学会用二次函数解决实际问题

背景知识　　二次函数ｙ=ａｘ2 +ｂｘ+ｃ(ａ≠ 0 )的顶点坐标是 -ｂ2ａ,4ａｃ-ｂ24ａ .这就是说 ,当ａ<0 ,ｘ =-ｂ2ａ时 ,二次函数有最大值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ ;当ａ>0 ,ｘ =-ｂ2ａ时 ,二次函数有最小值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ .图 1例 1　用长 8ｍ的铝合金条制作如图 1形状的矩形窗框 ,如果要使窗户的透光面积最大 ,那么这个窗户的最大透光面积是 (　　 ) .(Ａ) 6 42 5ｍ2 　　 (Ｂ) 43ｍ2(Ｃ) 83ｍ2 (Ｄ) 4ｍ2(2 0 0 1年浙江省金华市、衢州市中考题 )解　设这个矩形窗框的宽为ｘｍ ,面积为ｙｍ2 ,则窗框的长度为 8-3ｘ2 ｍ .于是 ,有ｙ =ｘ 8-3ｘ2…     

启发式教学对学生思维的启迪作用

我今年50岁了,可说是年过半百。但一回忆学生时代的“寒窗”生活,课堂上老师教课的生动情景,有如电影一样在脑海中一幕幕闪过,尽管这些都是30年前的事了,也不无回味。 记得那是1958年的一天,我们在上解析几何二次抛物线方程问题,老师一上讲堂,就提出了一个使学生陷入深思的问题:用一根1长的方形条木作一矩形窗框,为了增加透光量和通风量,问如何做才能使窗子具有最大面积?如果作成下面为矩形、上边为拱形的窗框,如何做才能有最大面积?这是一个二次抛物线求极值的问题,现在看来十分简单,但那时对我这     

应用二次函数解最值问题

知识链接　　二次函数ｙ=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )的顶点坐标是- ｂ2ａ,4ａｃ-ｂ24ａ .所以 ,当ａ <0 ,ｘ =- ｂ2ａ时 ,二次函数有最大值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ ;当ａ >0 ,ｘ =- ｂ2ａ时 ,二次函数有最小值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ .例 1　用长 8ｍ的铝合金条制成如图 1形状的矩形窗框 ,使窗户的透光面积最大 ,那么这个最大透光面积是 (　　 ) .(Ａ) 6 42 5 ｍ2 　 (Ｂ) 43ｍ2 　 (Ｃ) 83ｍ2 　 (Ｄ) 4ｍ2(2 0 0 1年浙江省金华市中考题 )　解　设窗户的宽为ｘｍ ,高为ｙｍ ,则 3ｘ+2ｙ=8.∴　ｙ =4- 32 ｘ .设透光面积为Ｓｍ2 ,则Ｓ =ｘｙ=ｘ 4- 32 ｘ …     

一道看似简单的难题——关于矩形面积公式的证明

我们都知道矩形的面积等于长乘以宽,但对于它的证明仅停留在边长为正整数的矩形。本文对此做了补充,并给出了边长为实数的矩形面积的完整证明。     

渗透思想方法 凸显核心素养

<正>1试题呈现(宁波中考第10题)将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图1方式不重叠地放置在矩形ABCD内,其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等。若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出()。A.正方形纸片的面积B.四边形EFGH的面积C.△BEF的面积D.△AEH的面积     

对《二次函数最大值应用题与等周问题》一文的几点意见

读了《江西教育》1983年第10期《二次函数最大值应用题与等周问题》一文,颇受启发。该文运用等周问题的初步知识,来解答某些二次函数最大值应用题,构思巧妙,解法简便。但其中例2的解法,似可作进一步地研究;例5的解法,似有疏忽之处;且关于这方面的教学建议,也值得商榷。对此作如下陈述:一、原文例2中的矩形窗框,中间档料的根数为2(如图1)。原文巧妙地利用了这一特点,将原窗框作“等效变形”,变为两个周长相等且为定值的小     

最值题例说

例1 已知矩形的面积为1,求该矩形的周长的最小值．     

举一反三、探索新题

有这样一道操作题:将6×4(单位:厘米)的小方格矩形纸,沿着格线剪去一个正方形后,剩下来的新图形的周长与这张矩形纸的面积在数值上相等,而且新图形的面积与这张矩形纸的周长在数值上也相等,那么剪去的正方形边长是多少?怎样剪法(试举一例)?分析与解因为矩形纸的面积是24平方厘米,周长是20厘米,据题意剪剩下来的新图形的周长应是24厘米,面积应是20平方厘米.所以剪去的正方形面积应是(24-20=)4平方厘米,可见这个正方形的边长是2厘米.由图1所示,剪去的正方形不可能剪在矩形纸的角上,因为剪剩下来的新图形的周长没有增加4厘米,所以剪去的2×2的…     

有趣的图形信息题

图形信息题是指将几何图形作为信息的载体的一类数学问题.这类问题常将某些已知条件,特别是数量关系条件隐含在题目的附图中.解决此类问题,必须认真仔细地去观察图形,正确地从图形中提取信息,找出数量关系.如果忽视了图形所提供的信息,就无法从图形中找到解题的条件,会感到无从下手.现举几例介绍这类问题的解法.例1如图1,把一个面积为1的正方形,等分成两个面积为12的矩形,接着把面积为12的矩形等分成两个面积为14的矩形,再把面积为14的矩形等分成两个面积为18的矩形,如此进行下去,试利用图形揭示的规律计算:12+14+18+116+132+164+1128+1256=…     

一道中考题的答案磋商

某省2003年中考数学题:某工厂要选一块矩形铁皮加工一个底面半径为20cm,高为cm的锥形漏斗,要求只能有一条接缝(接缝忽略不计),要想用料最省,矩形的边长分别是_____.该题答案是:90cm,cm. 就本题我们作了如下分析: 如图1,圆锥底面半径为20cm,高为cm.在Rt△AOB中: 可知,圆锥母线长为60cm,即:圆锥侧面     

对一道中考题的解读

下面的题目是2003年四川省中考B卷第5题： 如图 1,过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ,那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1_____S2（填“〉”或“〈”或“=”）．     

快门和光圈的计算

第十二届和第十三届全国初中应用物理知识竞赛中,均有关于照相机的快门或光圈的计算问题。 题目1 摄影胶片的感光能力一定时,要获得正确曝光的底片,镜头的透光面积和曝光时间的组合就应该是一定的。镜头的透光面积由叫做“光圈”的机构控制,通常用22、16、11、8、5.6、4、2.8等数字代表,22就表示此时镜头透光的直径是它的焦距f的1/22,依此类推,曝光时间     

有趣的图形信息题

图形信息题是指将几何图形作为信息的载体的一类数学问题.这类问题常将某些已知条件,特别是数量关系条件隐含在题目的附图中.解决此类问题,必须认真仔细地去观察图形,正确地从图形中提取信息,找出数量关系,现举例如下:例1如图1,把一个面积为1的正方形,等分成两个面积为12的矩形,接着把面积为12的矩形等分成两个面积为14的矩形,再把面积为14的矩形等分成两个面积为18的矩形,如此进行下去,试利用图形揭示的规律计算:12+14+18+116+132+164+1128+1256=_______.分析求12+14+18+116+132+164+1128+1256摇的实质是求面积分别为12、14、18、116、132…     

例谈反比例函数K值的求解策略

探索定值三角形与定值矩形面积转化问题的求解策略、探索坐标系中特殊四边形的面积与定值矩形面积的倍数关系、探索反比例函数图象单支上双交点问题的解题策略与方法。     

先讲“篱笆问题”还是先讲“绳子问题”？

教学新手小赵老师在讲“一元二次方程的应用”这节课时，先讲一道例题（篱笆问题）：依靠一面足够长的墙用篱笆来围成矩形的花园，己知篱笆的长16米，要围成的矩形面积为24平方米，求矩形的长和宽．讲完例题后出了一道巩固练习（绳子问题）：用100米长的绳子围成矩形，己知矩形的面积分别为：（1）525平方米；（2）625平方米；（3）700平方米，求相应的矩形的长和宽．     

用“Δ”法探究一类存在性问题

<正>对中考题仔细推究,有利于把握它的基本规律并指导解题实践.这里用二次方程根的判别式法对两道中考"矩形存在性问题"进行探究.1、试题解析题1(2004温州)(1)对于任意给定的一个矩形C,是否存在另一个矩形,使它的周长和面积都是矩形C的2倍?请说明你的理由;(2)当实数m为什么值,对于任何一个矩形C,都存在另一个矩形,它的周长与面积都是矩     

趣题三则

如右图,矩形的长与宽数值是两个相邻的两位数.小三角形(图中阴影部分)的顶点是矩形对角线的中点,底边两端点是矩形长边上的两个四等分点.如果将矩形面积与小三角形面积都进行质因数分解,各自质因数相加,所得两个质因数的和大的是小的两倍. 你能说出矩形的长与宽各是多少吗?     

"空间数"再探

文[1]指出,矩形数(即平面数)是指使矩形面积与周长相等的数.设矩形宽为x,长为y,则矩形数xy仅有16与18.     

猜想、实验、发现、论证、反思

一道常见例题:有一半径为R的扇形废铁皮,圆心角∠AOB=60°,现将其废物利用,剪成一个内接矩形,如图所示有两种裁法:甲同学让矩形的一边在扇形的一条半径上(如图1),乙同学让矩形的一边与弦AB平行(如图2).请问:哪位同学的裁法能得到面积最大的矩形?图1图2笔者和研究性学习小组的同学们对此例展开后继研究后,收获颇丰.现将过程简述如下.1猜想———创新的起点猜想有一半径为R的扇形,圆心角∠AOB=60°,现将其剪成一个矩形,内接矩形的面积最大.分析此时由于长方形顶点的位置不确定,其裁法也多种多样,但依据前面的研究可猜想:面积最大的矩形必…     

瓦里斯问题的解法及其引申

正17世纪英国数学家瓦里斯提出一个问题:周长相等的所有矩形中,以正方形的面积最大.证明这个问题的方法很多,我们可以用二次函数的最大值的方法来求解,具体过程这里略去.把瓦里斯问题层层引申,可得到下述有趣的数学问题.一、靠墙围矩形问题用一定长度的篱笆,靠墙围成一个矩形,问怎样的围法才能使矩形面积最大?