谈谈有效课堂的构建——倪红老师一节课的教学特色与学习体会

1问题1 （1）熟悉的问题y=ax和y=b/x． （2）“叠加”之后新的问题：f（x）=ax＋b/x（a〉0,b〉0）． （3）先来研究特殊情形：f（x）=x＋1/x． （4）留有思考余地：f（x）=ax＋b/x（a〉0,b〉0）。     

f′（-′x）究竟表示什么

1．引例 f（x）和9（x）是定义域为（-∞，0）∪（0，＋∞）的可导奇函数和偶函数，当x〈0时，f′（x）9（x）＋f（x）g’（x）〉0，且g（-3）=0，解不等式f（x）g（x）〈0．     

构造向量求一类无理函数的值域

文[1]、[2]对型如y=m√g（x）＋n√f（x）,其中g（x）＋f（x）=c（正常数）,mn〉0的函数求最值．这两篇文章都有一个限制条件“mn〉0”,事实上这是不需要的,本文将这个条件去掉,用构造向量的方法来完成这一类无理函数值域的求解．     

习题讲评后的几点做法

考题：已知函数f（x）=lnx,g（x）=x．（I）若x〉1，试判断y=f（x）与y=2g（x-1/x＋1）与的大小关系．     

江苏卷第21题的别解

21题 已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx^2＋cx＋d，g（x）=ax^3＋bx^2＋cx＋d．方程f（x）=0有实根且f（x）=0的实根都是g（f（x））=0的实根；反之，g（f（x））=0的实根都是f（x）=0的实根．[第一段]     

利用导数解题应注意的几个问题

一、利用导数求函数的单调区间应注意单调区间的写法 例1 求函数f（x）=x^4-2x^2＋3的单调区间. 解f′（x）=4x^3-4x=4x（x＋1）（x-1）． 由f′（x）〉0,可得x〉1或-1〈x〈0; 由f′（x）〈0,可得x〈-1或0〈x〈1． ∴f（x）的增区间为[-1,0],[1,＋∞）;减区间为（-∞,-1],[0,1]．     

一道高考题解法引发的思考

题目（2005年,辽宁,理科第22题）函数y=f（x）在区间（O,＋∞）内可导,导函数f＇（x）是减函数,且f＇（x）〉O．设x0∈（0,＋∞）,y=kx＋m是曲线y=f（z）在点（x0,f（x0））处的切线的方程,并设函数g（x）=kz＋m。     

错在哪里

1.设f（x）,g（x）都是奇函数,{x｜f（x）〉0}={x｜4〈x〈10},{x｜g（x）〉0}={x｜2〈x〈5},则集合{x｜f（x）g（x）〉0}等于（ ）。     

巧用单调性处理一类无理函数的值域

在中学数学教学中函数的值域问题一直以来都是一个重要的问题．对型如y=m√g（x）＋n√f（x）其中λf（x）＋g（x）=2c（c为常数）λ〉0的无理函数的值域问题还没有一个统一的处理．本文从利用单调性角度谈谈这类无理函数的值域的处理,期望得到一个统一的方法．     

例谈用ln（1＋x）〈x（x〉0）证明数列不等式

首先我们来证明这个不等式．求证：In（1＋x）〈x（x〉0）．证明：当x〉0时,令函数f（x）=In（x＋1）-x,有f^1（x）=ln（x＋1）-x在（0,＋∞）上是单调递减函数．f（x）〈f（0）=0,则有ln（x＋1）-x〈0,所以ln（x＋1）〈x成立。     

解答最值问题的常见易错点

易错点一：忽视函数的定义域 例1（2012年高考重庆文科卷第19题）设函数f（x）=Asin（ωx＋φ）（其中A〉0,ω〉0,-π〈φ≤π）在x=π6处取得最大值2,其图像与x轴的相邻两个交点的距离为π2.（Ⅰ）求f（x）的解析式;（Ⅱ）求函数g（x）=6cos4x-sin2x-1f（x＋π6）的值域.难度系数0.75解（Ⅰ）f（x）=2sin（2x＋π6）.解答过程省略.     

二次函数零点与二次方程根的分布处理策略

1一元二次函数图象与一元二次方程根的关系一元二次函数f（x）=ax2＋bx＋c（a〉0）一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a〉0）Δ=b2-4ac.1）当Δ〉0时,f（x）的图象与x轴有2个交点,f（x）=0有2个相异实根;     

一道高三质量检测题的错解、繁解、简解

问题（2008年江苏省苏北四市三月份高三联考数学第19题） 已知函数f（s）=loga（x＋1）,g（x）-2logx（2x＋t）（t∈R）,其中x∈[0,15],a〉0且a≠1．     

一道习题引发的探究

题目 定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋a）=-f（x）（a〉0）,若将方程f（x）=0在闭区间[-2a,2a]上的根的个数记为n,则n的最小值为_．（以下简称原题）     

江苏卷第19（2）题

题目 已知a,b是实数,函数f（x）=x^3＋ax,g（x）=x^2＋bx,f＇（x）和g’（x）是f（x）和g（x）的导函数,若f＇（x）g’（x）≥0在区间I上恒成立,则称f（z）和g（x）在区间I上单调性一致．     

从一道全国高考题看不等式f（x，a）〉0对x∈A有实数解求a取值范围问题的解法

问题 已知a∈R,二次函数f（x）=ax^2-2x-2a．设不等式f（x）〉0的解集为A,     

方程根的解法探究

题目 已知函数f（x）=lnx＋x,g（x）=a/x-x-1（a〉0）. （Ⅰ）求函数F（z）=f（x）＋g（x）在（0,e]上睁最小值; （Ⅱ）对于正实数m,方程2mf（x）=x^2有唯一实数根,求m的值． 这是高三周测试题,对于第（Ⅰ）问学生都能掌握,第（Ⅱ）问能做完整的学生却寥寥无几,但是呈现了学生从不同思维角度的三种常见解法,笔者将过程整理如下：     

一道竞赛题的解法分析与命题背景

2009年浙江省高中数学竞赛试题第20题： 题目设函数f（x）=3ax^2-2（a＋b）x＋b，其中a〉0，b为任意常数．证明：当0≤x≤1时，有｜f（x）｜≤max{f（0）,f（1）}．     

2002年全国高中数学联赛第15题的讨论

2002年全国高中数学联赛第15题： 设二次函数：f（x）=ax^2＋b＋c（a,b,c∈R,a≠0）满足条件：（1）当x∈R时,f（x-4）=f（2-x）,且f（x）≥x;（2）当x∈（0,2）时,f（x）≤（x＋1/2）^2;（3）f（x）在R上的最小值为0．求最大的m（m〉1）,使得存在t∈R,只需x∈[1,m],就有．f（x＋t）≤x．     

f（x）（x∈A）的值域为[m，M]与m≤f（x）≤M对x∈A恒成立不等价——剖析一道全国高考题的别解

（2008年全国高考全国卷Ⅱ文21） 设a∈R,函数f（x）=ax^3-3x^2． （1）若x=2是函数y=f（x）的极值点,求a的值; （2）若函数g（x）=f（x）＋f＇（x）,x∈[0,2],在x=0处取得最大值,求a的取值范围．