关于ρ=±(x~2+y~2)~(1/2)中符号的确定

在曲线的极坐标方程化到曲线的直角坐标方程时,常用到ρ~2=x~2+y~2。故ρ=±(x~2+y~2)~(1/2)。怎样确定“+”、“-”号?现在举例说明如下: 1.用ρ=(x~2+y~2)~(1/2)的情况。例1.化极坐标方程e~ρ=2+cosθ为直角坐标方程。解.因为2+cosθ≥1,所以原方程中ρ≥0,因此ρ=(x~2+y~2)~(1/2)。由e~ρ=2+cosθ得ρe~ρ=2ρ+ρcosθ。从而原方程可化为 (x~2+y~2)~(1/2)e~((x~2+y~2)~(1/2))=2(x~2+y~2)~(1/2)+x。例2.把极坐标方程ρ=1+cosθ化为直角坐标方程。     

非哈密尔顿图的一个充要条件

设G是一个n阶2连通图,C_(max)表示G的一个最大圈,P∩C_(max)={u_0,V_0,…},u_0,V_0分C_(max)为两部分,P_1:u_0~+…V_0~-,P_2:V_0~+…U_0~-,记P_0=min{|P_1|,|P_2|},則G不是哈密尔顿的当且仅当存在PC_(max),这里,1<|P|≤|P_0|.     

浅谈“气体的性质”一章的复习方法

“气体的性质”一章的复习课可以打破书中前后内容的顺序,组织为三部分进行复习总结。一、定质量问题课本中的三个气体实验定律、理想气体的状态方程以及涉及密度方面的问题都属于在一定质量的条件限制下研究的;我们不必死记这些表达式。只需从一个气态方程出发附加某种条件就可全部导出其余的表达式。 1.由定质量气态方程 p_1V_1/T_1=P_2V_2/T_2 ①当T_1=T_2时, p_1V_1=p_2V_2(玻-马定律)②当V_1=V_2时, p_1/T_1=p_2/T_2(查理定律) ③当p_1=p_2时, V_1/T_1=V_2/T_2(盖·吕萨克定律)④ 2.将ρ= m/V代入①式,可变化为由密度表示的气态方程:p_1/ρ_1T_1=p_2/ρ_2T_2 ⑤当T_1=T_2时,p_1/ρ_1=p_2/ρ_2 (玻-马定律密度表达式)⑥当p_1=p_2时,ρ_1T_1=ρ_2T_2 (盖·吕萨克定律的密度表达式)⑦有时利用上述有关密度表达的公式解决实际问题更为方便。     

1981年高考数学附加题解

今年全国高等学校统一招生数学试题(理工农医类)中的附加题,源出于斐波那契数列,也是教材中一个习题的变形和发展。此题证法很多,下面略举几种。题已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图)。设AC=a,BC=b,作数列 u_1=a-b u_2=a~2-ab+b~2 u_3=a~3-a~2b+ab~2-b~3, ………… u_k=a~k-a~(k-1)b+a~(k-2)b~2-…+(-1)~kb~k;求证:u_n=u_(n-1)+u_(n-2) (n≥3)。证一由平面几何知识得 ab=AC·CB=CD~2=1, a-b=AC-CD=AC-AF=FC=1。由通项公式得     

从v—u图象求解物象运动问题

在透镜成象中,设物、象沿主轴移动的速度分别为V_物=du/dt,V_象=dv/dt,并将高斯公式:1/u+1/v=1/f对时间求导数,则 (-du/dt)/u~2+(-dv/dt)/v~2=0,即V_象/V_物=-(v/u)~2。那么,怎样引导学生不用求导而通过v—u图象的物理意义得出相同结果呢?下面以凸透镜为例,从速度的方向、大小和参照物分叙如下。 1 由高斯公式,v—u图象是关于点(f,f)对称的双曲线,v=f,u=f分别是它的水平渐近线和垂直渐近线。在曲线上任取P_1(u_1,v_1),P_2(u_2,v_2)两点,过P_1P_2的直线斜率为:     

关于曲线的极坐标方程化为直角坐标方程

把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,如果化法不当就会化错,例如江苏教育学院,无锡市教学研究室编的高中、数学第二册教学参考书中(以下简称参考书)有两处就发生了错误第一处是习题二十三9题(1),把ρ=5tgθ化为直角坐标方程,参考书中的答案是x(x~2+y~2)~(1/2)=5y。根据答案可知题目的作法是以ρ=(x~2+y~2)~(1/2),tgθ=y/x代到ρ=5tgθ中     

从一道定值问题的解法谈起

[题] 从椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1的中心作三条两两互成2π/3角的半径r_1,r_2,r3,求证:1/r_1~2+1/r_2~2+1/r_3~2定值。证:将椭圆方程化为极坐标方程得ρ~(2)cos~(2)θ/a~(2)+ρ~(2)sin~(2)θ/b~(2)=1→1/ρ~(2)     

关于极坐标和直角坐标的互化的一点注记

全日制十年制学校高中数学二册课本P181推导出极坐标和直角坐标的互化公式,即 x=ρcosθ,y=ρsinθ.(1) ρ~2=x~2+y~2,tgθ=y/x,(x≠0) (2) 教材接着指出:在一般情况下,ρ取正值,由tgθ确定θ角时,应根据点M所在的象限取最小正角。利用公式(1)、(2),可以把点的坐标或曲线的方程由直角坐标的化成极坐标的,或由极坐标的化成直角坐标的。课本强调在一般情况下,ρ取正值,这在练习与习题中绝大多数题都是奏效的,正因为这一点,不少人,甚至有些书刊都忽视在某些问题中,ρ必须取正、负值,或者只能取负值。例如,由人民教育出版社出版的“全日制十年制学校高中数学第二册教学参考书P218对课本P189习题二十三第12题所作答案是极坐标方程为ρ=2αsinθcosθ,即ρ=αsin2θ(1),     

两个距离公式的应用

全国通用教材初中《数学》第六册里介绍了两个距离公式,就是:(1)平面内两点间的距离公式;|P_1P_2|=((x_1-x_2)~2+(y_1-y_2)~2)~(1/2),(2)点到直线的距离公式:d=(|A_x_0+B_y_0+C|)/(A~2+B~2)~(1/2),解决解析几何中的有关问题     

一道课本习题的引申及推广

1 问题的提出及引申九年义务教育教材《代数》(第三册)P_(57)上有这样一道习题:解关于 x 的方程(a-x)~(1/2) (x-b)~(1/2)=(a-b)~(1/2)(1)为了求得这个方程的根,我们往往是采用“平方法”,这也是教学参考书中对这题的解法,解得这个方程的根是 x_1=a,x_2=b,却忽视了对这个方程更深层的研究.事实上,由二次根式     

“数学归纳法”教学的一点体会

全国统编教材高中数学第三册《数学归纳法》这一节,比过去传统教材改编得好,证题的内容丰富多采,形式多样。对于学生思维能力的培养,也给予了足够的重视。如在 1+3+5+……+(2n-1)=n~2 1+3+2+………………+n=1/2 n(n+1) 1~3+2~3+3~3+……+n~3=1/4 n~2(n+1)~2=(1+2+3+……+n)~2 1~2+2~2+3~2+……+n~2=1/3 n(n+1)(2n+1)等公式时,都配合直观图形,让学生从图形中观察到证题的结果,使学生在学习数学归纳法过程中,进一步领会这些例题、习题的求证,不仅仅是要按数学归纳法的两个步骤证明其正确性,而且还要引导学生对     

六年制重点中学高中《解析几何》课本一例浅议

在六年制重点中学高中《解析几何》课本的116页有这样一道例题:“求证:椭圆x~2/25+y~2/9=1和双曲线x~2-15y~2=15在交点处的切线互相垂直。”课本的证法是: 先解椭圆和双曲线方程所组成的方程组,求得四个交点 P_1((5(15)~(1/2))/4,3/4);P_2(-(5(15)~(1/2))/4,3/4);P_3((5(15)~(1/2))/4,-(3/4));P_4(-(5(15)~(1/2))/4,-3/4)。再分别求出椭圆、双曲线在点P_1处的切线方程,     

极坐标方程ρ=ep/1-ecosθ中顶点的极径的应用

圆锥曲线的极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)……(1)中,当01时,它表示有心的二次曲线(椭圆,或双曲线),如果极坐标方程(1)化成直角坐标方程是(x-m)~2/a~2±y~2/b~2=1……(2),下面给出极坐标方程(1)中顶点的极径ρ与直角坐标方程(2)中a、b、c之间既简单又便于记忆的转化公式。 [定理一] 在极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)中…(1) 当01)时,设椭圆长轴两端点(或双曲线或实轴两端点)的极坐标分别是(ρ_1,0)和(ρ_2,π),则:     

极坐标在证明有关线段(长)等式的应用

运用极坐标法证明这类问题时,主要利用两点p_1(ρ_1,θ_1)、p_2(ρ_2,θ_2)间的距离公式:|p_1p_2|=(p_1~2+p_2~2-2ρ_1ρ_2cos(θ_1-θ_2))~(1/2)和过这两点的直线p_1p_1的方程:sin(θ_2-θ_1)/ρ=sin(θ_2-θ)/ρ_1+sin(θ-θ_1)/ρ_2。这一公式和方程都可利用坐标互化公式:x=pcosθ、y=ρsinθ代入直角坐标系的相应公式和方程中,结合三角知识得到, 这类问题的证法和步骤是: 第一步,首先按照几何图肜的特点,适当建立极坐标系,并根据题设,设置有关各点的坐标; 第二步,再应用上述公式和方程求出有关线段的     

一个例题的注释

六年制重点中学高中数学课本《解析几何》177页例4“化圆锥曲线的极坐标方程ρ=ep/1-ecosθ为直角坐标方程”解答中有这样一段话:在将 (x~2+y~2~(1/2))=e(x+p)两边平方时,对于 e>1的情形,方程产生增根…….为什么?课本未作说明,现作如下简单注释.     

两道常见题的简单解法

题一求无穷数列 1/2~2+(1-1/2~2)·1/3~2+(1-1/2~2)·1/4~2+……+(1-1/2~2)(1-1/3~2)…(1-1/n~2)·1/(n+1)~2+…… (*)之和。贵刊1991年第3期P_(29)指出:这个数列构造较复杂,用初等方法难以理出头绪,于是,用构造概率模型的方法才求出了这个数列的和,但其解法太繁。在此之前,《数学通报》1983年第5期P_(15)和《初等数学解题方法研究》(欧阳维诚,湖南教育出版     

巧用一道习题的结论求一类无理函数的最值

习题:已知x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>0,b>0,x≥0,y≥0),设P=x+y,求P的最大值和最小值。此题散见于各种数学资料中,由数形结合法不难求得,P_(max)=(a~2+b~2)~(1/2),P_(min)=min(a,b),利用这一结论直接求解形如y=(ax+b)~(1/2)+(cx+d)~(1/2)(a、c<0)的函数最值将非常简捷。例1 求函数y=(5+x)~(1/2)+(4-x)~(1/2)的最大值和最小值。解:设v=(5+x)~(1/2),v=(4-x)~(1/2),则v~2=20+4x。v~2=4-x,消去x得v~2/36+v~2/9=1。∴y_(max)=45~(1/2)=5~(1/3),y_(min)=3。例2 求函数y=(ax-b)~(1/2)+(c-dx)~(1/2)(a>0,d>0,且ac>bd)的最大值和最小值。     

圆锥曲线弦的中点

解析几何中,涉及圆锥曲线弦的中点问题很多。传统的解答方法是:将弦所在的直线方程,代入圆锥曲线方程,再应用韦达定理。但这样解常常导致冗长的运算,也没有体现弦中点的本质特征。那么,圆锥曲线弦中点究竟有哪些本质含义呢?现试阐述如下。一、弦中点决定所在弦的斜率由于现行教材中,把含交叉项xy的二次曲线:Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0,作为选学内容,所以本文着重研究B=0的情况。定理一:设P_1P_2为圆锥曲线C_1:Ax~2+Cy~2+Dx+Ey+F=0的弦,M_0(x_0,y_0)为弦P_1P_2中点,k为弦斜率,若k存在,     

对《费马大定理初证》的简化

一 费马大定理表述为:x~n+y~n=z~n……(F),当n>2时无正整数解。 [证]设x、y为整数,且x>y则x/y=k+Δ,其中k为整数,Δ为小数。于是(F)式可以写成: 即z=y(K+Δ~n+1)~(1/n)……………………(1) 由此可见,若((k+Δ)~n+1)~(1/n)为无理数,则z恒为小     

用直线两点式参数方程证比例式

本文介绍利用直线两点式参数方程来证明比例式的一种规范化有效方法,供参考。一、直线两点式参数方程如图, 设P_1(x_1,y_1)、P(x_2,y_2)、P(x,y)都是直线l上的点,且P_1P/PP_2=λ则(x=x_1+λx_2/1+λ)/(y=y_+λy_2/1+λ)(λ为参数,λ≠-1) 即为过P_1、P_2两点的直线的参数方程。∵由(x_1-x_2)/(x-x_2)=1+λ 及