巧用韦达定理解整数根问题

题目方程 x~2+px+q=0的两根都是非零整数,且 p+a=198,则 p=____.(1992年上海市初中数学竞赛试题)解设 x~2+px+q=0的两个整数根为 x_1、x_2,且 x_1≠     

根与系数的关系的应用

设方程 ax~2+bx+c=0(a≠0)的两根为 x_1,x_2,那么 x_1+x_2=-(b/a),x_1·x_2=(c/a).这就是一元二次方程根与系数的关系.由根与系数的关系,我们知道:以两个数 x_1,x_2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x~2-(x_1+x_2)x+x_1·x_2=0.根与系数的关系使我们能够由方程来讨论根的性质;反之,则可以由根的性质来确定方程的系数.因而,根与系数的关系的应用相当广泛.我     

一元二次方程整数根问题的解法

一元二次方程整数根问题,大都含有参数,这类问题涉及的知识面广,其解法灵活多样,技巧性强,是近几年各地数学竞赛及中考的热门题型。本文归纳出这类问题的几种常用的解法,供参考。 一、利用求根公式 例1 已知a为整数,方程x~2+(2a+1)x+a~2=0有整数根x_1,x_2,x_1>x_2。试求     

试论韦达定理及其应用

1559年,法国数学家韦达提出一个关于一元n次方程根与系数关系的定理:设方程a_0x~n+a_1x~(n-1)+a_2x~(n-2)…+a_(n-1)x+a_n=0的n个根为x_1,x_2,…,x_n,那么x_1+x_2+…+x_n=-(a_1)/(a_0)x_1x_2+x_1x_3+…+x_1x_0+…+x_(n-1)x_n=(a_2)/(a_0)     

根与系数关系在解方程(组)中的应用

设一元二次方程x~2+px+q=0的两个根为x_1和x_2,则由根与系数的关系,x_1+x_2=-p,x_1x_2=q;反过来,以x_1,x_2为根的一元二次方程是x~2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0。下面谈谈这一原理在解方程或方程组中的应用。例1 解方程2(x~2+1)/(x+1)+6(x+1)/(x~2+1)=7。     

两个一元二次方程有公共根的一个定理

近年来,国内外数学竞赛中经常出现两个一元二次方程有公共根的一类问题。本文将探讨两个一元二次方程的系数满足什么条件时才有公共根(以下的讨论是在复数域中进行)。为此,我们给出定理两个一元二次方程 a_1x~2+b_1x+c_1=0 (Ⅰ)和a_2x~2+b_2x+c_2=0 (Ⅱ)有一个公共根的充分必要条件是证明设x_1和x_2是方程(Ⅰ)的两个根,     

一元一次函数和一元二次函数零点存在的初等证明

<正>命题1函数f(x)=ax+b(a≠0)满足:f(x_1)f(x_2)<0,则■x_0∈(x_1,x_2),有f(x_0)=0.证明:函数f(x)=ax+b的零点即方程ax+b=0的根,b由a≠0知方程ax+b=0有实数根x_0=-a/b,即f(x_0)=0,所以只需证x_0=-∈(x,由f(x_1)f(x_2)<0得(ax_1+b)(ax_2+b)<0即:     

韦达定理的几何证法

<正>如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x_1和x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1x_2=c/a,这就是著名的韦达定理.现行义务教育初中数学教材中的证法是利用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x_1和x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1x_2=c/a,这就是著名的韦达定理.现行义务教育初中数学教材中的证法是利用一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式先求出它的两个根,然后分别计算这两根之和与两根之积.笔者在文[1]中不借助于一元二次方程的求根公式给出了韦达定理的三种代数证法,本文再给出韦达定理     

一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程的根与系数之间存在着下列关系:如果ax~2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x_1、x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1·x_2=c/a.这就是有的参考书所讲的“韦达定理”.     

根与系数的关系及其应用

正如果一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x_1,x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1·x_2=c/a这就是根与系数的关系,也称为韦达定理.下面以2011年中考试题为例,归纳它在中考解题中的几种典型应用,供你复习时参考.     

谈谈韦达定理

一、教学中的一个问题己知方程x~2+px+q=0的两个根x_1、x_2,求以此两根的平方为两根的方程.解:∵x_1、x_2是方程x~2+px+q=0的根,由韦达定理,得     

一个结论的妙用

在初中《代数》第三册第37页中有这样一个结论: 若x_1,x_2是一元二次方程ax~2+bx+c=0的两根,则有ax~2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). 灵活运用上述结论,解题中常能收到事半功倍的效果.下面以初中数学竞赛题为例加以说明.例1己知     

根与系数关系应用错例分析

初三代数教材对一元二次方程根与系数关系叙述为:如果ax~2+bsr+c=0(a≠0)的两个根是x_1、x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1·x_2=c/a。此定理对结论成立的先决条件交代很清楚,即“原方程存在两个根x_1和x_2”。但在教学过程中,我发现有些学生在运用这一关系时却只记住了结果,忽视了条件,因粗心大意导致解题错误。 错例1.判断正误:方程ax~2+bx+c=(a≠0)两根之和为-b/a。( ) 错误判断为“对”。 错例2.若方程x~2+(m~2-1)x+1+m=0的两根互为相反数,则m的值为( ) (A)1或-1; (B)1; (C)-1; (D)0。 错选(A)。     

抓住特征 简捷求解

题已知:二次方程 x~2-(m+3)x+2(m+1)=0的两根都大于0,求 m 的取值范围.分析解此类问题的常规方法是利用判别式Δ≥0和根与系数的关系 x_1+x_2>0及 x_1·x_2>0,通过解不等式组而达到目     

求条件极值时容易忽略的一个问题

一、从一道试题谈起例1 已知x_1,x_2为方程x~2-(k-2)x+k~2+3k+5=0的两实根(k为实数),则x_1~2+x_2~2的最大值是(A)19,(B)18,(C)5(5/9),(D)不存在.……( ) 这是八二年全国数学竞赛试题中的一道选择题。当时参加竞赛的学生多数选择了第一个答数,即认为     

让根“回娘家” 解题简又捷

若x_1、x_2是方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的两根,则ax_1~2+bx_1+c=0和ax_2~2+bx_2十c=0.这种把根代入原方程,即让根"回娘家"的方法在解题中有着独特的作用.     

用“三法”求一元二次方程两根非对称代数式的值

设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根是x1、x2,要求不解方程,我们能够熟练地求出关于x1、x2的对称代数式(如x_1~2+x_2~2、x_1~3+x_2~3、1/x1+1/x2、(x1-x2)2、|x1-x2|等)的值.对含x1、x2的非对称代数式的值的求法,现举例介绍三种转化的方法:例设x1、x2中二次方程x2+x-3=0的两个根,那么x_1~3-4x_2~2+19的值是( )(1996年全国初中数学联赛)(A)- 4.(B)8.(C)6.(D)0.解法1:(配偶转化法):设A=x_1~3-4x_1~2+19,B=x_2~3-4x_1~2+19.∵x1、x2是方程x2+x-3=0的两根,∴x1+x2=-1,x1·x2=-3.     

应用牛顿恒等式简解竞赛题

近年来各级各类竟赛问题中,有些求解问题、整除问题和实数的有关性质问题似乎与数列毫无联系,然而,只要认真分析,把握特征,构造数列,从而应用牛顿恒等式而获得简洁明快的证明或解法. 定理对数列{l_n},l_n=Ax_1~n+Bx_2~n,若x_1,x_2是方程x~2+ax+b=0的两根,则 L_n=-al_(n-1)-bl_(n-2).(＊) 这就是著名的牛顿恒等式.下面给出它的证明及其在解竞赛问题中的广泛应用. 证明:据韦达定理得: x_1+x_2=-a, x_1x_2=b,     

韦达定理的意义及应用

一、韦达定理的意义一元二次方程ax~2+bx+c=0的根x_1、x_2与系数a、b、c有如下关系:x_1+x_2=-b/a,x_1x_2=c/a. 这是法国数学家韦达于1559年首先给出的,因而称为“韦达定理”.特别地,对于方程x~2+px+q=0而言,它的两根x_1、x_2满足x_1+x_2=-p,且x_1x_2=q. 顺便提一下韦达定理的逆定理:     

特别的方程,特别的根

实系数一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)有性质: (1)若a+b+c=0,则方程的两根为x_1=1,x_2=c/a;反之,若一根为1,则a+b+c=0。