双变量问题中的函数构造法

<正>函数与不等式中的双变量问题历来是高考考查的一个热点,也是学生学习中的一个难点.本文利用转化与化归的思想,将双元变量转化为单元变量,并构造新的函数加以求解, 期望本文的几种构造法对你有所帮助.一、以形定构法对题设等式或不等式同解变形,转化为左右两边相同结构的式子,由"形"入手构造函数,可使问题获解.即如果是f(x1,x2)≥A(A为常数,下同)型的不等式,可化为g(x1)≥g(x2)的形式,则构造新函数y=g(x)求解.例1     

构造可导函数在解不等式中的巧妙应用

<正>构造函数法是一种常用的解题方法,比如函数与方程、不等式问题,小题中构造可导函数解不等式是常见题型,如果巧妙地构造函数,进而研究函数的性质,问题就会迎刃而解,下面就几种题型和大家一起交流一下。一、构造f(x)±g(x)型例1定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)满足f'(x)>1,且f(2)=3,则关于x的不等式f(x)相似文献   

例说构造函数解不等式

例1.解不等式、/不丙一勺万二兹>3〔l一x)解:构造函数f(x)一、/产妥不革一了不瓜+3x在〔一4,冬〕上是增函数. 乙又丫f(1)一3:.原不等式变形为f(x)>3一f(1).’.x>1~一一~,、,,一、.__一7则原不等式的解为1o 解:构造函数f(x)一x(1+、/万石),x任R. f(x)在〔0,+oo)上是增函数. 又f(一x)一一x(z+v仗不几)一一f(x) :’f(x)为奇函数,从而f(x)在(一二,+二)上是增函数. 则不等式可化为f(x+l)+f(x)>o 即f(x+l)>一f(x)=f(一x…     

利用构造图形法解答不等式问题

一、构造函数图像解不等式例1如图1所示,函数y=f(x)的图像是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆的两段弧,则不等式f(x)0).解析函数y=2x a可以看作是斜率为2、截距为a的直线,函数y=!a2-x2的图像是以原点为圆心,a为半径的在x轴上方的半圆,如图2所示.当0相似文献   

如何利用导数研究函数的单调性

<正>知识点:导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法:设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f'(x)>0,则y=f(x)在该区间为增函数;如果f'(x)<0,则y=f(x)在该区间为减函数。(2)函数单调性问题包括:(1)求函数的单调区间,常常通过求导,转化为解方程或不等式,常用到分类讨论思想;(2)利用单调性证明不等式或比较大小,常用构造函数法。一、求解含参函数的单调区间     

构造函数 活用单调性

根据题设条件和题意要求 ,巧构函数 ,活用函数的单调性 ,实现问题转化 .由此 ,既可简化运算过程 ,又可明快证明结论 ;既可探索解题捷径 ,又可发现解题方法 .本文就此举例探究 .1　构造函数方程例 1　解方程 4x +2 -7-x +3 =0解 :由观察可知 ,x的取值范围为 :-2≤ x≤ 7令 F ( x) =4x +2 -7-x +3 ,因为在区间 [-2 ,7]上 ,f ( x) =4x +2单调递增 ,g( x) =7-x单调递减 .所以 F ( x) =4x +2 -7-x +3在 [-2 ,7]上单调递增 ,又 F ( -2 ) =0 ,所以由函数单调性可知 ,原方程的解为 x =-2 .2　构造函数解不等式例 2　解不等式 3 x +1>3 -x解 :构造…     

剖析错误解答 用好转化思想

贵刊 2 0 0 0年第 10期《运用数学思想方法解含参不等式》一文中 ,例 3的解答是错误的 ,现将“例 3”及“解答”与“评注”抄录如下 :例 3　若 a∈ [-1,3 ] ,解不等式 x2 -ax>3 x -2 a +1解 :原不等式变形为 ( 2 -x) a +x2 -3 x-1>0构造函数 f ( a) =( 2 -x) a +x2 -3 x -1,当 x =2时 ,不等式显然不成立 .由 a∈ [-1,3 ] ,且 f ( a) >0 ,知f ( -1) =x2 -2 x -3 >0f ( 3 ) =x2 -6x +5 >0解之得 x >5或 x <-1.评注 :本例以辩证转化思想为指导 ,把参变元 a视为主元 ,将变元 x看成常量 ,构造关于参数的一次函数 ,利用单调性求解 ,此法极其巧思 .…     

高中数学不等式的易错题型及解题方法探讨

<正>一、解绝对值相关易错题及解题方法无论何种类型的绝对值不等式,解题的核心在于将其转化为不含有绝对值的不等式来进行求解。例1解不等式|x+1|+|3-x|>2+x。分析:将原不等式变形为|x+1|+|x-3|>2+x,若|x+1|=0,x=-1;若     

浅谈数学思想在不等式中的应用

一、转化与化归思想在解题中的应用不等与相等是相对的,在一定条件下可以互相转化,解题过程就是一个由已知条件向待定结论等价转化的过程.无论哪种类型的不等式,其求解思路都是通过等价转化,把它们最终转化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)求解.例1解不等式(x~2-9x+11)/(x~2-2x+1)≥7分析:因为分母x~2-2x+1=(x-1)~2≥0,且分母不能为零,所以当x≠1时即可去分母转化为整式不等式.     

条件方程中的参数范围

确定有限制条件的方程F(x,a)=0中参数a的范围,这类题目综合性强,难度较大,下面从五个方面给出其求解策略． 1．等价变形,转化为不等式将方程F(x,a)=0作等价变形为x= f(a),利用x的限制条件得出含a的不等式,将问题转化为解不等式．     

用构造法证明(解)不等式

不等式证明(解)中的构造方法,主要是指根据不等式的结构特点,通过引进合适的函数、方程、恒等式、特殊概念、图形及变量代换等辅助手段,促使命题转化,从而使不等式得以方便证明或求解.此法技巧要求较高,重点是对不等式结构的分析,突破不等式本身,以更高姿态全面关注不等式所反映的实质和意义.下面举例谈谈用构造法证明(解)不等式的几种常见类型.1.构造函数证明不等式构造函数证明不等式,主要是引进一个函数,建立初等函数模型与不等式“外型”的对应关系,使不等式各部分为相应的函数值,利用函数的单调性证明不等式的一种方法.【例1】已知a、b…     

例谈求参变量取值范围问题

函数是中学数学中永恒的主题,并且它与方程、不等式等内容的联系非常密切.本文针对一类含参变量方程和不等式问题进行探讨,通过利用函数的有关性质,使这些问题化难为易.一、构造函数法例1对于0≤x≤1,不等式(x-(1)log3a)2-6xlog3a x 1>0恒成立,求a的取值范围.解:构造函数(f x)[     

导数在解函数不等式中的应用

<正>在高中数学中,函数、方程、不等式是一块核心内容,有时会遇到解函数不等式。解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,然后利用导数判断构造出的新函数的单调性,最后由单调性解不等式。构造函数时往往从两方面着手:(1)根据导函数的"形状"变换不等式"形状";(2)若是选择题,可根据选项的共性归纳构造恰当的函数。例1已知在实数集R上的可导函数f(x),满足y=f(x+2)是奇函数,且     

浅谈构造函数法证明不等式

正本文首先介绍如何构造函数证明两个简单的不等式,在介绍如何构造函数证明复杂的不等式,以及在构造函数时如何如何整体把握.首先介绍两个有用的不等式ex≥x+1,x∈R与lnx≤x-1,x0.这两个不等式不难从图象上看出,注意y=lnx与y=x-1分别是y=ex与y=x+1的反函数,图象关于y=x对称.用导数证明如下:构造函数f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1.     

构造函数解题例说

根据题设条件把所求解的问题转化为对一函数性质的讨论,从而使所求解的问题得到答案,称为构造函数解题。通过构造函数,利用函数的单调性解题,在解方程和证明不等式中的应用最为广泛,解题思路简捷明快。下面举例说明。 一、解方程     

巧用化归与转化思想解题

一、以函数思想来统筹函数与方程、不等式之间的关系,从而实现函数与方程、不等式之间的转化例1当实数a取何值时,关于x的方程x2+ax+2=0在(0,1]上有解?分析转化思路一是结合二次函数f(x)=x2+ax+2的图像,将原问题化归为区间根的分布问题来求解;转化思路二是把a与x分开,从而将原问题化归为求函数的值域问题来求解。     

恒成立不等式中参数范围的确定

恒成立不等式问题中字母范围的探求虽然是中学数学中的常见题型,但是学生在教材中或课堂上得不到解决问题的实质理论依据,因此在解答这类问题时,不得要领,甚至毫无头绪.本文将通过具体实例的研究,归纳解决这类问题的常见方法.分离参数即将恒成立不等式中某一变量与其他变量分离开来.例1.设不等式!x+!y≤a!x+y对一切x>0,y>0恒成立,求实数a的最小值.解:由已知,不等式a≥!x+!y!x+y对一切x>0,y>0恒成立,又因为!x+!y!x+y的最大值为!2,所以a≥!2,则a的最小值为!2.构造函数将问题转化为函数在给定区间上大于(或小于)0的恒成立问题,灵活运用函数的思…     

构造函数解不等式问题的四种策略

<正>近年来,随着导数进入新教材,有关函数不等式的问题越来越受到高考命题者的亲睐,而解决这类问题的常用方法是构造函数,然后利用导数探究所构函数的性质.解题经验告诉我们,不少函数不等式问题若直接构造函数,可能会使解题陷入困境.为此,笔者举例谈谈破解函数不等式问题的几个构造策略,以期达到简化解题过程之目的.一、先分解再构造先将所证函数不等式进行因式分解转化为h(x)=f(x)g(x)的形式,使得其中一个函     

2．不等转化为相等的有效方法（高二、高三）

对涉及含不等关系的求值问题的求解．需将不等式转化为等式，这时可利用“夹逼”的方法，即若能得到K≤f(x)≤k,则等价于f(x)=女k.现举例说明.     

构造函数解不等式

抓住所解不等式的结构特征,适当构造函数,利用函数的性质和图象解不等式,往往会优化解题过程,甚至出奇制胜,给人耳目一新的感觉。一、构造函数利用函数的性质解不等式1.利用函数的定义域解不等式