第四届中国东南地区数学奥林匹克 第二天

(2007年7月28日,8:00-12:00,浙江镇海)五、设函数f(x)满足:f(x 1)?f(x)=2x 1(x∈R),且当x∈[0,1]时有f(x)≤1.证明当x∈R时,有f(x)≤2 x2(金蒙伟供题)证:令g(x)=f(x)?x2,则g(x 1)?g(x)=f(x 1)?f(x)?(x 1)2 x2=0,所以g(x)是R上以1为周期的周期函数;又由条件当x∈[0,1]时有f(x)≤     

第16届中国东南地区数学奥林匹克

第16届中国东南地区数学奥林匹克主试委员会成员:熊斌、何忆捷(华东师范大学),李胜宏、杨晓鸣(浙江大学),柳彬(北京大学),李铁城(清华大学),吴泉水(复旦大学),罗晔(香港大学),张鹏程(福建师范大学),董秋仙(南昌大学),吴根秀(江西师范大学),陶平生(江西科技师范大学)。     

第六届中国东南地区数学奥林匹克

第一天 1.试求满足方程x2-2xy+126y2=2 009的所有整数对(x,y). (张鹏程供题) 2.在凸五边形ABCDE中,已知AB=DE,BC=EA,AB≠EA,且B、C、D、E四点共圆.证明:A、B、C、D四点共圆的充分必要条件是AC=AD. (熊斌供题)     

第五届中国东南地区数学奥林匹克

第一天 1．已知集合S：{1,2,…,3n},n是正整数,T是S的子集,满足：对任意的x、y、z∈T（x、y、z可以相同）,都有x＋y＋z∈r．求所有这种集合T的元素个数的最大值．     

第11届中国东南地区数学奥林匹克

高一年级1．设P为奇素数,a、b、c、d为小于P的正整数,且a^2＋b^2、c^2＋d^2均为p的倍数。     

第二届中国东南地区数学奥林匹克

一、(1)设a∈R.求证:抛物线y=x2 (a 2)x-2a 1都经过一个定点,且顶点都落在一条抛物线上;(2)若关于x的方程x2 (a 2)x-2a 1=0有两个不等实根,求其较大根的取值范围.(吴伟朝供题)二、⊙O与直线l相离,作OP⊥l,P为垂足.设点Q是l上任意一点(不与点P重合),过点Q作⊙O的两条切线QA、QB,     

第六届中国东南地区数学奥林匹克试题及略解

第一天(2009年7月28日) 1.试求满足方程x2-2xy+126y2=2009的所有整数对(x,y).     

首届中国东南地区数学奥林匹克

第一天一、设实数a、b、c满足a2 2b2 3c2=32.求证:3-a 9-b 27-c≥1.(李胜宏供题)二、设D是△ABC的边BC上的一点,点P在线段AD上,过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E,与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF,求证:DM=DN.(陶平生供题)三、(1)是否存在正整数的无穷数列{an     

第四届英国初中数学奥林匹克

近几年来,数学竞赛热在各地兴起。一批青少年显示优异的数学才能,在高水平教练的带领下,终于在国际奥林匹克竞赛场上连获佳绩,使国人为之振奋。一时间,传媒广泛报道,有关方面颁令嘉奖,使数学竞赛之热趋于白热化。此时,许多人认为过了头,据说数学界的一些领导人也认为“竞赛热”应当降温了。无独有偶。今年八月在加拿大举行的第七届国际数学会议上,有一场事先精心组织的辩论会(Croggfjre,意为交火),其题目乃是“数学竞赛”。辩论会由攻方和辩方各三人组成,台下听众亦可插话,开得十分热烈,辩论的主题涉及数学竞赛的价值,竞赛题的内容,数学竞赛选手的培训,以及数学竞赛优胜者的表现。总之,国际上并非大家都赞成数学竞赛,许多人持否定态度。不过,更多的人似乎还赞成搞竞赛,只是要更趋于普及,更适合大众的需要。中国的数学竞赛已行之多年,成绩出色,但对其进行认真地研究,恐还不多。在我们看来,数学竞赛还是利多弊少,我们希望数学竞赛能够更健康地发展。正由于这个基本立场,我们组织了一批世界各国的数学竞赛试题和有关文章,供读者研究、参考。     

第36届中国数学奥林匹克

1.设数列{zn}(n≥1)的奇数项均为实数,偶数项均为纯虚数,且对于任意的正整数k,均有|zkzk+1 |=2k.对正整数n,记 fn=|z1+z2+…+zn|. 求:(1)f2 020的最小可能值; (2)f2 020 f2 021的最小可能值. (何忆捷供题) 2.给定整数m＞1.求最小正整数n,使得对于任意的整...     

第35届中国数学奥林匹克

1.设实数a1,a2,…,a40满足a1+a2+…+a40=0,且对1≤i≤40,均有|a1-ai+1|≤1(a41=a1)记a=a10,b=22,c=a30,d=a40.求:(1)a+b+c+d的最大值.     

第三届中国东南地区暨希望联盟数学奥林匹克试题及略解

第一天(2006.7.27 8:00-12:00南昌)一、设 a>b>0,f(x)=(2(a b)x 2ab)/(4x a b),证明:存在唯一的正数 x,使得 f(x)=((a_3~1 b_3~1)/2)~3.(李胜宏供题)二、如图所示,在ΔABC中,∠ABC=90°,D、G 是边CA 上两点,连接 BD、BG,过点 A、G 分别作 BD 的垂线,垂足分别为 E、F,连接 CF,若     

中国台北第一届数学奥林匹克

第一天“992一05一03)一兴< d。匕 12十丫万‘ 1.设A,B是已给圆上的两点,M是AB的中点.记此圆在A点的切线为l,C是从B向l引垂线的垂足.又圆在M点的切线分别交万云及石乙于A’及B’.证明:若之BAC<晋,则(△ABC,<2(△A‘B‘C‘,· 证明如图,设已给圆O的半径为R,记a~匕BAC.由题设BC土AC, O.,_A‘C从四,-顶下二一1一 司气七AA‘AC)鱿~匕互之 2十了歹‘ .了厄一一2因M是AB的中点,故A‘B‘// AB.所以△ABC的△A于是, (△A‘B‘C‘.B‘C)(△ABC) ,A‘C、,_1~L一万于二)“尸夕不丁 Z性七乙有 AC~ABeosa·又AB ~ZRsin匕AOM …