初二(上)几何段考模拟题

一、填空题（每小题６分，共３０分）１．若三角形两边的长分别是３和５，则第三边ａ的取值范围是＿．２．若三角形两个内角的和是１００°，则第三个内角的度数是＿．３．若三角形三个内角的度数的比是１：２：３，则这个三角形是＿三角形．４．如图１，在ＡＢＣ中，Ｂ、Ｃ的平分线相交于Ｄ，且ＢＨＣ＝１２０°，则Ａ＝５．如图２，已知ＯＡ＝ＯＢ，ＯＣ＝ＯＤ，ＡＨ与ＢＣ相交于Ｅ，则图中的全等三角形共有＿对．二、单项选择题（每小题７分，共２８分）１．若等腰三角形两边的长分别是４和７，则这个等腰三角形的周长是（）（Ａ）１５；…     

四面体中线定理

三角形中线定理是熟知的： 如图１,△ＡＢＣ的三边长为ａ、ｂ、ｃ,记中线ＡＭ为ｍａ,则有： 定理１　　４ｍ２ａ＝２（ｂ２＋ｃ２）－ａ２① 又设Ｎ是ＢＣ的一个三等分点（如图１）,则有： 推论 １　　９ＡＮ２＝６ｂ２＋３ｃ２－２ａ２② 证明 如图１,延长ＡＭ至Ａ０１６     

利用底角和顶角的关系解题

根据等腰三角形的两个底角相等及三角形内角和定理，我们可以推出等腰三角形的底角α和顶角β有如下关系：α＝９０°一１／２β．对于一些与等腰三角形内角有关的几何问题，利用这一关系，可取得意想不到的效果．例１如图１，在西ＡＢＣ中，ＡＣＢ＝７０°，ＡＣ＝ＢＣ，点Ｐ在ＡＢＣ的外部，且与点Ｃ均在ＡＢ同侧．若ＰＣ＝ＢＣ，求ＡＰＢ．例２如图２，已知ＡＢＣ＝１００°，ＡＭ＝ＡＮ，ＣＰ＝ＣＮ，求ＭＮＰ．解在ＡＭＮ和ＣＰＮ中，例３如图３，在ＨＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＡＢ上一点，延长ＣＡ到Ｅ，使ＡＥ＝ＨＤ，延长ＥＤ交ＢＣ…     

三角形内角平分线性质定理的推广及应用

一、定理的推广三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。上述定理中的角平分线把所给的三角形分成满足下列条件的两个三角形：有～组角对应相等,另有一组角互补。据此可得下面的推广命题：若一个三角形的两个角和另一个三角形的两个角中,有一组角对应相等,另有～组角互补,则这两组角所对的边对应成比例。下面来证明这个推广命题。已知：thABC和凸A石‘C’中,／B二zB,ZC＋iC”＝180“求证：AC：AC二AB：。证明：1）设LC二上广一叩”如图（一）所示。”．”ill＝tI3’．’…     

关于正弦定理用来证明具有角平分线条件的几何问题的方法

如图1，AABC中，AD平分∠A交BC于D，由三角形内角平分线有AB/AC=BC/DC……（1）由正弦定理有：     

《光的反射》难题几例

例１如图１所示，光线投射到平面镜上时，入射角为１０°，若以入射点Ｏ为轴转动平面镜，当镜面转到跟水平面夹角为多少度时，光线沿水平方向向右传播？解析如图２所示，作∠ＡＯＢ的角平分线ＯＮ，即为法线，过Ｏ点再作ＭＮ上ＯＮ，β即为平面镜转过的角度，∠β＝１／２（１８０°－∠ＡＯＢ），β＝１／２［１８０°－（９０°＋１０°）］＝４０°．例２一人自马路上路灯的正下方经过，看到自己头部的影子正好在自己脚下，如果人高１．６米，灯高３．２米，人以不变的速度直线朝前走，则他自己头部的影子相对于地的运动情况是：（）Ａ．…     

根据角平分线条件构建全等三角形

几何题中有不少问题的证明都是通过全等三角形来实现的．这里，如何构造全等三角形自然成为解决问题的关键．本文就角平分线条件构建全等三角形谈些思路．思路Ｉ过已知边上一点作角平分线的垂线，延长此垂线段与另一边相交得全等三角形，例１如图１，在西△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝３∠Ｃ，∠Ａ的平分线为ＡＤ，ＢＰ⊥ＡＤ，Ｐ是垂足．求证：ＢＰ＝１／２（ＡＣ－ＡＢ）．证明延长ＢＰ交ＡＣ于Ｑ．∵ＡＰ平分∠ＢＡＣ，且ＡＰ⊥ＢＱ，∴Ｒｔ△ＡＰＢ≌Ｒｔ△ＡＰＱ．∵∠１＝∠２，∴∠ＡＢＣ＝∠１＋∠３＝∠２＋∠３＝（∠３＋∠Ｃ）＋∠３＝…     

平面镜问题分类解析

１．平面镜的放置例１　一束光线水平射来,现用平面镜使反射光线竖直进入井中,则镜面与水平方向的夹角是多大？分析　这是已知光线的传播方向确定平面镜放置情况的题目,解答此题的关键是正确画出光路图,画图的步骤是：（１）根据题意画出入射光线ＡＯ和反射反线ＯＢ．（２）画出入射光线与反射光线的夹角∠ＡＯＢ的角平分线ＯＮ,则ＯＮ为法线,（３）过入射点Ｏ作ＭＭ′与法线垂直,ＭＭ′即为平面镜的位置,如图１所示．解析　因为∠ＡＯＢ＝９０°,所以∠ＡＯＮ＝∠ＡＯＢ＝　×９０°＝４５°,故平面镜与水平方向的夹角∠ＡＯＭ＝…     

证明线段等积式常用方法举隅

初中平面几何中关于证明线段等积式的问题 ,是常见的一种题型 ,它是教学的一个重点．现举例介绍八种常用方法．一、利用平行线分线段成比例定理例１ 如图（１） ,ＡＤ是△ＡＢＣ的∠Ａ的平分线 ,交ＢＣ于Ｄ点 ,求证ＡＢ·ＤＣ＝ＢＤ·ＡＣ．ＡＢ２∶ＡＣ２＝ＰＢ∶ＰＣ．四、利用射影定理例４ 如图（４） ,△ＡＢＣ中 ,ＡＢ＝ＡＣ ,以ＡＢ为直径作圆交ＢＣ于Ｄ ,Ｏ是圆心 ,ＤＭ是⊙Ｏ的切线交ＡＣ于Ｍ ,求证ＤＣ２ ＝ＡＣ·ＣＭ．思路分析 :证明△ＡＤＣ是Ｒｔ△ ,并且ＤＭ⊥ＡＣ ,就可利用射影定理证得结论．五、利用圆幂定理例５ 如图（５…     

解析几何中的“五心”

一、内心三角形的三条内角平分线交于一点，这点称为三角形的内心．因为内心到三条边的距离相等，所以存在以内心为圆心的一个圆，它与三角形的三条边都相切．这个圆称为三角形的内切圆，圆的半径r称为内切圆的半径．例１如图１所示，在直角坐标系中，以A（x１，y１）、B（x２，y２）、C（x３，y３）为顶点的三角形的三条边分别是a、b、c．求△ABC的内心M的坐标．解析设角平分线AD、BE交于点M．∵｜BD｜｜DC｜＝｜AB｜｜AC｜＝cb，∴由定比分点公式得xD＝xB＋cbxC１＋cb＝bx２＋cx３b＋c，yD＝by２＋cy３b＋c 又∵｜AM｜…     

漫谈多边形内角和定理的证明

课本上证明多边形内角和定理的方法是：在ｎ边形内任取一点Ｏ,连结Ｏ与各个顶点的线段,把ｎ边形分成ｎ个三角形．这ｎ个三角形的内角和等于ｎ·１８０°,以Ｏ为公共顶点的ｎ个角的和是２×１８０°,所以ｎ边形的内角和是ｎ·１８０°－２ｘ１８０°＝（ｎ－２）·１８０°．如果让所取的Ｏ点随意变动位置,可得到如下几种证法．１．点Ｏ在一边上如图１,连结Ｏ与各顶点的线段,把ｎ边形分成（ｎ－１）个三角形,这（ｎ－１）个三角形的内角和为（ｎ－１）·１８０°,但以Ｏ为公共顶点的（ｎ－１）个角的和是一个平角,这个平角不属于ｎ…     

三角形角平分线性质的证法及应用

本文介绍三角形角平分线性质的证法及在解题中的应用，供参考．一、三角形角平分线的性质及其证明在△ABC中，若AD是角平分线，则BD∶DC＝AB∶AC．在此，我们给出四种证法：（1）我们知道，证明线段成比例的基本途径是利用平行线分线段成比例定理或其推论和相似三角形，但给定图形中既无平行线又无相似三角形，因此，要证结论成立，需要添加辅助平行线，构成平行线分线段成比例定理或其推论的基本图形，或构成相似三角形．为此，作DE∥BA交AC于E（如图1），则（2）我们也可以这样作辅助平行线：作CE∥DA交BA的延长线于E（如图2）…     

成果集锦

分割梯形面积的一个不等式定理　在梯形ＡＢＣＤ中,底ＡＢ＝ａ,ＣＤ＝ｂ,ａ＞ｂ,过对角线交点的直线ｌ分梯形为两部分,其面积之差为Δ,梯形面积为Ｓ,则ΔＳ≤（ａ－ｂ）（ａ２＋ｂ２＋４ａｂ）（ａ＋ｂ）３（＝｜ｌ∥ＡＢ）．设梯形对角线交点为Ｏ,过Ｏ作ＥＦ∥ＡＢ,Ｍ、Ｎ分别为ＡＢ、ＣＤ的中点,则ＭＮ过点Ｏ,如图．以下用△ｘｙｚ同时表示三角形和它的面积,Ｓｘｙｚｗ表示四边形的面积．我们分两种情形讨论．（１）ｌ处于ＰＱ位置．作ＥＲ∥ＣＢ交ＯＰ于Ｒ,则Ｒ在ＯＰ上,则△ＰＲＥ≥０,从而△ＰＯＥ≥△ＱＯＦ,同样,△…     

三角形内角和定理证明的思考

三角形内角和定理证明的思考阜阳市八中姚影，郑绍芬三角形内角和定理是一卜重要的定理，课本上通过实验把一个三角形三个内角拼在一起，发现它们恰好构成一个平角，从中受到启发，作辅助线，利用两平行直线被第三条直线所截而成的同位角相等、内错角相等（如图１所示，延...     

应用垂径定理解题

垂径定理的基本功能是证明两条线段相等和两段弧相等． 例１ 如图１，已知ＡＢ为的直径，且ＡＢ⊥ＣＤ，垂足为Ｍ，ＣＤ＝８，ＡＭ＝２，则ＯＭ＝（２０００年江苏省南京市中考题） 分析… ＡＢ⊥ＣＤ，ＣＤ＝８， ∴由垂径定理可知 ＣＭ＝ＭＤ＝４ＡＭ＝２，… 欲求ＯＭ，只需求出半径ＯＡ的长即可．为构成直角三角形，应连结 ＯＣ．设 ＯＡ的长为ｘ，则 ＯＭ＝Ｘ－２．于是，在ＲｔＯＭＣ中，根据勾股定理列出关于ｘ的方程，得ｘ２＝（ｘ－２）２＋４２．解此方程，得ｘ＝５．从而可求得ＯＭ＝３．解略． 若已知图形中没有垂径定理的基本…     

错在哪里

题 由圆外一点Ｑ（ａ，ｂ）向圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２作割线交圆于Ａ、Ｂ两点，求ＡＢ中点的轨迹方程。 解 如图，设过Ｑ的割线的方程为ｙ－ｂ＝ｋ（ｘ－ａ），ｋ为参数。过Ｏ点作ＯＭ⊥ＡＢ，由Ｍ为ＡＢ的中点，且ＯＭ所在直线的方程为ｙ＝－ｘ／ｋ。又Ｍ为ＱＢ所在直线与ＯＭ所在     

从一个猜想谈起

杨克昌同志在文[1]中曾提出如下的猜想：设ta、tb、tc分别表示面积为△的△ABC的三边a、b、c所对角的内角平分线的长，则是否成立如下的不等式亦即不等式是否成立．我们说（1）不成立，即（1'）不成立．比如取等腰三角形a＝b＝l，则利用内角平分线长以及三角形面积公式可得容易看出，当c充分小时（比如取c＝0.01）所以猜想（1）不成立，那么是否可以调整一下，仍有类似的不等式成立呢？回答是肯定的，亦即定理设ta、tb、tc分别表示面积为△的△ABC的三边a，b，c所对角的内角平分线的长，若△ABC的外接圆与内切圆半径分别是R和r，则有证…     

内接于抛物线中的三角形面积公式及应用

内接于抛物线中的三角形面积公式及应用安徽省舒城县杭埠中学丁遵标如图，二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ａ的图象，抛物线顶点Ｃ的坐标为（），与ｙ轴的交点坐标为（Ｑ．’·），当其判别式面一ｂ’，４ａｃＭＯ时，他物线与Ｘ轴两交点为Ａ（ｘ；．０）、Ｂ（。。，０）...     

巧算多形的角度

一、直接利用三角形或四边形内角和定理或推论求解．例1如图1，求的和．解，二、将多边形的角度计算问题转化为三角形或四边形问题，利用三角形或四边形内角和定理或推论求解．例2已知封闭折线ADGCFBEA，如图2，求的度数．解连结BG、DE．又例3延长四边形ABCD的对边AB、DC相交于E，延长AD、BC相交于F．E、F的平分线相交于O，如图3，求EOF与A＋BCD之间的关系．·解延长EO交AF于G，则fEOF一IEGF＋LI，上EGF一ZA＋Z2．ZEOF一ZA＋ZI＋ZZ．EO、FO分别是ZAEC与／BFA的平分线，／2一三／AEC，／1一三ZAFB．／EOF…     

成果集锦

成果集锦编者按本刊１９９７年第１～２期发表了赵临龙老师推广斯坦纳关于“三角形具有等平分线的角对等边”的定理作出的如下猜想（以下简称赵－猜想）：图１在△ＡＢＣ中,等长分角线ＢＤ、ＣＥ交于Ｐ,延长ＡＰ交ＢＣ于Ｑ（图１）．１．若ＡＢ·ＰＣ＋ＡＣ·ＰＢ,则Ａ...