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1.有2009张卡片,每张卡片一面为金色,另一面为黑色,且在一张长桌子上排成一排.开始时,所有卡片的金色面朝上.两个玩家站在桌子的同侧,且交替地进行操作.每次操作规则如下:选择相邻的50张卡片,且最左边的一张卡片的金色面朝上,其翻转卡片,使得金色面朝上的变为黑色面朝上,黑色面朝上的变为金色面朝上,并规定最后一个按上述规则操作的玩家获胜.问: 相似文献
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组合部分1.本届IMO第4题.2.设1000名学生围成一个圈.证明:存在正整数k(100≤k≤300),使得在此圈中存在相邻的2k名学生,满足前面的k名学生与后面的k名学生中包含女生的数目相同. 相似文献
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数论部分
1.求所有函数f:Z+→Z+,使得对于所有正整数m、n,均有(m^2+f(n))|(mf(m)+n). 相似文献
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数论部分1.求最小正整数n ,使得x31+x32 +… +x3n=2 0 0 2 2 0 0 2有整数解 . (乌兹别克斯坦提供 )解 :因为 2 0 0 2 ≡4 (mod 9) ,4 3 ≡1(mod 9) ,2 0 0 2=6 6 7× 3+1,所以 ,2 0 0 2 2 0 0 2 ≡4 2 0 0 2 ≡4 (mod 9) .又x3 ≡0 ,± 1(mod 9) ,其中x是整数 ,于是 ,x31,x31+x32 ,x31+x32 +x33 4 (mod 9) .由于 2 0 0 2 =10 3 +10 3 +13 +13 ,则2 0 0 2 2 0 0 2 =2 0 0 2× (2 0 0 2 667) 3=(10× 2 0 0 2 667) 3 +(10× 2 0 0 2 667) 3 +(2 0 0 2 667) 3 +(2 0 0 2 667) 3 .所以 ,n =4 .2 .本届IMO第 4题 . (罗马尼亚提供 )3.设p1,p2 … 相似文献
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第48届IMO预选题(三) 总被引:1,自引:1,他引:0
几何部分
1.本届IMO第4题.
2.已知等腰△ABC,AB=AC,M为边BC的中点,X是△ABM外接圆的劣弧MA^上的一个动点,T是∠BMA内的一点,且满足∠TMX=90°,TX=BX.证明:∠MTB-∠CTM的值不依赖于点X. 相似文献
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几合部分
1.设锐角△ABC边BC、CA、AB上的高的垂足分别为D、E、F,直线EF与△ABC的外接圆的一个交点为P,直线BP与DF交于点Q.证明:AP=AQ. 相似文献
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1.已知n为正整数.求满足下述性质的最小正整数k:给定任意实数a1,a2,…,ad,且a1+a2+…+ad=n(0≤ni≤1,i=1,2,…,d),总能将这些数拆分为k组(某些组可以是空的),使得每组中的数的和最大为1. 相似文献
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几何部分
1.本届IMO第4题.
2.已知△ABC的外接圆Г,边AB、AC的中点分别为M、N,圆Г不含点A的弧BC的中点为T,△AMT、△ANT的外接圆与边AC、AB的中垂线分别交于点X、Y,且X、Y在△ABC的内部,若直线MN与XY交于点K,证明:KA=KT. 相似文献
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组合部分
1.考虑平面上边平行于坐标轴的矩形(长和宽均大于0),并称这样的一个矩形为一个“箱子”.如果两个箱子有公共点(包括箱子的内部或边界上的公共点),则称两个箱子“相交”.求最大的正整数n,使得存在n个箱子B1,B2,…,Bn,满足Bi与Bj相交当且仅当i j±1(mod n). 相似文献
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1.本届IMO第1题.
2.已知梯形ABCD满足AB∥CD,在CB的延长线上有一点E,在线段AD上有一点F,使得∠DAE=∠CBF.设直线CD、AB与朋分别交于点I,J,线段EF的中点为K,且K不在直线AB上,证明:点I在△ABK的外接圆上的充分必要条件是点K在△CDJ的外接圆上. 相似文献
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一道IMO预选题的推广 总被引:1,自引:0,他引:1
题目 设△ABC是锐角三角形,外接圆圆心为D,半径为R,AO交△BOC所在的圆于另一点A’,BO交△COA所在的圆于另一点B’,CO交△AOB所在的圆于另一点C’.证明: 相似文献
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题目 对于整数m,在{1,2,3}中存在唯一的一个数t(m),使得m+t(m)是3的倍数.函数f:Z→Z满足f(-1)=0,f(0)=1,f(1)=-1,且对于所有满足2n〉m的非负整数m、n,有 相似文献
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代数部分
1.实数列a0,a1,…定义如下:对于所有非负整数i,ai+1=[ai]{ai},其中,a0是任意一个实数,[ai]表示不大于ai的最大整数,{ai}=ai-[ai].证明:对于足够大的i,有ai=ai+2.[第一段] 相似文献
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第37届IMO预选题第16题为:
问题 设△ABC是锐角三角形,外接圆圆心为O,半径为R,AO交△BOC所在圆于另一点A’,BO交ACDA所在圆于另一点B’,CO交△AOB所在圆于另一点C’.证明: 相似文献
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