将不等式中的参数a与变量x分离出来,得到a>f(x)或a相似文献   

不等式恒成立问题的求解策略

一、判别式法对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若f(x)≥0恒成立,则{a>0,Δ≤0;若f(x)≤0恒成立,则{a<0,Δ≤0.例1奇函数f(x)是R上的减函数,若对任意x∈R,有f(kx)+f(-x2+x-2)>0恒成立,求k的取值范围.解析由已知得:     

解不等式恒成立的两大思想方法

不等式恒成立 ,求参数的取值范围”是不等式中一大题型 ,因不等式的千姿百态 ,因此常令学生不知如何着手解决 ,本文介绍处理这类问题的两大思想方法 .1　函数思想若 f (x) >0 (或 f (x) <0 )在区间 A上恒成立 ,则只需 f (x) min >0 (或 f (x) m ax <0 ) .说明 :若 f (x) >0 (或 f (x) <0 )能分离变量化为 :g(a) 2时 ,不等式 x2 + ax + 8>0恒成立 ,求 a的取值范围 .解法 1 :令 f (x) =x2 + ax + 8,当 -a2 ≤ 2即 a≥ -4时 ,f (x) >2 2 +2 a + 8=1 2 + 2 a.由题意有 :2 a + 1 2≥ 0…     

分类讨论法解一类恒成立问题的模型探究

<正>在近几年的高考题中,利用分类讨论法解一类与恒成立有关的求参问题屡次出现,此类求参问题有个共同的特征,即"在某区间上不等式恒成立,区间的端点或区间内的某一点使不等式对应的方程成立".笔者根据此类题目的特点,整理出了几类模型,供同仁参考.模型一函数f(x)中含参数r,且r∈U.在区间(a,b)上f(x)>0恒成立(或在区间[a,b)上f(x)≥0恒成立),且f(a)=0,则     

主客换位思想在有解方程求参中的应用

一类含参方程 f(a,x)=0(a 为参数)有解,正面探求 a 的取值范围,由于解 x 往往限定在某区间,因而较多地用到数形结合和冗长的分类讨论,并且要解多个不等式组.如果将方程中的主无 x 换位于参数 a,且原方程可化为 a=g(x),原问题即可转化为 x 在给区间内变化,求函数 g(x)的值域.这个值域就是参数 a 的取值范围.这种换位思想运用于可分离参数的有解方程的求参问题,思路相对稳定,易于掌握.     

恒成立问题归类浅析

对于恒成立的不等式,首先进行参数分离,若得a〉f（x）恒成立,则只需a〉f（x）max;