数学奥林匹克问题

本期问题初181已知圆内接六边形ABCDEF的各边均不相等,且BACB·DCED·FEAF=1.求证:AD、BE、CF三线共点.(吕建恒陕西省兴平市教研室,713100)初182找出所有满足下列条件的整数组:(1)a、b、c是正整数;(2)a+b+c=[a,b,c].(范兴亚谷丹北京市第四中学,100034)高181设a、b、c、d为正实数,且满足a2+b2+c2+d2=4.则a+b+c+d≥23(ab+bc+cd+da+ac+bd)≥abc+bcd+cda+dab≥4abcd.(厉倩湖南省长沙市第十五中学,410007)高182如图1,在△ABC中,AB>AC,图1AF、AF′分别是∠BAC及其外角的平分线.以FF′为直径作半圆,点P在半圆上且在△ABC内部.求…     

初二几何单元练习2四边形

一、填空题 a)己知一个多边形的各个内角都相等,且每个内角与一个外角度数之比为4:1,则这个多边形是__边形,它有__条对角线. b)己知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,如果△AOB的面积是3,则S平行四边形ABCD=____. c)若平行四边形的一边长为8cm,一条对角线的长为6cm,则另一条对角线的长的取值范围是 d)己知菱形的两条对角线长分别为6和8, 则它的边长是____. e) 矩形的两条对角线的夹角为60°,一条对角线与短边的和为15cm.则短边的长是     

数学奥林匹克问题

高46.已知一个正n边形的边长为a,最短对角线d_1,最长对角线d_2满足d_2-d_1=a。求n的值。     

2006年第12期问题

67.已知x、y为实数,且x2 3xy y2=2,求x2 5xy y2的取值范围.(湖南祁东县洪桥镇一中421600邓艳平提供)68.解不等式sin x-sin x 31!"!$2-x2-｜x｜">0.(安徽潜山二中246300琚国起提供)69.在△ABC中,已知∠A∶∠B∶∠C=4∶2∶1,AD、BE分别是∠A、∠B的内角平分线.求证:BC AD=CA BE.(安徽省肥西中学231200刘运宜提供)70.已知a,b,c为正实数,且a3 b3 c3 abc=4,求证:a b c≤3.(湖南长沙市十五中410007厉倩提供)71.设等差数列｛an｝的各项都是正数,公差为d,n、k∈N ,且n>1,求证:a1k a2k … ank≥n!$a1an"k.(安徽省明光市涧溪中学239461盛宏礼…     

正、余弦定理五大热点

正弦定理和余弦定理是解斜三角和判定三角类型的重要工具,其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.在近年高考中主要有以下五大命题热点:一、求解斜三角形中的基本元素是指已知两边一角(或二角一边或三边),求其他三个元素问题.【例1】在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边.若∠A=105°,∠B=45,b=22,则c=.解:由正弦定理,得sinbB=sincC,即si2n425°=sinc30°,解得c=2.【例2】在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,则∠ABC=(结果用反三角函数值表示).解:由已知及正弦定理,可得a∶b∶c=2∶3∶4,则a=2k,b…     

数学奥林匹克问题

本期问题 初343已知x、y为正实数,n∈N,且n≥2.证明: n√x+(2n-1)y/x+n√y+(2n-1)x/y≥4. 初344 在边长为2的正方形ABCD中,动点E、F均在边AD上,满足AE=DF,联结CF与对角线BD交于点Q,联结AQ、BE交于点P.求DP的最小值. 高343设a、b、c＞0,且abc=1,λ(λ≥1)为常数.证明:a1/a+b+λ+1/b+c+λ+1/ρ+δ+λ≤3/2+,当且仅当a=b=c=1时,上式等号成立.     

2007年第4期问题

91.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,BE=CF,且M、N分别是BC、EF的中点.求证:AD∥MN.(安徽省肥西中学231200刘运宜提供)92.设a、b为正整数,求证:(a b)(a2 b2)(a3 b3)·…·(a323 b323)≥(a162 b162)323.(湖北黄梅县一中435500王卫华提供)93.若a、b、c∈R ,且a b c=1,则有bac-!"1cba-!"1·cab-!"1≤8.(陕西省永寿中学713400安振平提供)94.已知正实数a、b、c满足a b c=abc.求证:aa bb bb cc cac a>25.(湖南武冈市第十中学422400邓集春提供)95.设｛an｝是各项都大于1的正项等差数列,n为大于1的自然数,求证:1-a11!"1-a12!"·…·1-a1…     

2004年河北省初中数学创新与知识应用竞赛预赛试卷

一、选择题(共6个小题,每小题5分)一(D)12以1.计算 仪(a一b)(a一c) b二,丁,-戈尸丁二------r十Lb一c八白一改)(C)1000 A(c一a)(c一丽的结果是(2a(a一b)(a一c) 2b(a一b)(b一c) 2c(a一c)(b一e)A) B)C) (D)02.已知四边形四条边的长分别是n;、n、p、q, 且满足mZ+nZ+PZ+92=2。:n+ZPq,则 这个四边形是() (A)平行四边形 (B)对角线互相垂直的四边形 (C)平行四边形或对角线互相垂直的四 边形 (D)对角线相等的四边形3.向高为10cm的容器注水,注满为止.若注水 量V(cnl子)与水深h(cm)之间的函数关系 的图象大致如图,则这个容器是() 第5题图第6题…     

4.一道竞赛题的简解

题:一个内接于圆的六边形,其五个边的边长苏为81,AB是它的第六边,其长为31,求从召出发的三条对角线长的和。 这是第九届美国数学邀请舞(A 1 ME)中的一道斌题,现给出一种较邸j捷的解法。 如图,设BD二a’BE“b,BF=e,连接JC、CE、AE,易证心E=A刀二B刀_户飞〔隧岁厂 由托勒密定理,在四边形B CDE中,81·b 512=aZ,① 在四边形BEFA中,sl.b 31·52=ac,② 在四边形B C EA中,31一a 52·a=bc。③ ②xb一③Xa得:81b2 31.slb一i12a2二o。再将①代入解得右== 144,从而a二135,e二105。所以a b c=384。“a,月C二BF二c4.一道竞赛题的简解@许恒…     

四边形边长与面积间的一个不等式

定理设凸四边形ABCD的边长和面积分别为a,b,c,d和△,则有(a2 b2)(c2 d2)(b2 c2)(d2 a2)≥16△4.(1) 证明设四边形ABCD的对角线AC,BD的长分别为m,n,AC,BD交于O,夹角为θ,则ac bd≥mn.     

由Nesbitt不等式加强式的等价形式建立的几个不等式

文[1]中作者给出并证明了Nesbitt不等式的加强式,同时介绍了其运用,本文给出Nesbitt不等式加强式的一个等价形式,在此基础上建立几个新颖的不等式.Nesbitt不等式设a、b、c是正实数,则有a b+c+b c+a+c a+b≥32(1).文[1]将(1)式加强为:设a、b、c是正实数,则有a b+c+b c+a+c a+b≥32+a-b 2+b-c 2+c-a 2 a+b+c 2(2).这里给出(2)的等价变形形式,在此基础上建立几个有趣的不等式.     

通法诚可贵巧解价亦高

例1 设a、b、c是一个长方体的长、宽、高,且a b-c=1,已知长方体对角线长为1,且a≠b,则高c的取值范围为( ).     

一个新构成三角形的性质

文[1]证明了:若a、b、c为△ABC的三边,则√a2 b2、√a2 c2、√b2 c2亦可构成另一△A′B′C′.本文对于新构成△A′B′C′的性质进行了一些探索与研究,得到如下结果.     

相似形

基础篇课时一比例线段诊断练习一、填空题1.已知:x2=y3=m5=n7,则y∶(x+m+n)=.2.已知:x∶y∶z=2∶3∶5,则3x+4y-2zx-y+3z=.3.若x+y2x=45,则xy=.4.若ab=cd,且a、d的比例中项为10cm,则b、c的比例中项是.二、选择题1.若2x-y=0,则x-yx的值为()(A)22.(B)2.(C)2-1.(D)1-2.2.如果a∶b=3∶2,且b是a和c的比例中项,那么b∶c等于()(A)4∶3.(B)3∶2.(C)2∶3.(D)3∶4.3.已知点M将线段AB黄金分割(AM>BM),则下列各式中不正确的关系是()(A)AM∶BM=AB∶AM.(B)AM=5-12AB.(C)AM≈0.618AB.(D)BM=5-12AB.三、解答题1.已知:a-bb-c=ac,求证:ba+bc=2.…     

也谈一个不等式的几何释解

设a,b,c∈R~ ,求证:(a~2 b~2)~(1/2) (b~2 c~2)~(1/2) (c~2 a~2)~(1/2)≥2~(1/2)(a b c)。此不等式多用代数方法或构造复数来证明,但李建章老师在《中学生教学》上给出了上述不等式的一种几何证明,读后颇有启发。本文打算提供另一种直观的几何证明,供参考。证明:如图,构作一边长为a b c的正方形ABCD,其对角线长AC=2~(1/2)(a b     

通法诚可贵 巧解价亦高

例一 设a、b、c是一个长方体的长、宽、高,且a+b-c=1,已知长方体对角线长为1,且a≠b,则高c的取值范围为( ).     

多动脑 证法巧

问题1 关于x的方程(a2 b2 c2)x2-2(ab bc ca)x a2 b2 c2=0有两个实数根,其中abc≠0.求证:a∶b=b∶c=c∶a. 证法1:∵方程有两个实数根, ∴△=[-2(ab bc ca)]2-4(a2 b2 c2)2≥0. 展开得a4 b4 c4-2a2bc-2ab2c-2abc2 a2b2 b2c2 c2a2≤0.     

一个四面体命题的思考归谬及修正

文[1]给出了如下的一个命题：三组长度为a1,a2;b1,b2;c1,c2的线段可分别作为四面体三组对棱的一个充要条件是任何两组线段的平方和大于第三组长度的平方和,即{（a1＋a22）＋（b21＋b22）＞c21＋c22（b21＋b22）＋（c21＋c22）＞a21＋a22①（c21＋c22）＋（a21＋a22）＞b21＋b22证明过程摘录如下：构造一个平行六面体,使各面上的一条对角线恰好为四面体的各棱,则问题等价于该平行六面体存在的充要条件.     

2005年全国初中数学竞赛四川赛区初赛

一、选择题(每小题7分,共42分)1.若a、b为实数,则下列命题中,正确的是().(A)a>b a2>b2(B)a≠b a2≠b2(C)|a|>b a2>b2(D)a>|b|a2>b22.已知a+b+c=3,a2+b2+c2=3.则a2005+b2005+c2005的值是().(A)0(B)3(C)22005(D)3×22005图13.有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成的,黑皮为正五边形,白皮为正六边形(如图1).如果一个缝制好的这种足球黑皮有12块,则白皮有()块.(A)16(B)18(C)20(D)224.在Rt△ABC中,斜边AB=5,两直角边BC、AC之长是一元二次方程x2-(2m-1)x+4(m-1)=0的两根.则m的值是().(A)4(B)-1(C)4或-1(D)-4或1图25.如图2,直线x…     

2004年全国初中数学竞赛天津赛区初赛

一、选择题 (每小题 5分 ,共 30分 )1.已知m2 n2 mn m -n 1=0 .则 1m 1n的值等于 (　　 ) .(A) - 1　　 (B) 0　　 ”(C) 1　　 ”(D) 22 .a、b、c为非零实数 ,且a b c≠ 0 .若a b -cc =a -b cb =-a b ca ,则(a b) (b c) (c a)abc 等于 (　　 ) .(A) 8(B) 4 (C) 2 (D) 13.方程 x 3x 1-y =0的整数解有 (　　 )组 .(A) 1(B) 2 (C) 3(D) 4图 14 .如图 1,在△ABC中 ,M是AC的中点 ,P、Q为边BC的三等分点 .若BM与AP、AQ分别交于D、E两点 ,则BD、DE、EM三条线段的长度比等于 (　　 ) .(A) 3∶2∶1(B) 4∶2∶1(C)…