一道竞赛题的证法改进和结论推广

在解析几何竞赛题中,经常出现有关定点的问题.近日,笔者在做一道这类型的竞赛题时,将其过程做了改进,将其结论进行了推广,发现了有趣的结论,现与大家分享.原题:已知椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1(a>b>0),其长轴为 A_1A,P是椭圆上不同于点 A_1、A 的一个动点,直线 PA、PA_1分别与同一条准线 l 交于 M、M_1两点.试证明:以线段 MM_1为直径的圆必过椭圆外的一个定点.(2005年全国高中数学联赛天津赛     

利用"b2/a≥2b(a,b∈R+)"巧解几道国际竞赛题

不等式证明是竞赛题中的重点和难点.本文针对几道国际竞赛题的特殊形式,通过添项变形利用b2/a+a≥2b(a,b∈R+)这一简捷不等式给出巧妙解法.     

活跃于数学高考中的帕斯卡六边形定理

考题呈现题1(2012贵州高中数学竞赛题)如图1,已知A,B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右顶点,P,Q是该椭圆上不同与顶点的两点,且直线AP与QB,PB与AQ分别交于点M,N.     

解答数字竞赛题的若干技巧

解答某些数字竞赛题,若能对题设中的数字进行恰当的处理,可使解题过程巧妙简捷.现举例介绍解答数字竞赛题的一些常用技巧.     

利用几何画板画椭圆的方法集锦

正椭圆是解析几何中的一个重要概念,利用几何画板不仅可以简捷准确地画出椭圆,而且可以加深对椭圆概念的理解,丰富对椭圆的认识.下面我们介绍椭圆的几种画法和原理.     

调和线束的应用

先用调和线束对一道竞赛题给出简捷的新证法 ,接着用射影几何的知识进行了深入的探讨 ,并发现两道新题。     

一道竞赛题的来龙去脉

下面是一道匈牙利数学竞赛题： 若p是大于2的质数,证明2/p可以且仅有一个办法表示成 2/p=1/x＋1/y（1）     

一道浮力竞赛题的三种巧解

本刊初二版1998年6月号上的《初二物理竞赛自测题》里,有一道浮力竞赛题.原题是:一个塑料实心球放在水中静止时受到的浮力为28.5牛,放在酒精中静止时受到的浮力为24牛,已知酒精密度为0.8×10～3千克/米～3,求塑料球的密度?此题文句简短,内容精练,题中稳含着塑料球在水和酒精中的浮沉状态.这是一道培养同学分析、比较、推理和演绎等思维能力,以及数理解题方法技巧的好题.比较而言,此题至少有三种简捷解法,现分析如下.解法1 假设水、酒精和塑料球的密度分别为ρ1、ρ2.和ρ;塑料球的体积和自重为V与G,它在水和酒精中排开的体积与受到的浮力分别为V_1、V_2与F_1、F_2.     

一道椭圆离心率问题的解法探究

<正>圆锥曲线中关于离心率的考查一直是热点问题.下面是扬州市的一道调研测试题,考查了椭圆的离心率,原题如下:如图1,斜率为1/3的直线l经过椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)左顶点A,且与椭圆交于另一个点B,若在y轴上存在点C使得△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形,则该椭圆的离心率为___.分析本题中直线与椭圆相交,在已知一个交点坐标的前提下求另一个点的坐标,     

利用“b~2/a+a≥2b(a,b∈R~+)”巧解几道国际竞赛题

不等式证明是竞赛题中的重点和难点。本文针对几道国际竞赛题的特殊形式,通过添项变形利用b~2/a+a≥2b(a,b∈R~+)这一简捷不等式给出巧妙解法。     

巧解第26届预赛第13题

本刊2012年第4期的"数理结合再巧解一道全国26届物理竞赛题"一文,利用直角三角形知识求解,确实比较简单,读后颇受启发,而若直接利用余弦定理求轨道半径,则更简捷、巧妙,现介绍如下. 原题.近代的材料生长和微加工技术,可制造出一种使电子的运动限制在半导体的一个平面内(2维)的微结构器件,且可做到电子在器件中像子弹一样飞行,不受杂质原子射散的影响.这种特点可望有新的应用价值.     

利用柯西不等式讨论一类方程组

尽管柯西不等式在各类竞赛题、考试题中利用率较高,但使用柯西不等式讨论方程组的解还不多见.本文从解一道美国竞赛题中得到启发,并做了一些推广,供参考.柯西不等式:对于实数组 a_1,a_2,…,a_;b_1,b_2,…,b_有     

探求错因,消除隐患

题目:设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e=3~(1/3)/2,已知点P(0,3/2)到这个椭圆上的点的最远距离是7~(1/7),求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点P的距离等于7~(1/7)的点的坐标. 这是一道高考题,当年不少同学的解法是这样的:依题意,作圆x2+(y-3/2)2=7,与椭圆方程联立;消去x,得     

一道高考题的推广

<正>1.问题的提出2014年四川省高考理科第20题是这样一道题:已知椭圆C:x²/a2+y2/a2+y²/b2=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的22a b一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C的方程;     

值得重视的二个推论

完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2中含有两个等式,若用“加减法”对它们重新组合,则容易得出以下两个推论: a2+b2=1/2(a+b)2十1/2(a-b)2 ①ab=1/4(a十b)2-1/4(a-b)2 ②如能灵活运用上述推论,则可较简捷地解决一类竞赛题.     

一道源于教材、高于教材的好试题

浙江省2003年高中证书会考试题33,是一道源于教材高于教材的好试题. 题目:已知椭圆C1:x2/12 y2/6=1,圆C2:x2 y2=4,过椭圆C1上的点P作圆C2的两条切线,切点为A、B.     

也谈椭圆内接矩形的一个性质

在高二《解析几何》课本总复习题中有这样一道习题:“已知椭圆x~2/(16)+y~2/9=1,求椭圆内接正方形的面积.”(P 192) 对于这一道题,通常解法如下: 设椭圆内接正方形一个顶点坐标为(x_1,y_1),则另外三个顶点坐标为(-x_1,y_1)(-x_1,-y_1),(x_1,-y_1),再由正方形的特征可得|x_1|=|y_1|,代入椭圆方程立得:x_1~2/(16)+x_1~2/9=1,即得:x_1~2=(144)/(25) S正方形=4x_1~2=(576)/(25)     

一类恒成立转化问题的纠错与反思

<正>一、问题的提出江苏省某高三期末数学试卷上有这样一道解析几何题,题目以及答案如下:试题1如图1,已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,且椭圆C过点P(4/3,b/3),以AP为直径的圆恰好过右焦点F2,(1)求椭圆C的方程;(2)若动直线m与椭圆C有且只有一个公共点,试问:在x轴上     

一道高考压轴题的源与流

<正>题目(2016年四川高考题)已知椭圆E:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P(3~(1/2),12)在椭圆上.(1)求椭圆E的方程.(2)设不过原点O且斜率为1/2的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,求证:MA·MB=MC·MD.这是一道文科数学高考题,第(2)问表述非常平和朴实,亲切自然,以学生熟悉的直线和椭圆相交为载体,考查椭圆中相关问题的证明.着重考查学生对解析几何本质的理解,     

由一道习题引发的研究性学习

问题引入上课时我给学生出了这样一道题: 已知椭圆x2/9 y2/4=1和点D(0,3),点M、N在椭圆上,且DM=λDN,求λ的取值范围.