抛物线切线的一个优美性质

<正>优美性质抛物线C在点D处的切线为m,和直线m平行的直线l与抛物线C相交于A、B两点,则直线l与抛物线所围封闭图形的面积和△DAB面积的比值为4∶3.为证明此性质,先证明性质1.性质1直线l:y=kx+m与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则直线与抛物线所围成封闭图形的面积为:线段AB在x轴上投影的立方的六分之一乘以二次项系数的绝对值,即     

一道二次函数应用题的编制历程

<正>一、试题展示已知直线l:y=kx+b与抛物线y=x²相交于A(-1,m),B(2,n).(1)求直线l的解析式.(2)将原抛物线向下平移t(t> 0)个单位,得到的新抛物线与直线l相交于C,D两点(C在D左侧).(1)求证:AC=BD;(2)点Q在x轴上,设新抛物线顶点为P,当四边形PCDQ为平行四边形时,求它的面积.二、命题过程1.命题立意考查的主要知识点:点的坐标,一次函数的解析式、二次函数     

例析直线与圆锥曲线位置关系的一般研究过程

直线与圆锥曲线位置关系的问题是充分反映代数与几何不可分割关系的一个非常好的素材。本文通过对一道典型例题的分析研究,引导学生从数、形两方面深刻理解线与线之间的位置关系,并用方程法讨论直线与圆锥曲线位置关系,从而掌握研究此类问题的一般手法。引例：已知抛物线C：x2=4y的焦点F为椭圆E的上顶点,椭圆E的离心率为槡32,直线l过点F交抛物线C于A,B两点,分别过点A,B作抛物线C的切线l1,l2,直线l1,l2相交于点M。     

抛物线中的一类定点问题探究及其应用

<正>抛物线y=ax²+bx+c上有一点C(m,n),直线l与抛物线交于A,B两点,当∠ACB=90°时,直线l是否经过一定点.下面对这个问题进行探究:如图1,过点C作x轴平行线EF,过点A作AE⊥EF,过点B作BF⊥EF,垂足分别为E,F.     

“2010年浙江卷文科压轴题的推广”的一个补充

2010年高考浙江卷文科最后一题:已知m是非零实数,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F在直线l:x-my-m2=0上.2(Ⅰ)若m=2,求抛物线C的方程;(Ⅱ)设直线l与抛物线C交于A,B,ΔAA1F,ΔBB1F的重心分别为G,H,求证:对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外.     

解几一命题的证明及应用

命题:已知直线l与抛物线 C:y~2=2px,过C的焦点F且垂直于l的直线交l于点N,则(1)l与C相切(?)点N在y轴上;(2)l与C相交(?)点N在y轴右侧;(3)l与C相离(?)点N在y轴左侧.证明:设直线 l:Ax By C=0,(A、B不全为零).     

一道模考题的逆问题及推广

<正>某校的高三模拟试卷中,解析几何题目如下：已知点P(4,4)在抛物线C:y²=2px(p>0)上,直线l:y=kx+2与抛物线C有两个不同的交点．(1)求k的取值范围;(2)设直线l与抛物线C的交点分别为A,B,过点A作与C的准线平行的直线,分别与直线OP,OB交于点M,N(O为坐标原点),求证：|AM|=|MN|.     

从1994年全国高考理工第24题谈起

题目:已知直线l过坐标原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,若点A(-1,0)和点B(0,8)关于l的对称点都在C上,求直线l和抛物线C的方程。 考生大部分按评分标准中的解法答题,即从设直线l的斜率κ入手,求出AA′的方程y=     

解析一道二次函数综合题

<正>一、试题呈现如图1,已知抛物线y=-x²+3x+4交y轴于点A,交x轴于点B、C(点B在点C的右侧).过点A作垂直于y轴的直线l,在位于直线l下方的抛物线上任取一点P,过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q,连结AP.(1)写出A、B、C三点的坐标;(2)点P位于抛物线的对称轴的右侧,1如果以A、P、Q三点构成的三角形与     

从显眼处着眼,从熟悉处入手——由今年的一道解几高考题谈平几性质的应用

题:设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,证明直线AC经过原点O.证明:如图1,记x轴与抛物线准线l的交点为E,过A作AD⊥l,D是垂足,则     

追寻高考数学试题中的奇异美——2018年北京高考理科数学试题第19题的探究

<正>2018年北京高考数学试题理科第19题:已知抛物线C:y²=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;(Ⅱ)设O为原点,QM(向量)=λQO(向量),QN(向量)=μQO(向量),求证:1/λ+1/μ为定值.思考1该试题揭示了抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;(Ⅱ)设O为原点,QM(向量)=λQO(向量),QN(向量)=μQO(向量),求证:1/λ+1/μ为定值.思考1该试题揭示了抛物线C:y²=4x的一个有     

圆锥曲线一组“对偶元素”新性质

文[1]给出了如下的定义:在抛物线中,点D在抛物线对称轴上且与焦点同侧,直线l′与对称轴垂直与焦点异侧,若点D与直线l′到抛物线的顶点等距离,则称点D与直线l′为"对偶元素";在椭圆(双曲线)中,点D在长轴(实轴)所在的对称轴上,直线l′与对称轴垂直且与曲线无交点,若点D与直线l′在     

四边形生成的三种圆锥曲线

本文给出一组面积恒定的平行四边形生成的椭圆、双曲线和抛物线. 命题1 已知直线l1,l2交于O点,A,B分别在l1,l2上,且以OA,OB为邻边的平行四边形OAPB面积恒为常数S,则P点轨迹是以已知直线为渐近线的双曲线.     

抛物线的又一定值

直线与抛物线相交时,会发生许多有趣现象.设直线l与抛物线C相交于两点A、B,原点为O,连结OA、OB,kOA与kOB的值是随直线l的位置变化而变化的,将kOA与kOB两个值联系起来研究,发现kOA+kOB存在定值情况.     

一道2022届高三调研试题的探究

<正>题目 已知抛物线C:y²=2px(p>0),点M在抛物线C上,点N在x轴的正半轴上,等边△OMN的边长为求C的方程;(2)若平行x轴的直线l交直线OM于点P,交抛物线C于点Q,点T满足■,试判断TM与抛物线C的位置关系,并说明理由.(2022届广州市荔湾区高三上学期数学调研试题第21题)本题的答案是：(1)抛物线C的方程为y²=4x;(2)直线TM与抛物线C相切.第(2)问内涵丰富,不应解完即止,可进一步引导学生进行适当的探究.     

对1994年一道全国高考解几题的探索

94年高考数学试题:已知直线l过坐标原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,若点A(-1,0)和点B(0,8)关于l的对称点都在C上,求直线l和抛物线C的方程。 标准答案解法一要求k和p两个未知数,解的过程中又涉及到四个未知数xA′,yA′,xB′,yB′。根据对称性的垂直平分,A′、B′在抛物线     

对一道切线问题的再思考

问题 直线l是过抛物线y^2=2px（p〉0）上一点P的切线．过该抛物线焦点F的直线FN⊥l,与直线l交于点N,与抛物线的准线交于点M．求证：直线MP平行于x轴．     

学生为什么会这样频繁出错

正北京市丰台区2013~2014学年度第一学期期末练习高二数学(理科)第19题(满分13分)即倒数第二题是:统考题已知抛物线C:y2=2px(p0),过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点.(1)若抛物线的准线为x=-1,直线l的斜率为1,求线段AB的长;(2)过B作x轴的平行线交抛物线的准线于点D,求证:     

从一道高考题谈起

2005年普通高考数学试题(江西卷)理科22题: 设抛物线C:y=x2的焦点为F,动点P在直线l:x-y-2=0上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.     

全国卷Ⅰ（理）第21题

题目 已知抛物线C：y^2=4x的焦点为F,过点K（-1,0）的直线l与C相交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为D．