关联五个三角形外接圆半径的一个不等式

定理设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,并且AD、BE、CF相交于一点,若记△ABC、△DEF、△AEF、△BDF、△CDE的外接圆半径分别为R、R0、R1、R2和R3,则R≥2（R1R2R3/R0）^1/2.等号当且仅当D、E、F分别为BC、CA、AB的中点时成立.证明:如图,在△AEF和△ABC中分     

关于三角形外接圆半径的几个不等式

本文给出几个关于三角形外接圆半径的不等式,这些不等式包含了《数学通报》数学问题解答的1 429题(2003年第5期)与1 531题(2005年第2期).命题1设O为锐角△ABC的外心,△OBC,△OCA,△OAB,△ABC的外接圆半径分别为R1,R2,R3,R,则有不等式R1R2R3≥R3,(1)1R1+1R2+1R3≤3R,(2)1R21+1R22+1R23≥3R2,(3)三式中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.图1证因为O为△ABC的外心,所以∠BOC=2A.于是2R1=BCsin 2A=2R sin Asin 2A=Rcos A.同理2R2=Rcos B,2R3=Rcos C,从而R1R2R3=R38cos A cos B cos C,1R1+1R2+1R3=2R(cos A+cos B+…     

关联三个外接圆的不等式

定理　设△DEF为锐角△ABC的垂足三角形 ,BC =a ,CA =b ,AB =c,△AEF、△BDF、△CDE的外接圆分别为⊙O1(R1)、⊙O2 (R2 )、⊙O3(R3) ,则有aR1 bR2 cR3≥ 63 .证明 :由于B、C、E、F共圆 ,∠AEF =∠B ,∠AFE =∠C ,从而△AEF∽△ABC(如图 ) .　∴ EFBC=AEAB=cosA ,　∴EF =acosA .同理　DF =bcosB ,DE =ccosC .由正弦定理得EF =2R1sinA .∴acosA =2R1sinA ,从而aR1=2tanA .同理 bR2=2tanB ,cR3=2tanC .由于△ABC为锐角三角形 ,tanA >0 ,tanB >0 ,tanC >0 ,∴ tanA tanB tanC33≥tanAtanBtanC=tanA ta…     

关于一个不等式的改进

本文对不等式作进一步改进，并且得到有关的一系列不等式，其不等式在实践中和理论上有着广泛的应用。     

一个关于方差的不等式

文〔１〕定义了随机变量的算术平均与几何平均，并建立了对称随机变量的算术平均──几何平均──期望不等式。     

关于四边形的一个不等式

定理 设,,,abcd和S分别表示四边形的四边长和面积,,,,tuvw为正实数,则 44(1)(1)tuabuvwvwt 44(1)(1)vwcdwtutuv 216.3S ()* 当且仅当tuvw===且四边形为正方形时,上式等号成立. 证明 注意到,在边长给定的四边形中,以其内接于圆时的面     

关子三角形外接圆半径的几个不等式

本文给出几个关于三角形外接圆半径的不等式，这些不等式包含了《数学通报》数学问题解答的1429题（2003年第5期）与1531题（2005年第2期）．     

关于三角形的一个不等式

一、命题·证明命题:设△A_1A_2A_3的边分别为a_1,a_2,a_3,其外接圆半径为R,则 (1)(a_1a_2a_3)~(1/3)≤3~(1/2)R。等号当且仅当△A_1A_2A_3为正三角形时成立。为证上述命题,首先给出如下引理1 G为A_1A_2A_3的重心的充分必要条件是(2)GA_1 GA_2 GA_3=0。证明是非常简单的,留给读者。下面给出命题证明的一般方法。 命     

关于根式的一个不等式

定理设0≤x_1相似文献   

关于单形的一个不等式

设P是△A1A2A3内部任一点,延长A1P,A2P,A3P,分别与A2A3,A23A1相交于B1,B2,B3记R1=|A1P|,公则当且仅当P为△A1A2A3重心时等号成立·本文将三角形这一不等式推广到n维欧氏空间中的单形不等式．定理设P是n维欧氏空间产（n≥2）中单形A1A2A3…A（n 1）内部任一点,延长A1P分别与其第i界面的n－1单形相交于记则当且仅当P为单形A1A2…A（n 1）的重心时等号成立．本定理可推出n维空欧氏空间的Child不等式,观奖益武在1997年《数学通报》第11期）．设P是n维欧氏空间En（n≥2）中单形A1A2…A（n 1）;内部任一点,点P到各顶…     

关于AGH的一个不等式

众所周知,n个正数a1,a2,…,an的算术平均数An=1/n（a1＋a2＋…＋an）、     

关于微分的一个不等式

在古典数学分析中,Cauchy中值定理是:若函数f(x)与(?)(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且对任意x∈(a,b)(?)′(x)≠0,则在(a/b)内存在一点C,使得f(b)-f(a)/(?)(b)-(?)(a)=f′(c)/(?)′(c)如果令(?)(x)=x,得     

关于一个不等式的研究

文[1]研究了如下的题目： 题目已知z,y,z∈R’,x＋y＋z=1,求证：1/√x＋8/√y＋27/√z≥14√14．并给出了初等证明（利用基本不等式）,且对以上问题加以推广：     

关于一个不等式的证明

本刊1985年第四期刊登了著名数学家杨乐教授为本刊创刊30周年所写的贺词,文中提到了如下的不等式: 若最近我们收到湖南衡阳建湘柴油机厂子弟中学兰正勇、广东韶关市河边厂红工高级中学戴汉有和陕西西安市黄河机器制造厂子弟中学傅卜岱等同志的来稿,他们对不等式(1)分别提出几种不同的证明方法。现选登其中最简洁的两种证法如下。     

关于一个代数不等式猜想

文献[1]提出如下一个代数不等式猜想:猜想设 a>0,i=1,2,…,b,3≤n ∈N,证明或否定:f(a)=a/(1 a_1) a_1a_2 …… a_1a_2…a_(n-2) a_1a_2…a_(n-1)     

关于一个新三角不等式

设 x,y,z 为任意实数,在△ABC 中,则有不等式x~2 y~2 z~2≥2xycosC 2zxcosB 2yzcosA (1)其中等号当且仅当 x:sinA==y:sinB=z:sinC 时成立.不等式(1)是三角形中著名的“母不等式”经我国数学工作者的努力,发现由它可以导出许多著名的不等式.本文准备建立一个与不等式(1)“孪生”的新的三角不等式,并给出十分简洁的证明.     

关于三角形中线的一个不等式

本刊1991年第5期刊登了第一届浙江省高师院校数学联赛试题及解答,其中的第五大题是:已知AD′、BE′、CF′、为非钝角三角形ABC的三条中线,它们分别交△ABC的外接圆于D、E、F 点,G为△ABC的重心,R为外接圆半径。求证:GD CE GF≥8/3R。下面是刊登的解答的后半部分: 如△ABC为非钝角三角形,则外心O位于它的内部或一边之上。不妨设点O位于△ABG的内部或边上,如图。这时2R=AO BO≤AG BG     

关于一个积分不等式的应用

<正> ~~     

关于一个无理不等式的探究

文[1]、[2]分别用代数、几何法证明了如下无理不等式：     

关于三角形中线的一个不等式

笔者在中国不等式研究小组网站(http://zgbdsyjxz.nease.net/bdbbdb/bdb.htm)上看到一个很有趣的关于三角形中线的一个不等式问题(猜想).今解答如下:命题设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,则当△ABC为任意三角形时,必有一条中线不大于R+r;当△ABC为非钝角三角形时,必有一条中线不小于R+r.为以下证明方便,记△ABC三边长为AB=c,BC=a,CA=b,其对应中线分别为mc,ma,mb,不妨设a≤b≤c,则有ma≥mb≥mc(易证从略),于是命题变为去证明:i)当△ABC为任意三角形时,有mc≤R+r;(1)ii)当△ABC为非钝角三角形时,有ma≥R+r.(2)令对以上(1)、…