中学数学中“3”的重要性

在中学数学中许多问题与“3”有关,学习时如不予以重视,就会出现这样或那样的错误,现仅举重要的几个例子. 一、关于x的方程ax2+bx+c=0有两正根求解时应注意三步①a≠0;②△≥0;③x1+x2>0,x1x2>0.     

也谈公式s=(Δ~(1/2))/|a|的推导

看了贵刊2006年第3期(初中版)刊载的《运用s=Δ|a|求二次函数图象与x轴交点间的距离》一文,笔者发现在公式导出过程中有两处明显错误,商榷如下:错误一:由求根公式得出x1=-b-Δ2a,x2=-b+Δ2a后,文章说“显然x2>x1”此乃明显错误.当Δ>0时,x1与x2的大小不能确定,与a的取值符号有关.若a>0时,则x2>x1,若a<0时,则x2x1”后,推出s=x2-x1=-b+Δ2a--b-Δ2a=2Δ2a=Δa,又说“因为二次项系数a的取值可正可负,为确定s非负,所以须在a中添加绝对值,即s=Δ|a|”.事实上,若x2>x1,则s=x2-x1>0,而文中当a<0时,s=x2-x1=Δ<0(Δ…     

把数学变容易一些(续)

人为地把数学变容易一些,还有一点是尽可能对一些定理少加附加条件,少加附着的东西。高中讲单调函数 （增函数） , 当 x1 >x2可推出 f （ x1） > f（ x2）,称 f是增函数。这个定义给学生带来一些麻烦,学生在做题时既要考虑 x1>x2,又要考虑 f(x1)>f (x2),多了一个逻辑环节。如果在定义时就说当 x1－ x2与 f (x1)－ f (x2)同号就是增函数,学生做题时就会感到容易得多。只要把两个差比一比,而不考虑这差是正是负,尽管实质是一样的,学起来却容易一些。而且这样定义抓住了本质,为学习微分埋下了伏笔。像这类事情,引进概念要返璞归真…     

“f|x|≥α”的否定是“f|x|<α”吗

在学习简易逻辑的过程中,很多同学对“非”的理解比较模糊,想当然地认为命题P:f(x)≥a的否定是(?)P:f(x)相似文献   

该是新教材编者说话的时候了

高一新教材增加了“简易逻辑”内容,教材从不等式 x~2-x-6>0的解集是{x|x<-2或 x>3}引入了“或”,并规定:“或”、“且”、“非”这些词叫逻辑联结词.不含逻辑联结词的命题是简单命题.由简单命题与逻辑联结词构成的命题是复合命题.本意是让学生自觉地使用逻辑规则,避免逻辑错误,提高思维能力,这对学生今后的学习和发展无疑是十分重要的.但从教学实践以及2002年《中学数学教学参考》第1～2期上《关于命题的困惑》一文刊登以来的其他杂志上的文章和一些教学辅助书上看,由于是新增内容,常犯一些典型错误,尤其对“或”的理解,出现的不仅仅是似是而     

关于|x+1/x|≥2

“求证 :| x + 1/x|≥ 2 ( x≠ 0 ) .”(人教社高中《代数》(下册 )第 3 0页第 1 1题 )这是训练基本不等式的一个典型题目 ,但是许多学生将其错误地理解成“只要 x≠ 0 ,就能保证 | x + 1/x|≥ 2 .”文 [1 ]举出的反例说明 ,当 x是虚数时 ,可能 | x + 1x| <2 .本文在复数范围内给出 | x + 1/x| >2 (或| x + 1x| =2 ,或 | x + 1/x| <2 )这类关系成立的一个充要条件 .定理 1 :设 z∈ C\{0 } ,m∈ R+,则| z + m2z| <2 m | z + mi| >2 m| z -mi| <2 m　　或 | z + mi| <2 m| z -mi| >2 m　　　　　 ( 1 )| z + m2z| =2 m | z + mi| =2 m　　…     

关于不等式(ax+b)~(1/2)■cx+d的教学

1985年高考数学试题理工农医类和文史类都有这样一个题目:解不等式(2x+5)~(1/2)>x+1.这是一道考查基础知识,基本方法,基本能力的难度适宜、区分度较好的题目。然而,考生的答卷并不理想,这里除了非正常失分外,主要错误表现在以下几个方面: 1.将不等式(2x+5)~(1/2)>x+1的两端平方,得到错误的解集:{z|-2相似文献   

“零”的惩罚

<正>"零"在数学中居有特殊的地位.但不少同学在解题中常忽视"零"的存在,因而受到"零"的惩罚,造成失误.这类错误归纳起来大致有如下几个方面.一、忽视零不能作为分母而造成解题错误例1当x为何值时,分式1-2|x|2x2-3x-2的值为零?错解1-2|x|=0,x=±12时,原分式     

分式运算及解分式方程易错点追踪

我们初学分式时,由于对知识的理解不透彻,方法运用不熟练,常常出现一些不必要的错误,失分率较高.本文对同学们在学习分式时出现的几种常见错误进行了梳理,对其错因作简单剖析,希望帮助同学们避免错误,走出误区.一、随意约分例1 x~2-y~2/x+y是整式还是分式?1/x+2呢?x-1-π呢?错解因为x~2-y~2/x+y=(x+y)(x-y)/x+y=x-y,所以x~2-y~2/x+y是整式;1/x+2是整式;x-1/π是分式.     

四边形问题中的错解剖析

四边形是日常生活中应用较为广泛的一种几何图形,尤其是平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四边形的用处更多.有关四边形的知识是初中几何的基础.为帮助同学们深刻掌握这部分知识,本文将因各种原因所造成的错误解答列举如下,以供借鉴.一、错用三角形的知识而导致错误例1如果四边形四条边的长依次为2,4,7,x,如图1所示,则x的取值范围是.图1错解22,x+2+7>4,x+2+4>7,2+4+7>x,又x>0,解得1相似文献   

《逻辑的力量——发现潜藏的逻辑谬误》教学设计

<正>【教学目标】1.学习逻辑学中逻辑规律的有关知识，运用逻辑规律，辨别日常语言表述中的逻辑错误。2.学会区分逻辑谬误与故意违反逻辑的语言艺术。3.能够清晰准确地进行语言表达，避免逻辑谬误。【课前预习】阅读教材第92～93页《发现潜藏的逻辑错误》，完成活动单。【教学过程】一、导入同学们，今天我们一起开始学习第四单元——《逻辑的力量》。首先，我们来看一下单元前言（指定一名学生朗读）。     

函数单调性定义的等价形式及应用

我们学习过函数单调性的定义:如果对于函数f(x)定义域内的某区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2)],那么就说f(x)在这个区间上是增(减)函数.此时,就说f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,这一区间叫做f(x)的单调区间.     

切莫忽视“不为零”的规定

<正> 在初中数学中,对于“不为零”的规定,必须予以高度重视,否则就会出现错误.本文举数例如下,以期引起大家的重视. 一、除式(分式中的分母)不能为零例l 若代数式(x-2)(x+1)/|x|-1的值为0,则x的值应为( )     

《简易逻辑中的常见错误》中的错误

《中学数学教学参考》2 0 0 3年第 5期《简易逻辑中的常见错误》(以下简称为《错误》)一文中出现了几处错误 ,本文剖析一下这几处错误 .《错误》一文中的例 7给出命题 p :“若x2 + y2 =0 ,则x ,y全为 0” ,认为命题 p的“非”是┐ p :“若x2 +y2 =0 ,则x ,y不全为 0” .《错误》一文中的例 8给出命题 p :“若x =2或x= -1 ,则x2 -x -2 =0” ,认为它的“非”是┐ p :“若x=2或x =-1 ,则x2 -x -2≠ 0” .这两个例子犯了相同的错误 .错误就是把“若A则非B”当成了“若A则B”的否定命题 .《错误》一文在例 8的后面有一段小结 ,其中有一句是“否…     

中考一元二次方程常见错解例析

一元二次方程是初中数学的主要内容之一,是中考的一个必考内容.同学们在解题时,由于考虑问题不全面,思维不严谨,常会出现这样或那样的错误.现举例分析,供参考. 一、忽视一元二次方程中二次项系数a≠0造成错误例1 (2001年济南市)已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1、x2,求k的取值范围. 错解:∵方程有两个不相等的实数根, ∴原方程为一元二次方程且△>0, 即(2k-1)2-4k2>0,     

一道中考题的错解归类剖析

<正>本人参加了2012年江苏省淮安市数学中考阅卷,现对试题中有一解不等式组问题出现的错误解法进行归类剖析,供同学们学习借鉴.题目解不等式组:x-1>0,3(x+2)<5{x.一、不等式无标记错解1由不等式①,得x>1,由不等式②,得3x+6<5x,6<2x,x>3.所以,原不等式组的解集为x>3.剖析这个解题过程好像很完美,他严格按照解不等式组的步骤,先解第一个不等式,再解第二个不等式,最后取它们的公共部     

导数运用 错解剖析

导数是近年来高考的新增内容,但由于导数这一单元概念性比较强,而教材对上述内容的简化处理,从而使得同学们在学习这部分内容时经常会犯这样或那样的错误,下面列举几种常见的典型错误,以提醒大家注意·1·在运用导数的有关符号时,由于对符号的意义理解不透彻而致错【例1】已知y=x3,求y′(1)·错解1y′(1)=(x3)′=3x2=3·错解2y′(1)=(3×12)′=0·错解剖析导函数f′(x)(即y′)与导数f′(x0)(即y′|x=x0)是有区别的,前者是函数,后者是一个数;但它们又有联系,即f′(x0)是f′(x)在点x0处的函数值·错解1写法错误,错解2误认为f′(x0)就是[f(x0)]…     

解一元二次方程中的错误剖析

一元二次方程是初中代数学习重点中考热点.涉及到的内容多、结论多、解题思路多.学生做起作业来,因种种原因,往往出现各种各样的错误,现就常见错误举例剖析如下:1概念不清造成的错误例1下列方程中,肯定是一元二次方程的是()A.ax2+bx+c=0B.3x2-2x-1=mx2C.x+1x=1D.(a2+1)x2-2x-3=0剖析由一元二次方程的定义可知,只有同时满足三个条件(1)是整式方程;(2)含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2,这样的方程才是一元二次方程,不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程.A答案,缺条件a≠0;B答案,缺条件m≠3;C答案,该方程是分式方程而不是…     

注意题目中的隐含条件

有些题目,同学们看似简单,却往往忽视了题目的隐含条件,造成解题的错误.本文就有关韦达定理和判别式的应用来加以说明. 例1 已知关于x的方程(k-1)x2+2kx+k+3=0,有两个不相等的实数根,求K的取值范围. (1998年扬州市中考题第22题) 错解.∵原方程有两个不相等的实数根,∴△>0,即 (2k)2-4(k-1)(k+3)>0,解得k<3/2. 评析结果显然是错误的,它忽视了一元二次方程     

解分式题常见错误分析

同学们在解分式题时,经常会出现概念不清、忽视条件、推理无据、考虑不周等原因而错解题目,下面就一些常见错误归类分析如下,供同学们学习时参考. 一、忽视分母为零分式没有意义例1 当x取何值时,分式x2-3x 2/x2 x-2的值为零? 错解:由分子x2-3x 2=0, 得x=1或x=2. ∴当x=1或x=2时,分式x2-3x 2/x2 x-2的值为零.