1993年亚太地区数学奥林匹克试题

1.如图,四边形ABCD各边相等,且匕ABC为600.直线l过D点,但与四边形A方CD。~max(1。.、,},}。.}证明:手成,+‘·,…,}‘。)}.不相交(D点除外).1与AB,BC的延长线分别交于E,F.M是CE与AF的交点.证明:CAZ一CM x CE.2.对于实数x(0簇x镇100),求函数f(二)一〔二〕+〔2二二+巨粤〕 O 十〔3x习+g4x〕所取的不同整数值的个数.3.设f(x)~公了十a二x”十…十a。,g(x)一‘。一:工”一’十‘.犷+··一向均是实系数的非零多项式,且对于某实数r有g(二)一(x+:)f(.T).如果a=max({a,},}a二{,…,}a。}) 4.求出使得方程 x,十(2+x)’十(2一x)’一0具有…     

2005年莫斯科数学竞赛预赛题(八年级组2005年1月22日举行)

11在对49开方时可按下列方法进行:即49=4+9.那么是否还有其他两位数也能用类似方法来进行开方?请指出所有这种两位数.21解方程:2x+1x2+x2+1x22-x2+1x2x+1x2=(x+2)2.31线段AB与CD既不平行也不相交.P点在AB上,而Q点在CD上.线段AQ,BQ,CP及DP的中点分别为K,L,M及N.试证明线段KL,MN和PQ相交于一点.415×5的正方形内有25个方格,至少要涂黑几个方格才能使正方形内的任何一个3×3的正方形里面正好都出现4个黑格?51在凸四边形ABCD内,∠BAC=∠ADC,而CK则是△ACD的角平分线.证明如果KD=AB,那么直线AC将平分线段KB.61彼得生日那天…     

第48届IMO试题

第一天1.给定实数a1,a2,…,an.对每个i(1≤i≤n),定义:di=max{aj|1≤j≤i}-min{aj|i≤j≤n},且令d=max{di|1≤i≤n}.(1)证明:对任意实数x1≤x2≤…≤xn,有max{|xi-ai||1≤i≤n}≥2d.(2)证明:存在实数x1≤x2≤…≤xn,使得式①中的等号成立.(新西兰供题)2.设A、B、C、D、E五点中,四边形ABCD是平行四边形,四边形BCED是圆内接四边形.设l是通过点A的一条直线,l与线段DC交于点F(F是线段DC的内点),且l与直线BC交于点G.若EF=EG=EC,求证:l是∠DAB的平分线.(卢森堡供题)3.在一次数学竞赛活动中,有一些参赛选手是朋友,朋友关系是相互的.如…     

2013罗马尼亚大师杯数学竞赛

第一天 1.任给正整数a,定义整数数列x1,x2,…,满足 x1=a,xn=2xn-1+1(n≥1). 若yn=2xn-1,试确定整数k的最大值,使得存在某个正整数(a)满足y1,y2,…,yk均为质数. 2.是否存在R→R上的函数对(g,h)满足如下性质:若对函数f:R→R使得对所有的x∈R,有 f(g(x))=g(f(x)), f(h(x))=h(f(x)),则f只能为恒同函数,即f(x)≡x? 3.已知四边形ABCD内接于☉O,直线AB与CD交于点P,AD与BC交于点Q,对角线AC与BD交于点R.若M是线段PQ的中点,K为线段MR与☉O的交点,证明:☉O与△KPQ的外接圆相切.     

一道中考题的多证与思考

<正>原题(2014年临沂中考题)问题情境如图1,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.探究展示(1)证明:AM=AD+MC;(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.拓展延伸(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,探究展示(1)、(2)中的结论是否成立?请分别作出判断,不需要证明.证明(1)方法一(补短法)如图1,延长MC到F,使CF=AD,连结     

向量三点共线结论的拓展与妙用

正结论1 P是平面OAB(OAB)上的一个动点,→OP=→x OA+→y OB(x,y∈R),若点P,A,B共线,则x+y=1;反之,若x+y=1,则点P,A,B共线.结论 1可作进一步推广:结论 2若点P与O落在直线AB的2侧,则有x+y1,反之也成立.证明设OP与AB所在的直线交于点P',则存在实数λ,使得→OP=λ→OP'且λ1.由上述定理     

数学奥林匹克集训班选拔考试试卷

(第一天1986午5月2日8:00~12,30) 1.四边形A B CD内接于圆。△B CD,△ACD,△ABD,△ABC的内心依次记为I,,I。,z。,z。.证明:I,z。Icl。是矩形. 2·a;,a:,…,an;bl,bZ,…,石。是实数. 证明:使得对任何满足劣:(22落…廷xn的实数,不等式:‘簇Eb,:,都成立的充 an乙 i二1分必要条件是 kk 刀ai)刀bi=l(无=1,2,…,n一1)1=l且Ea1二1 3.自然数A的十进制表示为a。a。_1…a。.令f(A)=2”a。+2“一’a,+…+Zan_:+an.记Al=了(A),A,十,=了(A‘)(云二1,2,…).证明: (i)必有自然数无,使得Ak*;二Ak; (11)若A=298.,问上述的Ak等于多少,并说明理由…     

数学奥林匹克问题

本期问题 初343已知x、y为正实数,n∈N,且n≥2.证明: n√x+(2n-1)y/x+n√y+(2n-1)x/y≥4. 初344 在边长为2的正方形ABCD中,动点E、F均在边AD上,满足AE=DF,联结CF与对角线BD交于点Q,联结AQ、BE交于点P.求DP的最小值. 高343设a、b、c＞0,且abc=1,λ(λ≥1)为常数.证明:a1/a+b+λ+1/b+c+λ+1/ρ+δ+λ≤3/2+,当且仅当a=b=c=1时,上式等号成立.     

数学问题(四)

1.证明凸四边形ABCD为梯形的充分必要条件是 5 1 nA·sinC=sinB·sinD.2.确定多项式厂(x)一a扩十b扩一’ 1中的系数a和西,使厂(x)能被(x一1)“所整除3.给定一实数数列{。:},其中。。为正实数,且2 21.十u:、1-~i几干乏九〔{02,3…}(1)满足证明不论n为任何自然数,存在一个整数a。     

第46届IMO预选题(上)

代数部分1.求所有次数为2且首项系数为1的整系数多项式P(x),使得存在一个整系数多项式Q(x),满足P(x)Q(x)的所有系数均为±1.2.设R+表示正实数集.求所有的函数f:R+→R+,使得对所有正实数x、y,有f(x)f(y)=2f(x+yf(x)).3.已知实数p、q、r、s满足p+q+r+s=9,p2+q2+r2+s2=21.证明:存在(p,q,r,s)的一个排列(a,b,c,d),使得ab-cd≥2.4.求所有的函数f:R→R,对于所有实数x、y,满足f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+2xy+1.5.本届IMO第3题.几何部分1.已知△ABC满足AB+BC=3AC,I为△ABC的内心,内切圆与边AB、BC的切点分别为D、E.点D、E关于点I的对称点…     

巧用公式■=(■+λ■)/(1+λ)妙解向量题

1　定理定理 1　若A、B、C三点共线 (如图 1) ,且AC=λCB ,O为任意一点 ,则有OC =OA+λOB1+λ .证明　∵OC =OA +AC =OA +λCB=OA+λ(OB- OC) ,　　　　图 1∴OC =OA+λOB1+λ .变式　若A、B、C三点共线 ,且AC=mn CB ,O为任意一点 ,则有OC =nOA +mOBn+m .定理 2　若OC =λOA +μOB　 (λ ,μ∈R) ,则A、B、C三点共线的充要条件是λ +μ =1.证明　 (必要性 )如果A、B、C在一直线上 ,则存在一个实数m ,使得AC =mCB ,由定理 1得OC =OA +mOB1+m =11+m OA+m1+m OB .令λ=11+m,μ =m1+m,所以λ+μ =1.(充分性 )如…     

关注正方形的探究问题

正方形的探究问题近年来在中考中屡见不鲜.这类问题以正方形为框架,将探究问题融入其中.解答时,要注意灵活利用正方形性质,借“全等三角形”之力.现举例介绍如下: 例1(梅州市中考题)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE. (1)求证:CE=CF; (2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?     

数学奥林匹克高中训练题(87)

第一试一、选择题(每小题6分,共36分)1.已知sin2005x+cos2005x=1.则对任意k>0,必有().(A)sinkx+coskx=1(B)sinkx+coskx>1(C)sinkx+coskx<1(D)sinkx+coskx的值不确定2.设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F,点P在y轴上,直线PF交椭圆于点M、N,PM=λ1MF,PN=λ2NF.则实数λ1+λ2=().(A)-2b2a2(B)-b2a2(C)-2a2b2(D)-a2b23.指数函数y=ax和对数函数y=logax(其中a>0,a≠1)的图像分别为C1、C2,点M在曲线C1上,线段OM(O为坐标原点)交曲线C1于另一点N.若曲线C2上存在一点P,且点P的横坐标与点M的纵坐标相等,点P的纵坐标是点N横坐标的2倍…     

一道联考题的解法探究

题目:(湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考理第20题)知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的右焦点F,右顶点A,右准线x=4且|AF|=1. (1)求椭圆C的标准方程; (2)动直线l:y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P,且与右准线相交于点Q,试探究在平面直角坐标系内是否存在点M,使得以PQ为直径的圆恒过定点肘?若存在,求出点肘坐标;若不存在,说明理由.     

从一道高考题谈起

2012年福建理科卷19题为: 如图,椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e =1/2.过F1的直线交椭圆于A,B两点,且△ABF2的周长为8. (Ⅰ)求椭圆E的方程; (Ⅱ)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.     

数学竞赛问题(13)

482.设k是一个给定的实数,试求出所有的实数f:R→R,使得对于任何的x,y∈R,都有f(x2?y2?f(?k))=xf(x)?yf(y)+k.483.求出所有的整数对(x,y),使得x3?y3?x2y+xy2+1002x2?1002y2?3x+3y=2004.注本题于2004年7月提出并解答于江苏省扬中市.484.设k是一个给定的实数,x和y是实数,且2x2+2y2?5xy+x+y+k=0,试求x+y,xy,x2+y2及x2+y2?xy这四个数的取值范围(值域).485.求出适合于(y?2)x2+yx+2y=0的所有整数对(x,y).486.求出所有的整数n,使得20n+2整除2003n+2002.487.(1)设k是一个给定的实数,试求出所有的函数f:R→R,使得对于任何的x,y∈R,都有f(x3?y3+k)=…     

从一道题谈起

最近,我听了一位教师课题为《曲线方程的求法》的一节课.其中一道例题:求圆心在(2,1),且与x2+y2?3x=0的公共弦所在直线过点(5,?2)的圆的方程.解由已知可设圆的方程为x2+y2?4x?2y+F=0.(1)又x2+y2?3x=0,(2)(1)?(2)得?x?2y+F=0.而直线?x?2y+F=0过点(5,?2),把(5,?2)代入?x?2y+F=0,得F=1.因此所求圆的方程为:x2+y2?4x?2y+1=0.评课会上,有人提出:(1)?(2)所得?x?2y+F=0一定是相交弦吗?若不是,它又是什么呢?本文就此展开讨论.不失一般性,设两个不同的圆22O1:x+y+D1x+E1y+F1=022(D1+E1?4F1>0).(3)22O2:x+y+D2x+E2y+F2=022(D2+E2?4F2>0).(4)(3…     

推荐一道综合题

已知抛物线y=x²+kx+k-1.（1）求证:无论k为什么实数,抛物线与x轴总相交于一定点;（2）设抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A（x_A,0）,B（x_B,0）两点,且满足x_AB<0,S_△ABC=6,求此二次函数的解析式;（3）在（2）的条件下,y轴负半轴上是否存在一点D,使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点D的坐标及     

教师的经验要顺从学生的思维——一道测试题的解题教学实践与思考

1 试题概况 在一次高二的检测考试中,遇到了这样一道压轴题:已知椭圆C:x/a2+y/b2=1(a＞b＞0),圆O:x2+y2=b2,点A、F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是圆O上的动点. (1)若P(-1,√3),PA是圆O的切线,求椭圆C的方程; (2)若PA/PF是常数,求椭圆C的离心率; (3)当b=1时,过原点且斜率为k的直线交椭圆C于D、E两点(其中点D在第一象限内),它在x轴上的射影为点G,直线EG交椭圆C于另一点H.问是否存在正实数a,使得对于任意k＞0,都有DE上DH?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.     

一题偶得

正1.问题的提出已知f(x)=ax~2+bx+c(a≠0),且方程f(x)=x无实数解,下列命题:①方程f[f(x)]=x也一定没有实数解;②若a0,则不等式f[f(x)]x对一切实数x都成立;③若a0,则必存在实数x_0,使f[f(x_0)]x_0;④若a+b+c=0,则不等式f[f(x)]