几道“希望杯”培训题的另解(高一、高二、高三)

题1 方程e|ln1/x|=ax有解,求a的取值． (第11届00年“希望杯”高一培训) 解原解答是利用数形结合的思想,比较形象直观,贵刊(2001,3)给出一种纯代数解法,现再介绍一种代数解法;     

这样的“配方法”更好——评用“配方法”解一元二次方程a~2+bx+c=0(a≠0)

“配方法”是初中代数中的一种重要的解题方法 ,人教版初中《代数》第三册第 13页给出了用“配方法”解一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 )的过程 ,由此可以归纳为四个步骤 :1.方程两边都除以二次项系数2 .把常数项移到方程右边去3 .方程两边都加上一次项系数一半的平方4.把方程左边化为完全平方式 ,如果方程右边是非负常数 ,那么再运用“直接开平方法”求解 ,这是一种“传统”的“配方法” ,事实上用下面的“配方法”解一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ =0 (ａ≠ 0 )更好 .解法一　把方程的两边都乘以ａ ,得ａ2 ｘ2 +ａｂｘ+ａｃ =0 ,移项…     

构造方程解题八法

中学数学教材对于方程在研究数学自身问题(代数、三角、几何)中的应用涉及较少.这直接影响着学生灵活使用“方程”这个武器去解决数学问题的能力.本文介绍的构造方程法就是把方程的“知识”转化为“能力”的一种重要方法.构造方程解题通常有以下八种方法,     

用比例法解行程问题

列方程解应用题是初中代数中的重点,也是难点,难就难在审不清题,找不出已知量与未知量之间的关系,列不出正确的方程．特别是行程问题,由于它涉及的范围广,条件多,变化复杂,学生往往望而生畏,但如果掌握了一定的方法,就能突破难点,难题也就不难了．本文介绍的“比例法”就是一种容易理解、便于掌握的简捷方法．所谓“比例法”,就是根据题目给出的条件,利用基本关系式：速度×时间＝距离,判断出已知量与未知量之间是成正比例还是成反比例关系,列出比例式,并得到相应的方程的方法．下面举例说明．一、相遇问题例１　快慢两列车…     

一个平面射影命题的多种证法

高等几何的证题方法通常有代数法和综合法两种。所谓代数法,就是利用坐标通过代数运算证明命题的方法;所谓综合法,就是在已有的概念和定理的基础上,借助图形直观进行逻辑推理证明命题的方法。本文分别利用代数法、综合法给出一个平面射影命题的多种证法。     

一题六法,各有特色(高二、高三)

第12届“希望杯”高二第2试17题是:复数z满足z+z·|z|3=0,则z=____.本文从不同角度给出六种解法,繁简有别,各有特色,体现了求解复数方程的方法. 解法1 用复数的代数形式令z=a+bi(a,b∈R),则     

代数Riccati方程数值解的一种牛顿迭代法

代数Riccati方程在优化控制理论中具有十分重要的作用.结合了二次方程的牛顿迭代法与Lya-punov方程的自由参数轮转方向迭代法,提出了一种求代数Riccati方程数值解的一种新方法,并给出了算法的收敛性证明.最后,给出了具体的数值算例.     

关于函数方程的竞赛题

在各类数学竞赛题中,涉及函数方程的题型较多,难度也不断增大.90年的IMO及91年的“中国数学奥林匹克”(中国数学会决定自1991年起,全国中学生数学冬令营定名为“中国数学奥林匹克”)均有函数方程题。所谓函数方程,是指以“函数”为“未知元”的代数形式的方程。     

用代数法解平面几何题

对于一类平面几何题,如果能根据题设中隐含的数量关系,利用已知条件和几何定理列出方程(组),或者函数式、不等式,把“形”化成“数”,就可用代数计算来代替纯几何推理.     

应用题的“列”与“解”

应用题的“列”非常重要,然而有很多耐人寻味、启发思维、形式简单的方程蕴含在“解”的过程中,只有列出解法简捷的方程,才是最佳列法,反之也只有列出的方程形式最简,其解法才最优。下面仅就初中代数二元二次方程组中的应用题为例,说明“列”与“解”的辨证关系。 例1 甲乙两个工程队合做一项工程,12天可以完工,如果甲队单独先做5天后,乙队也来参加,两队再合做9天才完工,两队单独完成这项工程各需多少天?(《代数》第三册P.149,9题) 解:设单独完成这项工程甲队需x天,乙队需y天,由题意按一般列法有方程组:     

用“特殊法”解几何题

初中几何是一门培养学生逻辑思维能力,提高学生分析、解决问题能力的主要课程。教学中要树立“以人为本”、“以学生发展为本”的现代教育观,引导学生经历学习过程,用自己的方式,从诸多方面去探求问题、去发现问题,使学生学有所获。如果缺乏“眼光”和胆识,仅限于某章节、某单元的知识点,甚至单方面的技能和经验,力图解决问题是远远不够的,还必须尝试“一题多解”和“多题一法”。下面结合平时的教学谈谈用“特殊法”解平面几何题。一、代数法有些题目,貌似“几何”而实则通过代数途径去解决。有的题目通过转换,运用几个非负数的和等于零的…     

解析法在解证代数题中的应用

用解析法解证代数题,就是在坐标平面内,根据数,式、方程的几何意义,通过构造几何图形(点、直线、圆和圆锥曲线),利用图形的几何性质和解析几何知识使问题得以解决．这种方法开辟了一条解代数题的新路子,使抽象的代数直观化,具体化．它有助于从多方面、多角度、多渠道去思考阎题,从而有利于培养学生的发散思维和创造思维能力。     

采用多种方法帮助学生找出等量关系

列方程解应用题实质上是完成两个转化:一是通过分析题中的等量关系转化为方程,即把题中的“日常语言”翻译成“代数语言”;二是通过解方程,把未知转化为已知。由于解方程前面已经解决,因此教学重点应放在分析等量关系与列方程这个关键问题上。     

学例题得方法

列一元一次方程解应用题是初一代数中的一个难点.有些同学在学习时感到困难的是如何从题目中找相等关系列方程,我们通过学习课本上的例题,现总结得出找相等关系列方程的几种方法. 一、列式法即将题中关键语言列出代数式找出相等关系列方程.     

对《一道数学高考题的来源和引伸》一文的商榷

贵刊94年第一期发表的《一道数学高考题的来源和引伸》）一文（下简称“文章”）选用了这样一命题：已知（见高中代数下册5．1的例4）作为93年全国高考数学试卷最后一题（第29题）的源题（以下简称“源题”）并进行的推广和引伸，现来稿商榷如下．首先，高中代数下册中对“源题”证明如“文章”指出：课本中采用分析法，利用双向箭头推理给出证明，可见本例的逆命题也真．显然说法有错，事实上此例逆命题不成立，原因是①式的充要条件不是②式，∵由①可推出可见满足①的条件不单接着“文章”对“源题”作如下两次变换：变换则“源题”可变…     

一道课外基本练习的几何证法

本刊95年第1期的“中学生课外基本练习”中有这样一题: “求下列方程组的正数解 x~2 y~2 xy=1 (1) y~2 z~2 yz=3 (2) z~2 x~2 zx=4 (3) 文中给出的代数解法较长,本文介绍一简捷的解三角形法。     

利用多变量方程组求轨迹方程

近年来 ,高考题中频繁出现轨迹探求题 ,这类问题属于开放性问题 ,渗透运动变化观点 .在考查曲线与方程、直线和圆锥曲线的方程、性质等基础知识的同时 ,着重考查消元法、参数法、函数与方程等基本方法和基本思想 ,并着力考查学生的思维能力、分析能力和代数变形能力 .具体问题中 ,几何元素大都互相牵制 ,处于“连动”状态 ,学生常因变量多、运算繁、思维容量大而造成思路混乱 ,放弃探求 .因此 ,把握轨迹问题的实质 ,并设计合理的探求途径 ,对探求轨迹是非常关键的 .本文将从方程思想出发 ,来探讨近年来高考轨迹题的一种统一解法 .引例　过椭…     

新热点赏析——高考中的直线方程

直线的方程是圆锥曲线的“根”与“源”,它与代数、三角、平面几何知识有密切联系,是解析几何综合题的媒介．近年来,高考对直线方程的考查都以小题为主,属容易题或中档题,考查的热点是直线的基本量,直线的方程,有关公式的运用,两直线的位置关系及用直线知识“包装”的创新试题等．综观近几年的高考试题,本部分的考查热点主要有以下几点：     

用“代数法”解应用题

<正>同学们,所谓代数法就是用字母代替数,用代数法解题的关键是找出题中的等量关系,用字母含有字母的式子表示一个未知量,列出方程,通过解方程求出未知量,使较复杂的问题     

“托尔斯泰割草问题”解法探析

“托尔斯泰割草问题”是小学数学“一题多解”的一个很好的典型范例。此题求解可用单位“1”法、代替法、图解法、方程法等方法,有助于开阔学生思路,训练解题方法的灵活运用,很值得教师深入探讨、研究。