解两个代数方程

一、解方程: (6x+7)~2(3x+4)(x+1)=6解、令(6x+7)~2=y 因(3x+4)(x+1)=1/12(6x+8)(6x+6)=1/12[(6x+7)~2-1] 原方程化成1/12y(y-1)=6 即y~2-y-72=0,解得y=9,及y=-8     

加减消元法同解定理在解二元二次方程组中的应用

在解方程组中常使用下列定理与推论: 定理:设H(x,y)是任意一个关于x、y的多项式,a是异于零的常数, F_1(x,y)=0 ①则方程组 { F_2(x,y)=0 ② aF_1(x,y)+H(x,y)·F_2(x,y)=0 ③与方程组 { 同解。 F_2(X,y)=0 ④ F_1(x,y)=0 ①推论:方程组{ F_2(x,y)=0 ② F_1(x,y)+k·F_2(x,y)=0 ③与方程组 { F_1(x,y)=0 ④同解,这里k是一个非零的实数。这个定理与推论是在方程组中进行加减消元法同解变形的理论依据,其目的是要经过适当变形,达到使定理中③或推论中③消元、降次或能因式分解,从而易于解出。对中等数学     

由曲线间位置关系求参数的几种方法

已知曲线间的位置关系,求曲线方程中参数满足的条件.这类习题在平面解析几何中常常遇到.现在就这类习题的解法,作以探讨. 如果已知曲线C_1:F(x,y,a)=0和曲线C_2:G(x,y)=0(其中a为参数),那么C_1和C_2的交点问题,归结为方程组F(x,y,a)=0 G(x,y)=0 有无实数解问题。利用方程组同解原理,得到与之同解的方程组{φ(x,a)=0 G(x,y)=0 (或者g(y,a)=0 G(x,y)=0). 这样一来,问题就转化为由φ(x,a)=0满足的条件,求参数a的问题.     

关于正、反函数图象的交点

在一篇文章中见到这样的看法:“函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f~(-1)(x)的图象关于直线y=x对称,则它们的交点(如果相交)在直线y=x上。因此求交点,即解方程组等价于解方程f(x)=f~(-1)(x),又等价于解方程f(x)=x(或f~(-1)(x)=x)。”用以下结论解题笔者认为,这种看法不妥,还应商榷。     

构造共轭因式解题例说

在初中数学中,对于某些题目,若构造共轭因式来解,则显得异常简捷和灵活。例1、解方程组解:设x=3+t,y＝3-t,代入x·y=7得:(3+t)(3-t)=7,(?)(9-t~2)=7,则t=±2~(1/2)。(?)方程组的解为     

一题多解殊途同归

解二元一次方程组的基本思想是消元,即化“二元”为“一元”,而消元的方法多种多样.下面仅举一例,介绍几种解二元一次方程组的常用方法.例:解方程组3(x-1)=y+5,5(y-1)=3(x+5) .解法1:代入消元法原方程组可化为3x-y=8,(1)3x-5y=-20.(2 由(1)得:y=3x-8.(3)(3)代入(2),得:3x-5(3x-8)=-20.解得摇x=5,代入(3)得摇y=7.因此,原方程组的解为x=5,y=7 .解法2:加减消元法原方程组可化为3x-y=8,(1)3x-5y=-20.(2 (1)-(2),得4y=28,所以摇y=7.把y=7代入(1)得摇3x-7=8,所以摇y=5.所以摇x=5,y=7 .评注:代入消元法与加减消元法是解二元一次方程组的基本方…     

Diophantine方程a^4x（x＋1）（x＋2）（x＋3）=y（y＋1）（y＋2）（y＋3）

设a是大于1的正整数.本文运用初等数论方法证明了:方程a4x(x+1)(x+2)(x+3)=y(y+1)(y+2)(y+3)无正整数解(x,y).     

乘法公式的灵活运用

乘法公式是初中代数中的重要公式,灵活地运用这组公式,往往能使问题简捷迅速地获得解决。一、用于计算例1.计算19992-2000×1998。分析:若按有理数的运算顺序计算,则十分繁杂,通过观察发现2000×1998=(1999 1)(1999-1)=19992-1,于是可得简捷解法。解:原式=19992-(1999 1)(1999-1)=19992-(19992-1)=1。例2.计算(x y)2(x2-xy y2)2-(x3 y3)(x3-y3)。解:原式=〔(x y)(x2-xy y2)〕2-(x3 y3)(x3-y3)=(x3 y3)〔(x3 y3)-(x3-y3)〕=(x3 y3)·2y3=2x3y3 2y6。二、用于化简例3.化简(2 1)(22 1)(24 1)(28 1) 1。分析:注意到2-1=1,用1乘原式值不变,这样添…     

两个方程根之间的关系及其推论

设函数y=f(x),y=g(x)的反函数分别为:y=f~(-1)(x),y=g~(-1)(x).记方程f(x)=g(x)及f~(-1)(x)=g~(-1)(x)的根分别为α、β.若F(x)=f(x)-g(x)是单调函数,则有β=f(α)=g(α).     

这样的直角三角形有几个

省编初三毕业班数学综合练习中,有这样一个小题目:已知直角三角形的一边长是11,试求另外两个边长的正整数解。依题意我们根据勾股定理,可得 11~2=121=x~2-y~2=(x+y)(x-y)。令x+y=121 x-y=1,则x=61 y=60。     

解方程中的化归技巧

在解题实践中,如何化归,化繁为简、化难为易、化生为熟,其技巧性很强。笔者认为,换元法是实现上述转化的有效方法,举例说明如下。 俐1.解方程(19x-x~2)/(x 1)(x (19-x)/(1 x))=84. 解 设y=(19-x)/(1 x),则原方程等价于方程组 xy(x y)=84, xy (x y)=19. 则xy,x y为方程z~2-19z 84=0的两根,进而易于求得xy,x y的值,再解得     

第二十一届俄罗斯中学生数学奥林匹克试题与解答(续)

十年级 1.求方程组{xy z=94,x yz=95}的整数解.解 x=95,y=0,z=94或x=31,y=2,z=32. 第二个方程减第一方程,得 (x-z)(1-y)=1。依题意,x,y,z应为整数,故仅有两种情形: 1)x-y=1,1-y=1,于是y=0,代入方程组得x=94,x=95。     

第36届加拿大数学奥林匹克(CMO)(高二、高三)

求所有满足方程组现在要放8个车,则所有放法种数为{‘不夕一z一x一y,2二之一y一x一z,夕之一x一y一z,的三元实数组(x,y,2). 解原方程组可化为{图2令m一(x l)(y 1)一z 1,(x 1)(z十1)一y 1,(少 1)(z l)=x 1.x 1,n~夕 1,t=z 1可得若m,n,t中有一个为O,则其余两个必为O,即(0,o,0)为新方程组的解.若m,n,t是非。实数,将①代人②、③得①②③ ,,.=t﹃﹃棚mtntr||少、||t }m。mn一n,二_【m~士1 、n .2刀刀一刀刁。、n一二亡1。则得到新方程组的解为: (l,1,1),(1,一1,一1), (一1,1,一1),(一1,一1,1).故原方程组的解为: (一l,一1,一1),(0,0,0),(O,一2,…     

方程组的同解性略说

如果两个方程组的解集相同,则称这两个方程组同解。解方程组时,通常是将原方程组逐步变形成为一个易解的方程组来解,这里的“变形”,一定要是同解变形。什么样的变形为同解变形?本文仅以二元方程组为例给出几个主要方程组的同解性定理。首先约定:以记号f(x,y)=0表为二元方程,以其中一个变量(如x)表另一个变量(如y)记为y=f(x),其余类同。定理Ⅰ:方程组{y=f(x) g(x,y)=0(*)与方程组 {y=f(x)(**)同解。 g[x,f(x)]=0 证明:设(α,β)为方程组(*)的任一解, 则有{β=f(α) g(α,β)=0, 即{β=f(α) g[α,f(α)]=0 故(α,β)亦是方程组(**)的解。     

错在哪里

题:已知两条直线l_1:x+(1+m)y=2-m,l_2:2mx+4y=-16。(1)当m为何值时,l_1与l_2相交;(2)求直线l_1和l_2交点的轨迹。解 (1)将两直线的方程组成方程组 x+(1+m)y=2-m 2mx+4y=-16 这时 A_1/A_2=1/2m,B_1/B_2=1+m/4。当A_1/A_2≠B_1/B_2 解得m≠1或m≠-2 (2)将两直线的方程组成方程组,消去参数m,得:x~2+xy-2y~2-2x-10y-8=0 即(x-y-4)(x+2y+2)=0     

椭圆中几个新发现的性质

性质1 已知椭圆(x2)/(a2) (y2)/(b2)=1(a＞0,b＞0)(包括圆在内)上有一点P,过P分别引直线y=(b)/(a)x及y=-(b)/(a)x的平行线,分别交x轴于M,N,交y轴于R,Q,O为原点,则:     

学习分式的20个注意点

一、要注意分母的值不能为零例1(1997年山西省中考题)当x=时,分式(x-|3x)|(-x1+1)的值为零·解:由|x|-1=0,得x=1或x=-1;当x=-1时,分母(x-3)(x+1)=0,所以x=1时,上述分式的值为零·二、要注意不要盲目通分例2(1997年西宁市中考题)当a=3,b=2时,求代数式a+ba2+2ab+b2-ba22--abb2的值解:待求式=a+b(a+b)2+(a+b(ba)(-ab)-b)=a1+b+a+bb=a1++bb=33+2=3(2-3)·三、要注意运用换元技巧例3(1997年云南省中考题)1x2+3x+2+1x2+5x+6+x2+41x+3·解:因为原式=(x+1)1(x+2)+1(x+2)(x+3)+(x+3)1(x+1),所以设x+1=a,x+2=b,x+3=c,则原式=a1b+b1c+c1a=a+abbc+c=(x+1…     

因式分解中的变换技巧

因式分解的方法较多,同学们除了牢固掌握课本上介绍的提公因式法,运用公式法,分组分解法和十字相乘法四种基本方法外,还可以学习如下几种变换技巧.一、拆项变换例1分解因式:3x3+7x2-4.分析:先将7x2拆成两个同类项3x2和4x2,然后再用分组分解法分解.解:原式=(3x3+3x2)+(4x2-4)=3x2(x+1)+4(x2-1)=3x2(x+1)+4(x+1)(x-1)=(x+1)(3x2+4x-4)=(x+1)(x+2)(3x-2)二、添项变换例2分解因式:x4+y4+(x+y)4.分析:此式是关于x、y的对称式,故可通过添项把原式化为仅含x+y和xy的式子.解:原式=x4+2x2y2+y4-2x2y2+(x+y)4=(x2+y2)2-2x2y2+(x+y)4=[(x+y)2-2xy]2-2x2…     

圆锥曲线的几个命题及其应用

本文证明了命题:若圆锥曲线f_1(x,y)=0和f_2(x,y)=0的二次项系数相应相等且相交,则经过交点弦所在直线方程为f_1(x,y)-f_2(x,y)=0。从而推出命题:圆锥曲线f(x,y)=0被点M(m,n)所平分弦所在直线方程为f(x,y)-f(2m-x,2n-y)=0。并举例说明其应用。     

对数平均的推广(英文)

记J_t(x,y)=[t(x~(t+1)-y~(t+1))]/[(t+1)(x~t-y~t)]。它有性质:J_(-1/2)2(x,y)=G(x,y),J_(1/2)(x,y)=He(x,y),J_1(x,y)=A(x,y)。我们证明了J_1(x,y)关于t单调增加。同时有(?)J_t(x,y)=L(x,y)。那么我们有不等式G(x,y)≤L(x,y)≤He(x,y)≤A(x,y)。