二面角的计算

一、二面角的有关概念1.二面角的定义从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.或:一个半平面以其边界为轴旋转而成为图形.如图1所示.2.二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图2所示.注:二面角的平面角θ取值范围是0°<θ≤180°.     

二面角的平面角的极值特征

二面角的平面角是立体几何中的一个重要的概念之一．本文将给出二面角的平面角的极值特征，以加深对这一概念的理解．设P─MN─Q为给定的一个二面角，其平面角为a，在平面P上作AB⊥MN于B，射线BC在平面Q上，∠ABC＝0．下面的命题刻划了二面角的平面角的极值特征：命题1）当a＜90°时。恒有0＞a，当且仅当∠ABC为二面角的平面角时等号成立；2）当a＞90°时，恒有0＜a，当且仅当∠ABC为二面角的平面角时等号成立；3)当a=90°时，0＝α＝90°恒成立．证作AD⊥平面Q，垂足为D联BD，则由三垂线定理知BD⊥MN．又已知α＜90°，故∠A…     

求二面角的平面角方法列举

众所周知,求二面角的大小,关键是求二面角的平面角的大小.二面角的平面角,是以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内各作一条垂直于棱的射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.     

四面体二面角平分面的性质

类似于三角形内角平分线的性质,四面体（也称三棱锥）二面角平分面也有如下性质: 性质1 四面体二面角平分面上任意一点到形成这个二面角的两个面的距离相等。 证明 如图、设平面ADS是四面体ABCS中二面角B—AS—C的平分面,P为平分面上任意一点。 过P作平面EFG⊥AS,分别交AS、BS、CS于E、F、G,则∠FEG为二面角B—AS—C的平面角,PE为面ADS和面EFG的交线,由二面角平分面定     

怎样求无棱二面角的大小

求二面角大小的基本方法是按定义,作出二面角的平面角,求平面角的大小即可．但如果题目中没有给出二面角的两个半平面的交线,那么就难以作出二面角的平面角了．本文通过一题,给出无棱二面角的几种求解方法,供复习参考．     

解决二面角问题要抓住关键

通过教学实践,我认为解决二面角问题的关键在于“抓住交线,作好垂线”。一、“作好垂线”是创造条件进行角的计算的关键之一。计算二面角的大小,一般都要先作出二面角的平面角,在两个半平面内,分别作它们的交     

二面角问题解析

从一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,以二面角棱上任意一点为端点在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,它们的夹角叫做二面角的平面角。二面角的大小常用它的平面角来度量,所以平面角的形成和计算是解决二面角问题的关键。尤其在已知二面角的大小,求解或证明其他问题和由题设条件在二面角大小的问题中更显重要。下面主要研究形成二面角平面角的常用方法,有关计算多用到平面几何知识,文中简述或提示一下。1.由二面角平面角的定义形成平面角;自棱上一点分别在两个面内引棱的垂线,这一点或垂线常出现在图形的特殊位置,只需证明即…     

也谈cosθ=cosθ_1cosθ_2的引伸及其应用

贵刊文[1]提炼出下述结论:“在两个互相垂直的平面的交线上任取一点,过这点在两个平面内各作一条射线,设这两条射线在过这点的交线的垂面的同侧且与交线所成角分别为J1,"2,这两条射线所成角为",则有cosO=cosO_1cosO_2”,并对此条件等式的记忆、使用及从余弦形式到正弦形式的引伸作了深入浅出的教学探讨,受其启发,笔者在教学中对此条件等式作了进一步引伸,和学生一道     

寻找二面角的平面角的方法

二面角是高中立体几何中的一个重要内容,也是一个难点.学生常感到无从下手是因为没有掌握寻找二面角的平面角的方法.寻找二面角的平面角的实质其实就是找一个平面与交线垂直.     

线面垂直垂足位置确定的几种途径

直线与平面垂直是整个立体几何问题的枢纽,它不仅是线线关系和面面关系的中间环节,而且在有关距离和角度的计算中有着广泛的应用．空间距离都可转化为点线距离和点面距离,在计算前关键是确定垂足;求线面角时,常采用“射影转化法”,求作二面角的平面角时,常运用“三垂线定理法”,而这些与垂足的位置的确定     

二面角的平面角的确定与求法

以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内各作一条垂直于棱的射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的平面角是用来度量二面角的,二面角的平面角是一个平面角,角     

二面角教学中值得探讨的一个问题

教材对二面角的平面角是这样定义的:“以二面角的棱上任意一点为端点,在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成角叫做二面角的平面角。”对于这个定义,众多的人认为是:当二面角α—l—β给定之后,定义规定的平面角大小是唯一确定的.与顶点在棱上的取法无关。如图所示。笔者认为:这     

例谈二面角求法种种

二面角是空间角的一种,是立体几何的重要内容之一.下面从三方面对二面角的求法进行探讨,供大家参考. 1.有棱二面角的平面角的作(找)法 所谓有棱二面角就是从题中可以看出两个半平面的交线,这类问题常根据定义、三垂线定理或面面垂直的性质定理,作出二面角的平面角,然后解三角形进行计算.     

数列求和的几种常用方法

二面角大小是通过二面角的平面角的大小来反映的,在求解二面角的平面角的大小时,要充分运用线与线、线与面、面与面之间的关系,因而它具有综合性强、灵活性大的特点,那么怎样求二面角的平面角呢?笔者给大家介绍5种常见方法.1定义法定义法———即在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,然后在2个半平面内分别作棱的垂线OA、OB,则射线OA、OB所成的角即为所求二面角α-l-β的平面角.例1已知三棱锥P-ABC中,∠APB=∠BPC=∠CPA=60°,求二面角A-PB-C的余弦值.图1解如图1,在二面角的棱PB上任取一点Q,在半平面PBA和PBC内分别作QM⊥PB,QN…     

立体几何中的一个实用性结论

贵刊1997年第11期第22页《两个平面垂直的一个充要条件及其应用》一文中给出的定理有广泛的应用,但具有特殊性．事实上如果对二面角大小不加以限制,可以有下面更一般的结论：定理由大小为γ的二面角α－MN-β的棱上一点P分别在两个面内引射线PR、PS,设,则证明;Ⅰ,当θ1、θ2均为锐角时,在PR上取一点A,作ACMN,垂足为C,过C点在平面β内作CBMN,交PS于B（图1）．所以是二面角α－MN-β的平面角,即．1．当θ1、θ2都为直角时,结论显然成立．当θ1、θ2中有一个为直角时,不妨设θ1为直角．①以下证当0。、y均为锐角时,结…     

怎样作出二面角的平面角

1．定义法 在棱上取一个恰当的点,过这点在两个半平面内分别引棱的垂线,这两条射线所成的角为二面角的平面角．平面角的大小就是二面角的大小．     

求二面角的五把钥匙

下面就如何求二面角的大小,送同学们五把钥匙.第一把钥匙,是“作一条,连一条”图1所谓“作一条,连一条”,如图1,由一个半平面内异于棱上的一点A作(或已作出)另一个半平面的垂线,垂足为B,过B向二面角的棱作一条垂线,垂足为C,连结AC,则由三垂线定理可知,∠ACB为二面角的平面角,再通过解三角形求出∠ACB的大小.【例1】如图2,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2,EB=1,求二面角C—DE—C1的正切值.解:∵C1C⊥面ABCD,过C作CG⊥DE于G,连结C1G,则由三垂线定理知,C1G⊥DE,∴∠C1GC为二面角C—DE—C1的平面角,在△C…     

求解二面角的几种方法

<正>求解二面角的大小是历年高考的重点和热点,解题的关键是如何作出二面角的平面角.下面向大家介绍几种求二面角的方法,希望对大家能够有所启迪和帮助.一、定义法根据二面角的平面角的定义,在二面角的棱上选择恰当的一点,经过这点作出二面角的平面角.这里点的选择是关键,常选择中点、垂足等.例1在如图1所示的正方体中,求两个平面ABC1D1与BCD1A1相交所成二面角的大小.解由题意知,D1B是两个平面ABC1D1     

“三锤（垂）”敲掉二面角

高中立体几何中，依据“三垂线定理”找（作）出二面角的平面角，是求二面角的平面角大小的主要思路，其过程如下：一找（作）线面垂，二找（作）“点线垂”（注1），三找线线垂，可以总结为“三锤（垂）”敲掉二面角（注2）．常见二面角在空间的位置状况有以下几种情况．[第一段]     

再谈这道典型习题的应用(高二)

题三个平面两两相交,有三条交线.求证:这三条交线于一点或互相平行. 受文[1]的启发,笔者发现利用此习题结论可以求作无棱二面角的棱.其具体方法是先考察无棱二面角的两个面与第三个平面的两条交线的位置关系,如果这两条交线相交,则无棱二面角的棱必过此交点,如果这两条交线平行,则无棱二面角的棱必与这两条交线平行.