探索整数解

方程 (组 )和不等式 (组 )的整数解问题 ,内涵丰富 ,综合性强 ,其中不乏体现了对数学知识的贯穿、数学思想的渗透、数学方法的运用 ,对灵活运用数学知识解决数学问题的技能培养和训练更是颇有益处的 .本文就常见的整数解问题 ,例谈相应的思考策略 .1　一次方程的整数解例 1　方程 17ｘ -2 4ｙ =6的正数解中最小的一个 ｙ是 .思考策略　不定方程ａｘ+ｂｙ=ｃ(ａ、ｂ、ｃ都是整数 ,且ａ、ｂ都不是 0 )有整数的条件是 (ａ ,ｂ) ｜ｃ .此方程显然有正整数解 ,可以将其变形为ｙ=17ｘ-62 4,解得ｙｍｉｎ =4.2　一次方程组的整数解例 2　求 5ｘ+ 3…     

用矩阵法求不定方程的特解

众所周知,如果二元一次不定方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ,其中（ａ,ｂ）＝１的一个特解为ｘ＝ｘ０ｙ＝ｙ０｛,那么它的通解公式为ｘ＝ｘ０＋ｂｔｙ＝ｙ０－ａｔ｛（ｔ为整数）因此求不定方程的特解十分重要．简单的二元一次不定方程的特解,用观察法可以求得,一般二元一次不定...     

二元二次多项式的因式分解

本文给出了二元二次多项式ｆ（ｘ,ｙ）＝ａｘ２＋ｃｘｙ＋ｂｙ２＋ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ（１）在整数及实数范围内可分解因式的充要条件,使用所给出的方法,使得二元二次多项式的因式分解规范化,并且简单易行．一、在整数范围内分解定理１　设（１）是整系数多项式,则它可分解为因式（ａ１ｘ＋ｂ１ｙ＋ｃ１）（ａ２ｘ＋ｂ２ｙ＋ｃ２）的充要条件是（Ⅰ）ａｘ２＋ｄｘ＋ｆ＝（ａ１ｘ＋ｃ１）（ａ２ｘ＋ｃ２）,ｂｙ２＋ｅｙ＋ｆ＝（ｂ１ｙ＋ｃ１）（ｂ２ｙ＋ｃ２）,ａｘ２＋ｃｘｙ＋ｂｙ２＝（ａ１ｘ＋ｂ１ｙ）（ａ２ｘ＋ｂ２ｙ）．只要比较ａ…     

Legendre方程的最小解

许多文献都讨论过Ｌｅｇｅｎｄｒｅ方程 :ａｘ2 +ｂｙ2 -ｃｚ2 =0 (ａ ,ｂ和ｃ是正整数 )…… (1 )最小解的存在性。如果ａ ,ｂ和ｃ是无平方因子且互素的正整数 ,则称 (1 )为标准形式。Ｌｅｇｅｎｄｒｅ定理说明 ,如果 (1 )是标准形式 ,则它有非零整数解的当且仅当ｂｃ ,ａｃ和 -ｂａ分别是模ａ ,ｂ和ｃ的二次余数式。讨论 (1 )的最小解通常有两种形式 ,一是带权的极大形式 ,定义为 :‖ (ｘ ,ｙ ,ｚ)‖1=ｍａｘ{｜ｘ｜ｂｃ,｜ｙ｜ａｃ,｜ｚ｜ａｂ}二是带权的欧几里德形式 ,定义为 :‖ (ｘ ,ｙ ,ｚ)‖2 =(ａｘ2 +ｂｙ2 +ｃｚ2 ) 1/2有趣的是 …     

指(对)数的两个性质及应用

关于指数与对数有如下两个性质 :性质一　若ａｘ=ｂｙ=ｃｚ=ｄｔ,且ａｂｃ=ｄ ,则1ｘ 1ｙ 1ｚ =1ｔ(其中ａ、ｂ、ｃ、ｄ为不等于 1的正数 ,且ｘｙｚｔ≠ 0 )。性质二　设ａ、ｂ、ｃ、ｄ为不等于 1的正数 ,若ａｘ=ｂｙ=ｃｚ=ｄｔ,且 1ｘ 1ｙ 1ｚ =1ｔ ,则ａｂｃ=ｄ。性质一的证明从略 ,下面给出性质二的证明。证明　令ａｘ=ｂｙ=ｃｚ=ｄｔ=ｋ ,由题设知ｘ、ｙ、ｚ、ｔ≠ 0 ,且ａ、ｂ、ｃ、ｄ皆不等于 1 ,故ｋ≠ 1 ,且ｋ >0 ,于是ａ =ｋ1ｘ,ｂ=ｋ1ｙ,ｃ=ｋ1ｚ,ｄ =ｋ1ｔ,∴ｋ1ｘ·ｋ1ｙ·ｋ1ｚ=ｋ(1ｘ 1ｙ 1ｚ) =ｋ1ｔ,∴ａｂｃ =ｄ。…     

例说向量的广泛应用

高考命题中对知识综合性的考查 ,往往在知识网络交汇点上设计试题 ,而向量则是三角函数、解析几何等多学科知识的交汇点 ,因此也是新高考的命题热点 .例 1　已知 (ｘ-1) 2 + (ｙ-2 ) 2 =2 5 ,求3ｘ+ 4ｙ的最值 .解　设ａ =(3 ,4) ,ｂ =(ｘ-1,ｙ -2 ) ,ａ与ｂ的夹角为θ,则3ｘ + 4ｙ =ａ·ｂ + 11=｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ+ 11=2 5ｃｏｓθ + 11.∴ 3ｘ+ 4ｙ的最大值为 3 6,最小值为-14 .例 2　已知ｘ2 + ｙ2 =4,ａ2 +ｂ2 =6,求ａｘ +ｂｙ的最值 .解　设ａ=(ｘ ,ｙ) ,ｂ=(ａ ,ｂ) ,ａ与ｂ的夹角为θ ,则ａｘ +ｂｙ =ａ·ｂ=｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ…     

初一代数期末测试题

一、填空题 (15分 )1 用科学记数法表示 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 2 9=.2 不等式组12 ｘ≥ 1ｘ - 3≤ 0的解集是 .3 (ｘ -ａ) (ｘ ａ) (ｘ4 ａ4 ) (ｘ2 ａ2 ) =.4 当ｘ时 ,代数式13(ｘ - 1)5的值不是正数 .5 方程组 ａｘ ｂｙ =13ａｘ - 4ｂｙ =18和 4ｘ - ｙ =53ｘ ｙ =9有相同的解 ,那么ａ ｂ的值为 .6 若 |ｘ 1| (ｙ - 2 ) 2 =0 ,则ｘｙ =.7 若有理数ａ满足 ａ|ａ|=- 1,则ａ是 .8 若 11- |1-ｘ|有意义 ,则ｘ取 .9 12 5ａ3ｂ3÷ 5ａｂ =.10 [(-ｘ) 3]4 =.11 若ａ <0 <ｂ ,且 |ａ|>ｂ ,则化简 |ａ ｂ|- |ａ -ｂ|- |ｂ -ａ|=.12…     

对称性问题综述

近几年的高考、会考试题都考查到对称性问题 .对称性问题从曲线角度分为曲线自身的对称与两曲线之间的对称 ;从点的角度分为点关于点的对称与点关于直线的对称(曲线关于直线、点对称可转化为点关于直线的对称、点关于点的对称 ) .一、几个结论(1 )点Ａ(ｘ0 ,ｙ0 )关于Ｐ(ａ ,ｂ)对称点Ａ′的坐标为 (2ａ-ｘ0 ,2ｂ-ｙ0 ) .(2 )点Ａ(ｘ0 ,ｙ0 )关于直线ｌ:ａｘ+ｂｙ+ｃ=0 (其中｜ａ｜ =1 ,｜ｂ｜ =1 )对称点Ａ′(ｘ0 ′,ｙ0 ′)的坐标满足ｘ0 ′=-ｂｙ0 -ｃａ ,ｙ0 ′=-ａｘ0 -ｃｂ .(3 )函数 ｙ =ｆ(ａ+ｍｘ)与函数 ｙ=ｆ(ｂ-ｍｘ) (ａ、ｂ、…     

一个易被忽视的错误

在众多的高三复习资料中流行着这样一个问题 :“已知ａ2 ｂ2 ｃ2 =1 ,ｘ2 ｙ2 ｚ2 =9,ａｘ ｂｙ ｃｚ≤ｔ,求ｔ的最小值 .”批阅学生作业时发现绝大多数学生产生下面的误解 .求ｔ的最小值即求ｕ =ａｘ ｂｙ ｃｚ的最大值 .因为ａｘ≤ ａ2 ｘ22 ,ｂｙ≤ ｂ2 ｙ22 ,ｃｚ≤ｃ2 ｚ22 .所以ａｘ ｂｙ ｃｚ≤ 12 (ａ2 ｘ2 ｂ2 ｙ2 ｃ2 ｚ2 ) =5 .故ｕ =ａｘ ｂｙ ｃｚ的最大值是 5 ,即ｔ的最小值是 5 .错误剖析 :应用基本不等式得到ｕ =ａｘ ｂｙ ｃｚ≤ 5是正确的 ,这只能说ｕ最大值小于或等于 5 ,并不能得出ｕ的最大值是 5 …     

有关二次函数值域的一个结论及应用

定理　二次函数 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ的值域是[0 , ∞ )的充要条件是ａ>0且ｂ2 - 4ａｃ=0 .证明　因为 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ =ａ(ｘ ｂ2ａ) 2 4ａｃ-ｂ24ａ ,ｘ∈Ｒ ,所以二次函数ｙ=ａｘ2 ｂｘ ｃ的值域是 [0 , ∞ ) ｙ的最小值是 0 ,无最大值 ａ>0且ｂ2 - 4ａｃ=0 .下面举例说明定理的应用 .例 1　已知 ｆ(ｘ) =2ｘ2 ｂｘ ｃｘ2 1(ｂ <0 )的值域为[1,3] ,求实数ｂ,ｃ的值 .解　ｆ(ｘ)的定义域为Ｒ .由 1≤2ｘ2 ｂｘ ｃｘ2 1≤ 3,得ｘ2 ｂｘ ｃ- 1≥0且ｘ2 -ｂｘ 3-ｃ≥ 0 .所以 ｆ(ｘ)的值域为 [1,3] ｙ1=ｘ2 ｂｘ ｃ- 1和 …     

几个涉及指数函数的不等式

有一道数学竞赛题 ,是证明2 31998 12 31999 1 >2 31999 12 32 0 0 0 1 ,证法很多 ,用行列式颇简单 ,且可推广 .推广 1　设ａ ,ｂ >ｏ ,ａ≠ 1 ,ａ≠ｂ ,则对任何ｘ ,ｙ∈Ｒ有Δ1=ａｘ ｂｙ ａｘ 1 ｂｙ 1ａｘ 1 ｂｙ 1ａｘ 2 ｂｙ 2 >0 .分成四个行列式之和 ,其     

两个三项高次方程的公根问题

定理　两个ｎ(ｎ≥ 2 )次方程ａｉｘｎ ｂｉｘ ｃｉ=0○i(ｉ=1 ,2 )有公共根的充要条件是(ａ2 ｃ1-ａ1ｃ2 ) ｎ =(ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1) ｎ - 1(ｂ1ｃ2 -ｂ2 ｃ1) .③证明 :设①、②有公根ｘ0 ,记 ｙ =ｘ0 ｎ,ｚ =ｘ0 ,则关于 ｙ、ｚ的方程组ａ1ｙ ｂ1ｚ ｃ1=0 ,ａ2 ｙ ｂ2 ｚ ｃ2 =0 ④有解 ( ｙ ,ｚ) .当ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1≠ 0时 ,④的解是ｙ =ｂ1ｃ2 -ｂ2 ｃ1ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1,ｚ =ａ2 ｃ1-ａ1ｃ2ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1.⑤因 ｙ=ｘ0 ｎ=ｚｎ,由⑤可验证③成立 .当ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1=0时 ,因④有解 ,只有ａ2 ｃ1-ａ1ｃ2 =ｂ1ｃ2 -ｂ2 ｃ1=0 ,即③成…     

应用二次函数解最值问题

知识链接　　二次函数ｙ=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )的顶点坐标是- ｂ2ａ,4ａｃ-ｂ24ａ .所以 ,当ａ <0 ,ｘ =- ｂ2ａ时 ,二次函数有最大值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ ;当ａ >0 ,ｘ =- ｂ2ａ时 ,二次函数有最小值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ .例 1　用长 8ｍ的铝合金条制成如图 1形状的矩形窗框 ,使窗户的透光面积最大 ,那么这个最大透光面积是 (　　 ) .(Ａ) 6 42 5 ｍ2 　 (Ｂ) 43ｍ2 　 (Ｃ) 83ｍ2 　 (Ｄ) 4ｍ2(2 0 0 1年浙江省金华市中考题 )　解　设窗户的宽为ｘｍ ,高为ｙｍ ,则 3ｘ+2ｙ=8.∴　ｙ =4- 32 ｘ .设透光面积为Ｓｍ2 ,则Ｓ =ｘｙ=ｘ 4- 32 ｘ …     

妙解二元二次不定方程

对于二元二次不定方程 ,若能整理成某个字母的一元二次方程 ,应用根的判别式求解 ,有时显得十分简捷 ,下面列举几例 ,供参考 .例 1　求不定方程ｘ ｙ=ｘ2 -ｘｙ ｙ2 的整数解 .解　将方程整理成关于ｘ的一元二次方程　　ｘ2 - (ｙ 1)ｘ (ｙ2 - ｙ) =0 ,判别式Δ =(ｙ 1) 2 - 4(ｙ2 - ｙ)≥ 0 ,即 (ｙ - 1) 2 ≤ 43.因 ｙ为整数 ,∴ｙ =0 ,1,2 .把 ｙ=0代入原方程中 ,得ｘ =0或ｘ =1;把 ｙ =1代入原方程中 ,得ｘ =0或ｘ =2 ;把 ｙ=2代入原方程中 ,得ｘ =1或ｘ =2 ;∴原不定方程的整数解为ｘ =0 ,ｙ=0 ;　 ｘ =1,ｙ=0 ;　 ｘ =0 ,ｙ=1;…     

学会用二次函数解决实际问题

背景知识　　二次函数ｙ=ａｘ2 +ｂｘ+ｃ(ａ≠ 0 )的顶点坐标是 -ｂ2ａ,4ａｃ-ｂ24ａ .这就是说 ,当ａ<0 ,ｘ =-ｂ2ａ时 ,二次函数有最大值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ ;当ａ>0 ,ｘ =-ｂ2ａ时 ,二次函数有最小值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ .图 1例 1　用长 8ｍ的铝合金条制作如图 1形状的矩形窗框 ,如果要使窗户的透光面积最大 ,那么这个窗户的最大透光面积是 (　　 ) .(Ａ) 6 42 5ｍ2 　　 (Ｂ) 43ｍ2(Ｃ) 83ｍ2 (Ｄ) 4ｍ2(2 0 0 1年浙江省金华市、衢州市中考题 )解　设这个矩形窗框的宽为ｘｍ ,面积为ｙｍ2 ,则窗框的长度为 8-3ｘ2 ｍ .于是 ,有ｙ =ｘ 8-3ｘ2…     

对逆二次函数的探讨

定义 :ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ…… (1)与 ｙ =ｃｘ2 +ｂｘ +ａ…… (2 )称为对逆二次函数。其中ａ≠ｃ ,ａｃ≠ 0。性质 :1、它们有共同的定义域 ,有共同的判别式△ =ｂ2 - 4ａｃ ,当ａ、ｃ同号时 ,其图象的开口方向相同 ,当ａ、ｃ异号时 ,其图象的开口方向相反。2、当ｂ =0时 ,函数 ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ与 ｙ =ｃｘ2 +ｂｘ +ａ都是偶函数。当ｂ≠ 0时 ,都是非奇非偶函数。3、ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ当ａ >0时 ,在区间 (-∞ ,- ｂ2ａ]上是减函数 ,在区间 [- ｂ2ａ,+∞ )上是增函数 ,当ａ <0时则反之。ｙ =ｃｘ2 +ｂｘ +ａ当ｃ <0时 ,在区间 (-∞ …     

二元二次多项式的因式分解

二元二次多项式的因式分解我们先讨论二元二次多项式ａｘ２＋ｂｘｙ＋ｃｙ２＋ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ可分解为两个一次因式的充要条件。解关于Ｘ的一元二次方程：ａｘ２＋（ｂｙ＋ｄ）ｘ＋ｃｙ２＋ｅｙ＋ｆ＝０＝（ｂｙ＋ｄ）’－４８（ｃｙ２＋ｅｙ＋ｆ）＝ｂ２ｙ２＋２ｂｄｙ＋...     

妙题巧解(二)

1 计算 :1+ 12 + 13+ 14 + 1512 + 13+ 14 + 15 + 16-1+ 12 + 13+ 14 + 15 + 1612 + 13+ 14 + 15 .2 若ａ >ｂ >ｃ,ｘ >ｙ >ｚ ,则下列四个代数式中 ,值最大的一个是 (　　 ) .(Ａ)ａｘ +ｂｙ +ｃｚ(Ｂ)ａｘ +ｃｙ +ｂｚ(Ｃ)ｂｘ +ａｙ +ｃｚ(Ｄ)ｂｘ +ｃｙ +ａｚ3 若ｘ - 1-ｘ - 6=5 ,则ｘ的取值范围是 .4 已知三个连续自然数的倒数和是10 72 10 ,求这三个自然数 .5 已知ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｘ、ｙ、ｚ、ｔ都是正实数 ,且ａ +ｘ =ｂ +ｙ =ｃ+ｚ =ｄ +ｔ=4 .求证 :ａｔ+ｂｘ +ｃｙ +ｄｚ<32 .参考解答1 设ａ =1+ 12 + 13+ 14 + 15 ,ｂ =12 +…     

巧用递推法求值

所谓“递推法” ,就是根据题目特点 ,构造递推关系式解题的一种方法 ,运用这种方法解题 ,往往能化繁为简 ,变难为易 ,得到简捷合理的解题途经 .1　利用已知的递推关系式求值例 1　设ａ、ｂ、ｃ为非零常数 ,ｘ2 =ａｘ1 ｂ ,ｘ3=ａｘ2 ｂ ,… ,ｘ1 0 =ａｘ9 ｂ ,若ｘ1 0 =0 ,则ｘ1 =.(第三届“缙云杯”竞赛题 )解　∵　ｘ3 =ａ(ａｘ1 ｂ) ｂ =ａ2 ｘ1 ａｂ ｂ ,ｘ4=ａ(ａ2 ｘ1 ａｂ ｂ) ｂ =ａ3 ｘ1 ａ2 ｂ ａｂ ｂ ,… ,ｘ1 0 =ａ9ｘ1 ａ8ｂ ａ7ｂ … ａｂ ｂ =0 ,∴　ｘ1 =- ｂａ9( 1 ａ ａ2 … ａ8) .2　利用幂指数构造…     

二次函数解析式求法专题讨论会

初三 ( 4)班的数学课外活动小组为了深入探讨二次函数解析式的简捷求法 ,召开了一次专题讨论会 .组长张翔 :二次函数解析式的求法灵活性较大 .如何根据题目的已知条件 ,选择最简捷的方法求解 ,请同学们各抒己见 .例 1　已知抛物线ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ的顶点为 ( 2 ,0 )且过点 ( 1 ,2 ) ,求抛物线的解析式 .( 1 998年江苏省连云港市中考题 )王岚同学首先给出解答 :解　∵　抛物线的顶点为 ( 2 ,0 )且过点( 1 ,2 ) ,∴　-ｂ2ａ=2 ,4ａｃ-ｂ24ａ =0 ,ａ ｂ ｃ =2 .　解之 ,得ａ =2 ,ｂ=-8,ｃ=8.故所求解析式为ｙ=2ｘ2 -8ｘ 8.接着李萍同学胸…