判别式的应用

知识链接　　①一元二次方程根的判别式Δ >0 方程有两个不相等的实数根 ;②Δ =0 方程有两个相等的实数根 ;③Δ <0 方程没有实数根 .一、不解方程 ,判断一元二次方程根的情况例 1　方程ｘ2 -ｘ + 2 =0的根的情况是 (　　 ) .(Ａ)有两个不相等的实数根(Ｂ)有两个相等的实数根(Ｃ)没有实数根(Ｄ)不能确定 (2 0 0 1年辽宁省大连市中考题 )分析　∵　Δ =(-1) 2 -4× 1× 2 =-7<0 ,∴　给定方程没有实数根 .故应选 (Ｃ) .例 2　已知关于ｘ的一元二次方程ｍｘ2 -2 (ｍ + 1)ｘ +ｍ -2 =0 (ｍ >0 ) .求证 :这个方程有两个不相等的实数根 .(2 0…     

方程综合题

方程综合题是指以一元二次方程为中心的初中代数方程的综合题 .它涉及方程、方程组、判别式、根与系数的关系、函数等知识点 .以灵活的变换 ,丰富的转化思想为特征 .它是中考命题的一个热点 .例 1　已知关于ｘ的一元二次方程ｍｘ2 -(2ｍ -1 )ｘ +ｍ -2 =0 (ｍ >0 ) .(1 )求证 :这个方程有两个不相等的实数根 ;(2 )如果这个方程的两个实数根分别为ｘ1、ｘ2 ,且 (ｘ1-3 ) (ｘ2 -3 ) =5ｍ ,求ｍ的值 . (2 0 0 0年上海市中考题 )分析　 (1 )要证明已知的一元二次方程有两个不相等的实数根 ,只要证明判别式Δ >0 ;(2 )运用根与系数的关系 ,列出关…     

一元二次方程中考试题精选(Ⅰ)(一元二次方程、根的判别式、根与系数的关系)

一、填空题1 当时 ,方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0是一元二次方程 . (2 0 0 1年安徽省合肥市中考题 )2 一元二次方程ｘ2 + 2ｘ + 1=0的根的判别式是. (2 0 0 1年湖南省长沙市中考题 )3 一元二次方程ｘ2 =ｘ的两根之和与两根之积分别是 . (2 0 0 1年青海省中考题 )4 若方程ｘ2 -3ｘ +ｍ =0的一个根是 1,则它的另一个根是 ,ｍ的值为 .(2 0 0 1年江苏省常州市中考题 )5 如果ｘ1、ｘ2 是方程ｘ2 -3ｘ + 1=0的两个根 ,那么代数式 (ｘ1+ 1) (ｘ2 + 1)的值是 .(2 0 0 1年上海市中考题 )6 若方程 (ｘ -1) (ｘ -2 ) =0的两根为ｘ1、ｘ2 ,且ｘ1>ｘ2 ,则ｘ…     

《一元二次方程》2000年中考题选登

一、填空题1 一元二次方程 (ｘ - 1) 2 =2的根是 . (福建省莆田市 )2 一元二次方程ｘ2 + 4ｘ - 12 =0的根是 . (吉林省 )3 方程ｘ2 + 3ｘ - 40 =0的根的判别式Δ =. (四川省 )4 关于ｘ的一元二次方程ｘ2 - 2ｘ + 3=0的根的情况是 . (云南省曲靖市 )5 若关于ｘ的方程ｘ2 + 2ｘ +ｍ =0有两个相等的实数根 ,则ｍ =.(宁夏回族自治区 )6 关于ｘ的一元二次方程ｘ2 + 2ｋｘ +ｋ - 1=0的根的情况是 . (内蒙古包头市 )7 若关于ｘ的一元二次方程ｍｘ2 - 2 (3ｍ - 1)ｘ + 9ｍ - 1=0有两个实数根 ,则ｍ的取值范围是 . (贵州省贵阳市 )8 如果方程ｘ2 -…     

含字母系数的一元二次方程问题错解析因

含字母系数的一元二次方程问题历来是各地中考的热点 .由于这类问题情况比较复杂 ,且条件具有一定的隐含性 ,求解时稍有不慎 ,就会出现错误 ,导致失分 .为此 ,在解题时一定要认真审题 ,周密思考 ,挖掘其隐含条件 ,避免错误 .一、忽视二次项系数不等于零的条件例 1　关于ｘ的一元二次方程 (ｍ - 1)ｘ2- 2ｍｘ +ｍ =0有两个实数根 ,则ｍ的取值范围是 (　　 ) .(Ａ)ｍ >0　　　　　 (Ｂ)ｍ≥ 0(Ｃ)ｍ >0且ｍ≠ 1(Ｄ)ｍ≥ 0且ｍ≠ 1(2 0 0 1年北京市崇文区中考题 )错解　由方程有两个实数根 ,得Δ =(- 2ｍ) 2 - 4ｍ(ｍ - 1)≥ 0 .解得ｍ≥ 0 .故…     

与一元二次方程有关的判断说理题

判断说理题是中考新题型———探索性问题的主要形式 ,它要求学生紧扣题设条件 ,对“是否存在”作出判断 ,并进行正确的推理 .解答过程一般遵循“三步曲” :假设“存在”———演绎推理———得出结论 (合理或矛盾 ) .例 1　已知ｘ1、ｘ2 是关于ｘ的一元二次方程 4ｘ2 + 4 (ｍ - 1)ｘ +ｍ2 =0的两个非零实根 .问是否存在实数ｍ ,使ｘ1与ｘ2 同号 ?若存在 ,求出相应的ｍ的取值范围 ;若不存在 ,说明理由 . (2 0 0 1年四川省成都市中考题 )解　∵　ｘ1、ｘ2 是给定方程的两个非零实根 ,∴　Δ =[4 (ｍ - 1) ]2 - 4× 4ｍ2 ≥ 0 ,即ｍ≤12 .由根…     

函数综合题

近年来的中考综合题中 ,有一类试题成为热点 .它将《函数》一章的知识有机综合 ,以考查学生对知识的综合运用能力 .下面以 2 0 0 0年中考的函数综合题为例 ,介绍这类题型的解题思路 .例 1　已知关于ｘ的方程ｘ2 +( 2ｍ +1)ｘ+ｍ2 +2 =0有两个不相等的实数根 ,试判断直线ｙ =( 2ｍ -3)ｘ -4ｍ +7能否通过点Ａ( -2 ,4) ,并说明理由 .( 2 0 0 0年天津市中考题 )解　由Δ =( 2ｍ +1) 2 -4 (ｍ 2 +2 ) =4ｍ -7>0 ,得 2ｍ -72 >0 .所以 2ｍ -3 >12 >0 ,-4ｍ +7<0 .说明直线ｙ =( 2ｍ -3)ｘ -4ｍ +7通过第一、三、四象限 ,而点Ａ( -2 ,4)在第二象限…     

巧用方程根的定义解题

若ｘ1 ,ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的两根 ,则有ａｘ1 2 +ｂｘ1 +ｃ=0 ,ａｘ2 2 +ｂｘ2 +ｃ=0。若ａｘ1 2 +ｂｘ1 +ｃ=0 ,ａｘ2 2 +ｂｘ2 +ｃ=0 (ａ≠ 0 ) ,则当ｘ1 ≠ｘ2 时 ,ｘ1 ,ｘ2是方程的两不等实根 ;当ｘ1 =ｘ2 时 ,ｘ1 ,ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0的两个相等实根。灵活运用上述结论解涉及一元二次方程的有关问题 ,常能化繁为简 ,化难为易 ,举例如下 :例 1　若α ,β是方程ｘ2 + 2ｘ - 2 0 0 1 =0的两个实数根 ,则α2 + 3α +β等于 (　　 ) ( 2 0 0 1年山东省威海市中考题 )Ａ .- 2 0 0 0 ;　　Ｂ .2 0 0 0 ;　　Ｃ…     

一次函数与反比例函数相关联的问题

一次函数与反比例函数相关联的题目 ,在近几年中考试题中经常见到 .这类题目可分为已知一次函数求反比例函数、已知反比例函数求一次函数、已知一次函数与反比例函数的交点求解析式等几类问题 .例 1　已知反比例函数 ｙ =ｋ2ｘ和一次函数ｙ =2ｘ - 1 ,其中一次函数的图像经过 (ａ ,ｂ)、(ａ + 1 ,ｂ +ｋ)两点 .( 1 )求反比例函数的解析式 ;( 2 )已知点Ａ在第一象限 ,且同时在上述两个函数的图像上 ,求Ａ点的坐标 .( 2 0 0 1 ,吉林省中考题 )分析 :此题已知一次函数 ｙ =2ｘ - 1 ,且经过 (ａ ,ｂ)、(ａ + 1 ,ｂ +ｋ)两点 ,可先建立方程组求出…     

浅析一次函数解析式的求法

知识链接形如ｙ =ｋｘ +ｂ(ｋ、ｂ为常数 ,且ｋ≠ 0 )的函数叫做一次函数 .ｙ =ｋｘ +ｂ是一次函数的解析式 .一、根据一次函数的定义求解析式例 1　已知一次函数ｙ =-ｘ2ｍ2 -7+ｍ -2的图象经过第三象限 ,求函数的解析式 .　解　由定义 ,得 2ｍ2 -7=1.解得ｍ =± 2 .当ｍ =2时 ,函数ｙ =-ｘ的图象不经过第三象限 ,不合题意 ,舍去 ;当ｍ =-2时 ,函数ｙ =-ｘ -4的图象经过第三象限 .故所求函数解析式为ｙ =-ｘ -4 .二、应用待定系数法求解析式待定系数法是求函数解析式的基本方法 ,一般步骤是 :(1)根据已知条件设出含有待定系数的函数解析式 …     

应用根与系数的关系应注意的问题

一元二次方程的根与系数的关系是一个非常重要的知识点 ,应用十分广泛 .但是 ,应用这个定理时有几个应注意的问题 ,必须引起大家的重视 .第一 ,要注意对判别式的检验课本叙述根与系数的关系时说 :如果ａｘ2 +ｂｘ+ｃ=0 (ａ≠ 0 )的两个根是ｘ1、ｘ2 ,那么ｘ1+ｘ2 =-ｂａ,ｘ1·ｘ2 =ｃａ.请注意“如果……” ,它告诉我们 ,在实数范围内应用根与系数的关系的条件是 :方程必须有两个实根 ,即Δ≥ 0 .有的同学不注意对判别式的检验 ,往往在这里出错 .例 1　方程ｘ2 -(ｍ +1 )ｘ +3ｍ -5=0的两个实数根为α、β ,且α2 +β2 =1 6,求ｍ的值 .错解…     

一元二次方程问题错解例析

在解与一元二次方程相关的问题时 ,如果考虑问题不全面 ,思维欠缜密 ,就常常出现错误解答 .例 1　已知关于ｘ的方程 (ｍ - 1 )ｘ2 +2ｍｘ +ｍ =0有实数根 .求实数ｍ的取值范围 .错解 :∵方程 (ｍ - 1 )ｘ2 + 2ｍｘ +ｍ =0有实根 ,∴ ｍ - 1 ≠0 ,( 2ｍ) 2 - 4·(ｍ - 1 )·ｍ≥0 .解得ｍ≥0且ｍ≠1 .故所求的取值范围是ｍ≥0且ｍ≠1 .评析 :解答中忽视了两点 :一是已知条件没有肯定已知方程是二次的 ,而解答是按二次方程考虑的 ;二是方程有实根但题设没有指明有几个实根 ,因而有一个实根也应当是符合题意的 .正解 :分两种情况 :( 1 )当ｍ - …     

方程中极易忽视的条件

由于同学们在解关于ｘ的方程ａｘ +ｂ =0或ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0时 ,忽视了ａ≠ 0这个条件 ,因而造成了许多错解。例　关于ｘ的方程 (ｋ2 - 1 )ｘ2 + 2 (ｋ - 1 )ｘ + 2ｋ + 2 =0 ,当ｋ =　　时 ,为一元一次方程。误解 :当ｋ2 - 1 =0 ,即ｋ =± 1时为一元一次方程。分析 :本题由于忽视了一元一次方程ａｘ +ｂ =0中的ａ≠ 0 ,即在ｋ=1时 ,使一次项系数 2 (ｋ - 1 ) =0。正确答案为 :ｋ =- 1例　若一元二次方程 (ｍ - 2 )ｘ2 + ( - 2ｍ + 1 )ｘ +ｍ =0有两个不相等的实数根 ,则ｍ的取值范围是　　　。误解 :∵方程有两个不相等的实数根∴△ =( -…     

利用根与系数的关系解题

根与系数的关系问题是一元二次方程的重点内容 ,在中学数学中占有相当重要的地位 .利用它不但可以解决许多代数问题 ,还可以解决三角、几何问题 ,在中考解题中应用也很广泛 .现以各地中考题为例 ,介绍它的应用 .一、已知一根 ,求另一根例 1　已知方程 2ｘ2 -ｐｘ 62 =0有一根是 2 ,那么另一根是 . ( 1 999年四川省中考题 )解　设另一根为ｘ0 ,由根与系数的关系可得ｘ0 · 2=622 ,所以ｘ0 =3.二、求代数式的值例 2　先化简 ,再求值 :ｂａ ａｂ(ａ >0 ,ｂ >0 ) ,其中ａ、ｂ是方程ｘ2 -3 2ｘ 3=0的两个实数根 .( 1 999年辽宁省中考题 )解　 …     

一元二次方程中考试题精选(Ⅱ)(一元二次方程的应用、分式方程、简单的二元二次方程组)

一、填空题1 用换元法解分式方程 3ｘｘ2 - 1+ｘ2 - 13ｘ =52 时 ,如果设 3ｘｘ2 - 1=ｙ ,那么原方程可化为 .(2 0 0 1年福建省泉州市中考题 )2 若 2ｘ2 - 5ｘ+82ｘ2 - 5ｘ +1- 5 =0 ,则 2ｘ2 - 5ｘ- 1的值为 . (2 0 0 1年北京市东城区中考题 )3 方程组 ｘ2 - 4ｙ2 =3,ｘ +2ｙ =1的解是 . (2 0 0 1年辽宁省中考题 )4 甲走 12ｋｍ的时间等于乙走 15ｋｍ的时间 ,乙比甲每小时多走 1ｋｍ .若设甲每小时走ｘｋｍ ,则可列方程 . (2 0 0 1年江苏省苏州市中考题 )二、选择题1 解方程组 ｘ+ｙ=4 ,ｘｙ =2 时 ,将ｘ、ｙ看成是一个一元二次方程的根 …     

构造一元二次方程解一类和积问题

在数学竞赛中 ,会碰到一类与两数和与积有关的问题 ,文 [1]给出了这类问题的解 ,笔者通过思考 ,发现对其中的一些问题可以通过构造一元二次方程求解 .例 1　已知ｘ ,ｙ ,ｚ为实数 ,且ｘ + ｙ+ｚ= 5 ,ｘｙ+ｙｚ+ｚｘ =3 ,试求ｚ的最大值与最小值 .(加拿大第 10届数学竞赛题 )解　由题意 ,ｘ+ ｙ =5 -ｚ ,ｘｙ =3 -ｚ(ｘ+ｙ) =3 -ｚ(5 -ｚ) =ｚ2 -5ｚ + 3 ,所以ｘ ,ｙ是关于ｐ的一元二次方程 ｐ2 -(5 -ｚ)ｐ+ (ｚ2 -5ｚ+ 3 ) =0的两个实数根 ,从而Δ =(5 -ｚ) 2 -4 (ｚ2 -5ｚ+ 3 ) =-3ｚ2 +10ｚ + 13 ≥ 0 ,解得 -1≤ｚ ≤ 133 .因此 ,ｚ的最…     

一次函数问题常见错解例析

例 1　已知函数ｙ =(ｍ - 3)ｘｍ2 - 2ｍ - 2 是正比例函数 ,则ｍ =.(1997年重庆市中考题 )　错解　由题意 ,得ｍ2 - 2ｍ - 2 =1.解得ｍ =- 1或ｍ =3.剖析　正比例函数的一般式为ｙ =ｋｘ(ｋ≠0 ) ,要特别注意定义中ｋ≠ 0这一条件 .错解正是忽略了ｋ≠ 0这个隐含条件 .正确答案为ｍ =- 1.例 2　一次函数ｙ =(2ｍ - 1)ｘ +(1- 4ｍ)的图象不经过第三象限 ,则ｍ的取值范围是 .　错解　因为图象不经过第三象限 ,所以图象经过第一、二、四象限 .故有 2ｍ - 1<0 ,1- 4ｍ >0 .∴　ｍ <14 .剖析　图象不经过第三象限 ,则有两种可能 ,即图象经过第一…     

《一元二次方程》自测题(一元二次方程的解法、根的判别式、根与系数的关系)

一、填空题 (每空 3分 ,共 3 6分 )1 把方程 (ｘ -2 ) (ｘ -3 ) =1 2化为一般形式是　　　　　　　　　　　　　　　 .2 一元二次方程 2ｘ2 =7ｘ +6的二次项系数、一次项系数和常数项分别是　　　　　　　 .3 一元二次方程 2ｘ2 =8ｘ -5的根的判别式的值是 .4 若ｘ1、ｘ2 是一元二次方程 3ｘ2 =1 1ｘ -1 0的两个根 ,则ｘ1+ｘ2 =,ｘ1·ｘ2 =.5 若 2和 3是关于ｘ的一元二次方程 3ｘ2 -ｍｘ +ｎ =0的两个根 ,则ｍ、ｎ的值分别是.6 若 5是关于ｘ的方程 3ｘ2 +ｋｘ -8ｋ =0的一个根 ,则ｋ的值是 .7 在方程 ( 1 ) 2ｘ2 -6ｘ+3 =0 ,( 2 ) 5ｘ2 …     

二次函数与一元二次方程关系的应用

知识链接二次函数ｙ=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )与一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ =0 (ａ≠ 0 )的关系是 :二次函数ｙ =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ(ａ≠ 0 )的图象与ｘ轴交点的横坐标是一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的根 ;反之 ,一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ=0 (ａ≠ 0 )的根是二次函数ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )的图象与ｘ轴交点的横坐标 .一、判断二次函数图象与ｘ轴的交点情况例 1　已知抛物线ｙ =ｘ2 - (2ｍ - 1)ｘ +ｍ2 -ｍ- 2 .(1)证明抛物线与ｘ轴有两个不同的交点 .(2 )分别求出抛物线与ｘ轴的交点Ａ、Ｂ的横坐标ｘＡ、ｘＢ及与ｙ轴…     

浅析天津市2002年中考数学综合题

题目　已知二次函数ｙ1=ｘ2 - 2ｘ- 3.( 1 )结合函数ｙ1的图像 ,确定当ｘ取什么值时 ,ｙ1>0 ,ｙ1=0 ,ｙ1<0 ;( 2 )根据 ( 1 )的结论 ,确定函数ｙ2 =12 ( |ｙ1| -ｙ1)关于ｘ的解析式 ;( 3)若一次函数ｙ =ｋｘ +ｂ(ｋ≠ 0 )的图像与函数ｙ2 的图像交于三个不同的点 ,试确定实数ｋ与ｂ应满足的条件 .该题是天津市 2 0 0 2年中考题 .图 1由图 1及绝对值意义易得 :( 1 )当ｘ <- 1或ｘ>3时 ,ｙ1>0 ;当ｘ =- 1或ｘ =3时 ,ｙ1=0 ;当 - 1 <ｘ <3时 ,ｙ1<0 .( 2 )ｙ2 =0 (ｘ≤ - 1或ｘ≥ 3) ,-ｘ2 + 2ｘ + 3(- 1<ｘ <3) .而问题 ( 3)有较强的综合性 ,…