把握核心知识 彰显教育价值——道课本例题引发的探究与思考

正椭圆是圆锥曲线的核心内容之一,椭圆的方程、几何性质等核心知识与圆有很多相似之处.最近,笔者遇到了一次学生的追问,引发了一场意外的探究,感触颇深.现整理出来,与同行们交流探讨.1问题再现人教A版选修2-1第41页例2及题后思考:题目如图1,在圆x~2+y~2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么?为什么?     

圆锥曲线中的一对定圆和定直线

<正>一、探寻圆锥曲线中的一对定圆和定直线性质1如图1,已知双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0),存在一个与双曲线相切的定圆C,对双曲线上左支上的任一点P,过点P作圆C的两切线PD、PE,切点分别为D、E,圆C右侧与x轴垂直的切线交直线PD、PE于点A、B,则线段AB的长为定值.     

第七章 圆

一、本章导析圆是初中几何中最为重要的一章 ,它内容多、题型杂、题目活而难 ,又易于与其它内容结合 ,而且中考中所占比例极大 ,是值得我们非常重视的一章 .圆的有关性质、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系是本章重点 .正多边形与圆 (包括弧长、面积、圆锥、圆柱 )应侧重有关计算 .值得强调的是圆周角与相似形在圆中有着极其重要的作用 .二、例题解析例 1　如图 1- 7- 1,P是⊙ O外一点 ,PD为切线 ,D为切点 ,割线 PEF经过圆心 O,若PF =12 ,PD =4 3,求∠ EFD的度数 .解 :连结 D O,∵ PD为切线 ,PEF为割线 ,∴ PD2 =PE· PF.…     

切割线定理的应用

切割线定理及推论是圆中的重要定理,应用十分广泛,切割线定理有用,但怎样用是很有讲究的. 一、根据条件直接用例1 已知P是两圆公共弦BA的延长线上的任意一点,PC和PD为从点P到两圆所引的切线,C、D为切点.求证:PC=PD. 证明:∵PC、PD是圆     

含切线条件习题的解法

圆的切线是与圆密切关联的直线。在有关圆的问题中,常常出现圆的切线。解答时,若善于以切线为突破口,恰当运用有关圆的切线的几何定理,则能迅速找到解题途径。 一、运用切线的性质定理 例1 如图1,AB是⊙O的直径,P为AB延长线上一点,PD切⊙O于点C,BC和AD的延长线相交于点E,且AD⊥PD于D。(1)求证:AB=AE。(2)当AB:BP为何值时,△ABE为等边三     

在高考中“作”数学

在2008年嘉兴高三基础测试中有这样一个问题：如图1，在圆x2＋y2=25上有一点P（3，4），C、D是圆上两点，PC、PD交y轴于E、F两点，且△PEF是等腰三角形，直线CD交于x,y轴于B、A两点，则sin∠OAB=………（ ）     

数学思维在知识衔接点闪光——一节高三复习课的意外生成

在数学学习中,往往会碰到知识的衔接点,如果课堂教学时能"慢半拍",或许就会发现学生的思维在闪光.1背景在高三复习中,椭圆是解析几何的重点内容,为了让学生掌握好基础知识,有必要回归教材.人民教育出版社出版的数学选修2-1第41页安排了下列两个例题:例1如图1,在圆2 2x?y?4上任取一点P,过点P作x轴的垂线PD,D为垂足,当点P在圆上运     

对费尔马问题的逆思考及其推广

费尔马问题：如图1，在线段AB的一侧，以AB为直径作半圆，在另一侧，以AB为一边作长方形ABCD，宽AD等于圆内接正方形的边长，即AB/√2．如果从半圆上任一点P1作PC、PD分别交AB于E、F，那么AE^2＋BF^2=AB^2。     

圆内过定点三弦问题

如图1,P为圆O内一定点,过P点的三条弦AB,CD,EF,每两条弦的夹角都是60°,则有如下有趣性质：（1）AB2＋CD2＋EF2为定值;（2）PA2＋PB2＋PC2＋PD2＋PE2＋PF2为定值.     

数学问题与解答

476.如图1,⊙O_1交⊙O_2于P、Q,点A在⊙O_1上,点D在⊙O_2上,射线PA、QA、PD、QD各交圆于B、C、E、F,证明:△ABC与△DEF的外接圆是等圆。     

一道平几赛题的新证及推广

2009年全国高中数学联赛陕西赛区初赛的一道平面几何题是： 如图1,PA,PB为圆O的两条切线,切点分别为A,B,过点P的直线交圆O于C,D两点,交弦AB于点Q,点Q,求证：PQ2=PC·PD—QC·QD．（1）     

“母子圆”的性质

这里把经过另一圆心的圆叫“母圆” ,把圆心在另一圆上的圆叫“子圆” .下面介绍母子圆的性质和相应的中考题 .图 1如图 1,点A在母圆⊙O上 ,子圆⊙A与母圆⊙O交于B、C ,点P是母圆⊙OBC的上的任意一点 (不与点B、C重合 ,且点A、P在直线BC的两侧 ) ,PA交BC于D ,设子圆⊙A的半径为r ,则有下列结论成立 (此文中结论与所注中考原题在形式上略有不同 ,但本质相同 ) .1 PA平分∠BPC .证明 :因为AB =AC ,所以 AB =AC ,所以∠BPA =∠CPA .2 ( 1) .△ABD ∽△APB∽△CPD ;2 ( 2 ) .△ACD ∽△APC∽△BPD .3 .PB·PC =PD·P…     

圆切线一个性质的类比研究

问题引出： 从平面上一点P作圆C的切线，可能的切线条数为：点P在圆C内部时0条；点P在圆C上时1条；点P在圆C外时2条．     

数学奥林匹克问题

本期问题 初205 如图1,P是ABC 内一点,PD、PE、PF是过点P所作的边BC、CA、AB的垂线,垂足分别为D、E、F,过D、E、F三点的圆交BC、CA、AB于另外三点D'、E'、F',过D'、E'、F'分别作所在边的垂线l1、l2、l3.求证:l1、l2、l3三线共点.     

用"转动圆"模型巧解带电粒子在匀强磁场中的运动问题

1“转动圆”的几何模型图1如图1所示,有一半径为R的圆,绕圆周上一个定点P转动一周,圆平面扫过的面积就是以P为圆心,以2R为半径的圆面积,圆上任意一点都绕P点转动了一周.2物理问题中的“转动圆”物理模型图2如图2,在一匀强磁场中,P点有一粒子源,可以向各个方向发射正粒子,离子的     

圆在求条件最值问题中的妙用

一直接利用已知圆问题直接与圆有关,可利用圆的几何性质,采用数形结合去处理。例1 已知P在椭圆x~2/25+y~2/16=1上移动,Q在圆     

解析几何中点和直线的对应

1．从圆说起 1．1点关于圆对应的直线 已知圆C的方程x^2＋y^2=r^2和点P（a,b）（圆心除外）,则点P关于圆C对应的直线为l：ax＋by=r^2．其对应法则如下：（1）若点P在圆C上,则直线l表示过点P的圆的切线;（2）若点P在圆C外,过点P作圆C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,     

“一石双鸟”巧解圆

在解决某些数学问题的时候,需要将问题所涉及的所有对象按一定的标准分成若干类,逐类讨论,才能得出正确的解答.这种解题方法称为分类讨论法.“圆”的内涵丰富,组合与变形可说是五彩缤纷,因此有关“圆”的问题常常是一题双值,需要采用分类讨论法.AB和CD在圆心O的同侧AB和CD在圆心O的异侧P在圆外P在圆上(不合题意)P在圆内1.点与圆的位置关系例1平面上一点P到⊙O上的点的距离最长为6cm,最短为2cm,求⊙O的半径.分析:点P的位置是在圆外、圆上还是圆内没有确定,因此对点P的位置要讨论:本题答案是r=2cm或r=4cm.2.弦与圆的位置关系例2直径为…     

数学奥林匹克问题

本期问题 初279如图1,过圆外一点P作圆的切线PA和割线PB1B2,切点为A,交点为B1、B2,再过点P作圆的另一条割线PCD交圆于C、D两点,     

一类不定方程的有理解

下面是一个求二元二次不定方程解的问题。求x~2+y~2=1的有理解. x~2+y~2=1在笛卡儿坐标系下显然表示单位圆,且该圆过点P(0,1),因而求解不定方程问题可化为求过P的直线与单位圆交点Q中的有理点(两个坐标皆为有理数的