转化思想在解题中的应用

<正>数学教学中及时渗透数学思想,是我们数学教师的共识.本文以"转化思想"为例,进行一次专题复习.一、复杂向简单转化例1 梯形 ABCD中,AD//BC,AB=CD,对角线AC、BD相交于O点, 且AC⊥BD,AD=3,BC=5,求AC的长.分析此题根据梯形对角线互相垂直的特点可以通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形,使问题得以解决.解如图1,过 D作DE//AC交BC的延长线于E,则得AD=CE、 AC=     

浅谈几何图形的处理

几何教学以培养学生的空间想象能力 ,逻辑思维能力和计算能力作为出发点 ,对图形的处理 ,一方面通过对图形添加辅助线、辅助面 ,构造出新的图形 ,另一方面指对图形的平移、分割、补全、折叠、展开等变形 ,通过以上两种方式的处理可以使立体图形平面化 ,复杂图形简单化 ,从而使解题过程简捷明快 .1　平移问题图 1例 1　如图 1,在梯形ABCD中 ,AD∥BC ,对角线AC ⊥BD ,且AC =6cm ,BD =8cm .求梯形ABCD中位线的长 .评析　把AC沿AD方向平移到DE的位置 ,AC与BD从“交叉”位置平移成了直角三角形的两条直角边 ,由勾股定理得 ,BE =10cm…     

线段垂直平分线性质在解题中的应用

线段的垂直平分线(中垂线)的性质定理及其逆定理在解题中有着广泛的应用,现举例说明,供同学们参考.一、用于求线段长例1如图1,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E.若AB=14,△BCD的周长为22,求BC的长.分析:由DE是AC的垂直平分线,得DA=DC.则BD+DC=BD+DA=AB=14.又BC+BD+DC=22,故BC=22-(BD+DC)=22-14=8.(具体证明过程请读者自行完成,下同)二、用于求角的度数例2如图2,AB⊥CD于B,AD的垂直平分线CF分别交AB、AD于E、F,EB=EF,求∠A的度数.分析:由CF是AD的垂直平分线想到连结DE,则AE=DE,故∠A=∠1…     

思想来领航,“勾股”有方向

数学思想是数学知识的灵魂,是解题的金钥匙.在利用勾股定理解题时,要注意结合利用一定的数学思想.现举例介绍如下: 一、方程思想 例1(宁波市中考题)如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AD=9,BD=4,则AC=____. 分析:显见,△ABC、△ACD、△BCD都是直角三角形.从Rt△ACD入手,要求AC的长,关键在于求CD的长.先用CD的代数式分别表示AC和BC,再根据AC、BC和AB之间的平方关系,能构造一个关于CD的方程.     

“三线合一”性质的逆命题及其应用

等腰三角形“三线合一”性质 :等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。它包含以下三个真命题 :在△ ABC中 (如图 1) ,(1)若 AB=AC,AD⊥ BC,那么 BD=CD,∠ 1=∠ 2 ;(2 )若 AB=AC,BD=DC,那么 AD⊥ BC,∠ 1=∠ 2 ;(3)若 AB=AC,∠ 1=∠ 2 ,那么 AD⊥ BC,BD=DC。可以证明 ,上述三个命题的逆命题都是真命题。综合上述六个命题 ,可知 :在△ ABC中 ,如果 1AB=AC;2 AD⊥ BC;3BD=DC;4∠ 1=∠ 2四项中任意两项成立 ,那么其余两项一定成立。下面举例说明等腰三角形“三线合一”在解题中的应用。例 1.已知 :…     

画个圆,难变易(初三)

解题的本质是转化,本文介绍构造辅助圆,从而转换思维角度,使有些数学问题迎刃而解.1.求线段的长度例1如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,且AB=AC=AD=a,CD=b,求BD的长.解以A为圆心,AB为半径作辅助圆⊙A,则C、D必在⊙A上,延长DA交⊙A于点E,连结BE,     

请看辅助圆的作用

1．据圆的定义作辅助圆 例1如图1,四边形ABCD中,AB／／CD,AB=AC＝AD=P,BC=q,求BD的长．     

运用补体法巧解立体几何问题

补体法就是将原已知几何体进行修补,使它成为熟悉的几何体,如正方体、长方体、平行六面体、锥体、台体、球体等等,再利用新图形特有的性质,探求解题途径的思想方法.本文例谈补体法在解立体几何问题中的应用. 一、求距离例1 若一个四面体相对棱长相等,其长分别为a、b、c,试求相对棱间的距离. 解:根据题意,将原四面体补成长方体如图1,则长方体相对面间的距离即为四面体ABCD相对棱间的距离,设AB=CD=a,AC=BD=b,AD=BC=c,长方体     

"整体思想"在图形中的运用

所谓整体思想,是在解数学题时,从大处着眼,由整体入手,把一些貌似彼此独立实质上紧密联系的量作为整体来考虑的思想方法.这种思想方法在解决实际问题时有着十分重要的作用,常可使许多按常规方法不可解或比较难解的问题得到快速便捷的解答,举例说明如下:例1如图1,在△ABC中,AC=6cm,BC=4cm,DE垂直平分AB.求△BDC的周长.解:∵DE垂直平分AB,∴AD=BD.∴BD DC=AD DC=AC=6.故△BDC的周长=(BD DC) BCAEB DC图1=AC BC=6 4=10(cm).评析:按常规解法,求出△BDC三边的长后,就可求得△BDC的周长.但本题根本求不出BD、DC的长.从而…     

勾股定理及其逆定理的综合应用

为提高综合运用勾股定理及其逆定理解计算题和证明题的能力,现举数例说明如下:一、求长度例1 如图1,在△ABC中,AB=13,BD=5,AD=12,AC=15,求BC? 解:∵AD2 BD2=122 52=132=AB2,由勾股定理的逆定理知:∠ADB=90°,从而AD⊥BC,在Rt△ADC中,由勾股定理得:DC2=AC2-AD2=152-122=81,∴DC=9,从而BC=     

旋转变换在解题中的运用

<正>旋转是平面几何三大基本变换之一,它在中考命题和解题中有着广泛的应用.本文利用旋转来解决与等腰三角形有关的求角度、求线段长度、求最值等问题,供读者参考.一、 求角度例1 如图1,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为△ABC内一点,连结AD,DC,BD.若CD=1,AD=2,BD=3,求∠ADC的度数.解析 如图1,将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△AEB,连结ED,则得等腰Rt△AED.     

巧作外接圆 妙解几何题

圆是一种基本图形,也是一种重要的辅助线.在一些有关三角形和多边形的问题中,若能作出三角形或多边形的外接圆,并恰当利用圆的性质,可使解题过程简化. 一、题目中有过同一点的三条线段相等的条件时,一般可作辅助圆例1如图1,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=AC=AD=a,BC=b,求BD的长.分析:题目中有过A点的三条线段AB、AC、AD相等的条件,可考虑过B、C、D三点作辅助圆.解:以A为圆心,a为半径作圆,延长BA交⊙A于E,连结DE.∵AB=AC=AD=a,∴B、C、D均在⊙A上.∵AB∥CD,∴DE=BC.∴DE=BC=b.又∵BE是⊙A的直径,∴由勾股定理,得…     

等腰三角形性质应用举例

一、与等腰三角形有关的计算 例1，如图1，已知在AABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB．求∠A．     

例谈用勾股定理求线段的长

近年来,各地的中考试卷中,出现了大量的求四边形中某一条线段长的选择和填空试题,下面本文就以2011年的两道中考试题为例,详细阐述如何构造直角三角形从而应用勾股定理来求线段的长.题目:(2011年呼和浩特市)9、如图1所示,四边形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2.则BD的长为     

利用轴对称解题

<正>轴对称是一种数学美,对我们的视觉有很强的感染力.解题时充分利用条件中显性的或隐形的轴对称,常常能起到出奇制胜的效果.例1如图1,在ABC中,AB=AC,∠A=100°,BD为∠B的平分线,探究AD、BD、BC之间的数量关系.分析由BD是角平分线想到利用轴对     

例说四种常用的几何变换

在平面几何中,有时问题的条件比较分散,这会给解决问题带来困难.认真挖掘和把握问题的本质特征,利用几何变换将条件相对集中,可较为方便地解决问题,起到事半功倍的效果.这里介绍几种常见的几何变换:一、平移变换例1已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=4,对角线AC=5,BD=3.试求此梯形     

都是画错图惹的祸

例题1已知三角形ABC中,AB=7,BC=5,AC=3,AD为BC边上的高,求BD.解:如图,设BD=x,则CD=5-x,据勾股定理得:AB2-BD2=AC2-CD2,即     

运用方程思想解有关角度问题

有关三角形的角度计算是三角形一章中重要问题之一,解决这类问题的方法虽因题而异,但利用列方程求解不失为一种好方法。现举几例加以说明. 例1 已知:如图1,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数. 解设∠A=x°,∵AD=BD, ∴∠ABD=∠A=x°,∵∠BDC=∠ABD+∠A,∴∠BDC=2x°, ∵AB=AC,BD=BC,∴∠BDC=∠C=∠ABC=2x°. ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°, 即x+2x+2x=180°,∴x=36°∴△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°, 例2 已知:如图2,在△ABC中,AB=BD=AC,AD=CD,求△ABC各角的度数.解:设∠B=x°,∵AB=AC,AD=CD,∴∠C=∠DAC=∠B=x°,∴∠ADB=∠C+∠DAC=2x°,∵AB=BD,∴∠BAD=∠ADB=2x°,     

错在哪里

1 吉林前郭二中 王恩权 前郭三小 姬士平(邮编:131100)题 在四面体ABCD中.AB=CD=4,AC=BD=5,AD=BC=7,M、N分别为AB、CD的中点.求线段MN的长.     

相似形的定义、性质和判定(二)

一、知识要点1．相似三角形的定义、性质和判定．2．重心定理．3．应用相似三角形的判定、性质以及重心定理进行计算和论证．二、解题指导例1如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠DCA=∠ABC，AD=9cm，DB=3cm，求AC的长．（西安市，1993年）分析设AC=xcm，于是要求AC的长，只要根据已知条件和图形的性质列出关于X的方程即可．∠DCA=∠ABC，∠A公用，例2如图2，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，BE是AC边上的中线，BE交AD于G，且AD=9cm，BE=m，求S△ABC分析要求S。。。，只要求出BC的长、由题设易知，＊D一0已从而要…