“复式双曲线”型问题探微

<正>对在同一直角坐标系中的两条不同的双曲线,我们定义为"复式双曲线".以"复式双曲线"为载体的试题,形式新颖,结构独特,融入丰富的数学知识和数学思想,着重对思维能力、探究能力的考查.本文从近两年的中考试题中采撷几例,从不同角度入手,归纳出这类问题的解题策略,以飨读者.一、求规则图形的面积例1(2013永州)如图1,两个反比例函     

＂复式双曲线＂型问题探微

对在同一直角坐标系中的两条不同的双曲线,我们定义为“复式双曲线”．以“复式双曲线”为载体的试题,形式新颖,结构独特,融入丰富的数学知识和数学思想,着重对思维能力、探究能力的考查．本文从近两年的中考试题中采撷几例,从不同角度人手,归纳出这类问题的解题策略,以飨读者．     

从一道试题谈起

2007年初,某重点中学的期末考试中,有如下一道试题(记为例1):"是否存在同时满足下列条件的双曲线,若存在,求其方程;若不存在,说明理由.(1)渐近线方程为x 2y=0和x-2y=0;(2)点A(5,0)到双曲线上动点P的距离的最小值为√6".从这一道试题说明,近年来的数学考试中,有两个热点问题:一是利用共轭双曲线系求双曲线方程,二是探索性问题.     

2023年全国高考乙卷解析几何试题解析与背景探讨

通过不同视角对2023年全国高考乙卷解析几何试题进行解析，体会不同解法的优劣.以调和性质为切入点分析试题的命制背景，并将相关命题推广到双曲线与抛物线，明晰其通性规律在知识体系内的统一性与整体性.     

伴着2010年高考走近双曲线

尽管双曲线在高考课标卷试题中要求有所降低,但仍是高考的热点内容之一,在各地每年的高考试卷中都会在题目中出现。选择题、填空题中的双曲线问题通常考查双曲线的定义、方程与基本性质,本文以2010年各地高考试题为例对双曲线考点进行梳理。一、求双曲线的方程     

归类高考中的双曲线问题

双曲线是解析几何中的主干知识,在高考中也具有重要地位,通常涉及的双曲线考点主要有两个方面:一是双曲线的定义与性质的应用;二是双曲线与其他知识的交汇.下面以2008年高考试题为例进行分析.     

一道北大保送生考题的再探究

一、试题再现及评析2011年北大保送生考试第一题为:点P为双曲线上任一点,PQ为双曲线在点P处的切线,F₁、F₂为双曲线的焦点.求证:PQ平分∠F₁PF₂.     

圆锥曲线一类斜率乘积为定值、动点轨迹为圆的优美性质

针对一道双曲线试题,首先对题目背景进行探究,得到双曲线中的结论,接着把结论类比推广到椭圆中,最后研究了这些结论的逆命题.所得结果简洁、对称、优美.     

从一道试题谈起

2007年初,某重点中学的期末考试中,有如下一道试题（记为例1）：“是否存在同时满足下列条件的双曲线,若存在,求其方程;若不存在,说明理由．（1）渐近线方程为x＋2y=0和x-2y=0;（2）点A（5,0）到双曲线上动点P的距离的最小值为√6”．从这一道试题说明,近年来的数学考试中,有两个热点问题：一是利用共轭双曲线系求双曲线方程,二是探索性问题．     

2004年高考"解几试题"的分析与反思

一试题概述2004年高考数学全国卷(之一)理科第21题和文科第22题是相同的"解析几何试题",并且依然是融入平面向量知识的:设双曲线C:x~2/a~2-y~2=1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B.(Ⅰ)求双曲线C的离心率e的取值范围;(Ⅱ)设直线l与y轴的交点为P,且,求     

为什么曲线y=Ax+B/x(B≠0)是双曲线

文章深入研究一道强基计划试题，得到了结论“曲线■是双曲线”,同时给出了其多种证法及该双曲线的性质.     

一道中考试题的延拓及证明

文章从一道中考试题的选项提出问题,追寻问题本源,借助坐标法给出相应结论,并进一步推广得到等轴双曲线的一条性质.     

聚焦双曲线离心率的求法

双曲线的离心率是双曲线性质的一个重要特征量,对研究双曲线几何性质有很大的作用．下面结合高考试题,探讨一下离心率的常规求法．     

求解椭圆与双曲线离心率问题的常用方法

<正>平面内到定点的距离与它到定直线的距离之比为一个常数e,当e∈(0,1)时,轨迹是椭圆;当e=1时,轨迹是抛物线;当e∈(1,+∞)时,轨迹是双曲线.其中e是圆锥曲线的离心率.离心率是刻画椭圆扁平程度、双曲线开阔程度的常用量.在圆锥曲线的定义中,根据离心率的大小可判断曲线的类型.因此,在各类试题中有关求离心率的问题比比皆是,特别是高考试题,对求椭圆与双曲线离心率也格外青睐.下面,我们就来寻找求解这类问题的解题方法和规律.     

对2022年高考数学北京卷第19题的探究

文章通过对2022年全国高考数学北京卷的一道圆锥曲线试题进行多解探究，挖掘出了试题蕴含的定值结论，并将相关结果引申到了双曲线中.     

双曲线两渐近线的夹角问题

对于双曲线两渐近线的夹角问题(以下简称"夹角"),目前存在几种不同的看法.第一种意见认为:双曲线两渐近线为直线,因此"夹角"应符合课本中两直线夹角的规定,即应是锐角(或者直角).若设双曲线的标准方程为     

近两年与圆有关的高考数学试题展析

近年来,随着新课改的深入开展,全国各地的高考试题中与圆有关的考题频频出现,并呈上升趋势．江苏省从2008年开始的新课标高考已明确双曲线和抛物线为A级要求（了解）,即要求学生对双曲线和抛物线的含义有最基本的认识,并能解决相关的简单问题．     

千“汤”百变 慧眼识“药”——谈2019年全国Ⅰ卷理科解析几何题的内在联系

<正>新的课程标准改革把数学核心素养贯穿课程标准始终,突出课程对评价、考试、命题指导.李尚志教授在2019年高考结束后,这样说:"什么是核心素养?能够从不同的汤中识别共同的药,这就是核心素养."圆锥曲线中的椭圆、双曲线、抛物线之间存在诸多类似的性质以及内在联系,相关试题常考常新、千"汤"百变.本文针对高考真题的研究,通过探究和推广,寻找2019年全国I卷中解析几何题之间具有的共同性质,意在今后的日常教学和解题教学过程中,进一步引导学生利用类比     

以图启算巧化归——对2013年南京三模第11题的探究

1试题再现 （2013年南京三模第11题）在平面直角坐标系xOy中,点F是双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0）的右焦点,过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为A,延长FA与另一条渐近线交于点B.若→FB=2→FB,则双曲线的离心率为__.     

对圆锥曲线一个共性的探究

椭圆、双曲线、抛物线是中学平面解析几何研究的重要内容,它们的一些共性也成为各省(市)命制高考次压轴试题的重要素材.尽管这三种曲线存在着有心与无心、有界和无界的差异,但它们也有很多共性,使其成为命制高考试题取之不尽的源泉.本文从一道试题出发,展示圆锥曲线一个共性的探究历程.