2013年高考数学湖北理科卷第13题的多种解法

题目（2013年高考湖北卷·理13）设x,Y,z∈R,且满足:x²+y²+z²=1,x+2y+3z=√14,则x+y+z=——.解法1（柯西不等式）因为x²+y²+z²=1,x+2y+3z=14^1/2,所以利用柯西不等式得（1²+2²十3²）·（X²+y²+z²）≥（x+2y+3z）²,即14≥14,说明不等式等号条件成立,故1/x=2/y=3/z.令1/x:2/y:3/z:1/k,则x=k,Y=2k,z=3k,将其代入x+2y+3z=14^1/2,得k=14^{1/2),即x+y+z=6k=14^1/3.     

探究运用三角函数对称性、奇偶性解题

一、三角函数对称问题三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象具有对称性.根据图象,由ωx+φ=κπ+π/2,得对称轴方程是x=1/ω（κπ+π/2-φ）;再由ωx+φ=κπ,得对称中心是（（κπ-φ）/ω,0）（以上k∈Z）.下在同通过一道高考题,给出求解三角函数图象对称问题的几种处理策略.例1函数f（x）=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-π/8对称,求实数a的值.分析一般地,可考虑利用公式asinx+bcosx=（a²+b²）^1/2sin（x+φ）,将f（x）化为只含一个三角式的形式,f（x）=（a²+1）^1/2(sin2x·1/（a²+1）^1/2+cos2x·a/（a²+1）^1/2)=（a²+1）^1/2sin（2x+φ）,其中sinφ=a/（a²+1）^1/2,cosφ=     

“不等”中挖掘“等”的辩证解题模式

在不等式的证明中经常要用到恒等式的变形,然而在一些等式（方程）问题中,若变换思维视角,转换解题模式,借助重要不等式,探求其等号成立时的条件,实现等式化处理,能收到奇特的解题效果.下文将通过几个典型例题来说明不等式思想解决有关等式问题这一辩证解题模式之应用.例1（2013年高考理科13题）设x,y,z∈R,且满足x²+y²+z²=1,x+2y+3z=（14）^1/2,则x+y+z=_<sub><sub><sub>.证明:利用柯西不等式,得（x²+y²+z²）（1²+2²+3²）≥（x+2y+3z）²,因为x²+y²+z²=1,所以（x+2y+3z）²≤14,即得x+2y     

用“1”巧证不等式

1.利用"1=1ⁿ"例1设x,y,z∈R⁺,且x+y+z=1,求证:x²+y²+z²+2（3xyz）^1/2≤1.分析注意到原不等式左、右边式子中指数的差异及条件x+y+z=1,故把不等式右边的"1"构造为1=1²=（x+y+z）².证明原不等式可转化为     

一个无理不等式猜想的证明

陕西安振平老师在文[1][2]两次提出了如下一个颇有难度的无理不等式猜想,即已知a,b,c为正实数,则（a2/（a2+26bc））^1/3+（b2/（b2+26ac））^1/3+（c2/（c2+26ab））^1/3≥1.（1）笔者经过一年多研究发现这个猜想不等式是成立的,现给出证明.证明:设x=（bc）/（a²）,y=（ac）/（b²）,z=（ab）/（c²）,则不等式（1）等价于下面命题,即x,y,z为正实数且xyz=1.则     

多视角解答一道高考最值题

高考原题（2011年高考浙江理科卷第16题）设x,y为实数,若4x²+y²+xy=1,则2x+y的最大值是_<sub><sub><sub><sub><sub>,难度系数0.78利用重要不等式求最大值解法1∵1=4x²+y²+xy≥2·2xy+xy=5xy,∴xy≤1/5.令t=2x+y,则t²=（2x+y）²=4x²+y²+4xy=1-xy+4xy=1+3xy≤1+3/5=5/8,所以2x+y的最大值是2(10^1/10).     

“解答题”检测题

1.设函数f（x）=cos x/4（sin x/4+cos x/4）-1/2。（1）求函数y=f（x）取最值时x的取值集合;（2）在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且满足（2a-c）cosB=bcosC,求函数f（A）的取值范围。2.已知函数f（x）=ax+b（1+x²）^1/2（x≥0）的图像经过（0,1）,且f(3^1/2)=2-3^1/2。（1）求f（x）的值域;     

多角度解一道高校自主招生题

2008年同济大学自主招生有这样一道试题:在实数范围内求满足方程组（?）的实数x,y,z的值,对于学习过竞赛的同学来讲,利用柯西不等式解答会比较得心应手,其解答如下:由Cauchy不等式,39=-8x+6y-24z≤（-8）²+6²+（-24）²(1/（-8）²+6²+（-24）²·x²+y²+z²⁽1/x²+y²+z²=676^1/676     

二次函数表达式的第三种形式——对称点式

二次函数的定义给出了二次函数的表达式——一般式:y=ax²+bx+c（a≠0）,用配方法可以将一般式化成另一种形式——顶点式:y=a（x一h）²十k（a≠0）,我们正是用顶点式详细地研究了二次函数的图象和性质.如果二次函数y=ax²+bx+c的图象经过（x₁,m）     

莫要忽视公式成立的条件

<正>商的算术平方根化成算式平方根的商是有条件限制的,即公式(a/b)^(1/2)=a(1/2)=a^(1/2)/b(1/2)/b^(1/2)仅当a≥0,b>0时才能成立.往往有同学忽视公式成立的条件,请看下面两道题:例1已知x+y=3,xy=2.求(x/y)(1/2)仅当a≥0,b>0时才能成立.往往有同学忽视公式成立的条件,请看下面两道题:例1已知x+y=3,xy=2.求(x/y)^(1/2)+(y/x)(1/2)+(y/x)^(1/2)的值.例2已知x+y=-3,xy=2.求(x/y)(1/2)的值.例2已知x+y=-3,xy=2.求(x/y)^(1/2)+(y/x)(1/2)+(y/x)^(1/2)的值.这两题的结构相同,区別仅在于已知条件中两数和的符号相反,但是在解法上却是不一样的.     

“三角函数与平面向量”检测题

一、选择题1.（2011年辽宁卷·文12）已知函数f（x）=Atan（ωχ+ψ）（ω>0,|ψ|<π/2）,y=f（x）的部分图像如图1,则f（π/24）=（）A.2+3^1/2 B.3^1/2C.3^1/2/3 D.2-3^1/2     

08年高考数学模拟试题(5)

一、选择题1.若α,β∈（0,π/2）,cos（α-β/2）=3^1/2/2,sin（α/2-β）=-1/2,则cos（α+β）的值等于（） A)-3^1/2/2.（B）-1/2.（C）1/2.（D）3^1/2/2.2.如果复数（m²+i）（1+mi）是实数,则实数m=（） （A）1.（B）-1.（C）2^1/2.（D）-2^1/2.3.已知向量OA^→:（1,-3）,OB= （2,-1）,OC=（m+1,m-2）.若点A、B、C能构成三角形,这实数m应满足的条件是（） （A）m≠-2.（B）m≠1/2.（C）m≠1.（D）m≠-1.4.设有三个函数,记第一个为y=f（x）,它的反函数就是第二个函数,而第三个函数的图象与第二个函数关于直线y=-x对称,则第三个函数是（）     

代数推理搭台 算理算法谱曲 数学思想唱戏

<正>1试题呈现(连云港中考第16题)若W=5x²-4xy+y²-2y+8x+3(x,y为实数),则W的最小值为______。2解法探究思路1整体思想+配方法把2x—y看作一个整体,利用完全平方式进行配方。解法1:W=4x²-4xy+y²+4x^-2y+1+x²+4x+2=(2x^-y)2+2(2x-y)+1+(x+2)²-2=[(2x-y)+1]²+(x+2)²-2,显然当(x+2)²=0且[(2x^-y)+1]²=0,即x=-2,y=-3时,W_min=—2。思路2主元思想+配方法     

用放缩法简证一道竞赛题

题目已知a,b,c≥0,且a+b+c=1,求证（a+1/4（b-c）²）^1/2+b^1/2+c^1/2≤3^1/2.（07年女子数学奥林匹克）分析所证不等式中（a+1/4（b-c）²）^1/2的出现,给解题增加了难度.如果由此入手,寻找问题突破口,就会发现"（a+1/4（b-c）²）^1/2"可以放大为"(a+1/2(b^1/2-c^1/2)²)^1/2",从而用放缩法求     

解三角形的常用策略

解三角形问题是高考的热点。现通过一道典型题目来分析解三角形的常用策略。题目:在△ABC中,已知AB=46^1/2/3,cos B=6^1/2/6,AC边上的中线BD=5^1/2,求sin A的值。策略1:考虑到D为AC的中点,取BC的中点E,把分散的条件集中转移到三角形BDE中,从而解决问题。解法1:如图1,设E是BC的中点,连接DE,则DE//AB,且DE=1/2AB=26^1/2/3。设BE=x。在△BDE中,由余弦定理,得BD²=BE²+ED²-2BE·ED·cos∠BED,即5=x²+8/3+2×26^1/2/3×6^1/2/6x,解得x=-7/3（舍去）或x=1,故BC=2。     

二次根式问题八则

例1已知x、y为实数,且y= (（x²-1）^1/2+（1-x²）^1/2)/（x+1）,求xy的值.分析应用二次根式的定义,就可解决.解由已知,得x²-1≥0,且1-x²≥0,显然x²=1,x=±1.又由x+1≠0,知应舍去x=-1,故只取x=1,代入到     

截距式直线方程的两个性质

性质1设点P（m,n）是第一象限内的定点,直线l:x/a+y/b=1过点P（m,n）,且截距a,b均大于零,则（1）当b/a=（n/m）^1/2时,a+b有最小值m+n+ 2（mn）^1/2;（2）当b/a=n/m时,ab有最小值4mn.     

关于几个最值问题的研究

1相关问题问题1[1]已知a,b均为正数,且1/a+2/b=1/4,求a+b+（a2+b2）^1/2的最小值.问题2[2]过点P(3^1/2/2,1/2)任作一条直线分别交x轴、y轴的正半轴于点M,N.（1）略;（2）求|OM|+|ON|-|MN|的最大值.     

一类基本不等式题型的最值

本文通过具体例题总结了基本不等式求一类题型（x+y）（a/x+b/y）（x,y,a,b都是正数）的最值.苏教版必修五给出了基本不等式的形式:ab^1/2≤（a+b）/2（a≥0,b≥0）,当且仅当a=b时取等号,其变形形式有a+b≥2ab^1/2基本不等式的一个运用就是求最值:①当a≥0,b≥0时,若和a+b为定值P,则积ab有最大值ab≤p²/4,当且仅当a=b时取等号;②当a≥0,b≥0时,若积ab为定值S,则和a+b有最小值a+b≥2S^1/2,当且仅当a=b时取等号.我们来看下面3个问题:问题1:已知x,y为正数,求（x+y）（1/x+4/y）的最小值.问题2:已知z,y为正数且满足1/x+1/y=2,求x+2y的最小值.     

2010年莫斯科大学数学力学系入学考试试题解答

第1卷1解方程组2解不等式（1-x）/x>（（3x-2）/（3x+4））^1/2.3求函数f（x）=4/（3cos²x+2sin x-1）的最小正函数值.4如果已知在ΔABC中,∠ABC=π/（12）,BC=5,2AC>AB,中线CD与三角形的边AC所成的角为（5π）/12,求这个三角形的面积.