2.更简洁的解法

题:求函数y=1 Sin2θ (4/sin2θ)(O<θ<(1/2)π)的值域。贵刊1990年第一、六期,1991年第五期分别给出四种解法,这里给出一个更简洁的解法。解:∵sin2θ>0,     

从一道课本习题看三角公式之间的关系

高中数学(人教版)第一册(下)第88页题19:已知sinθ+cosθ=2/3, 求sin2θ的值．现将sinθ+cosθ=2/3两边平方,易得sin2θ=-5/9．顺水推舟,由2sinθcosθ=-5/9两边乘以-1后再加1得(sinθ-cosθ)2=14/9,解方     

三角计算中应注意角范围的精确性

有这样一道解答题：已知sinθ=-3/5,3π〈θ〈7π/2，求tanθ/2的值，许多同学采用下面的解法. 解 由sin=2sinθ/2cosθ/2/sin^2θ＋cos^2θ/2=2tanθ/2/1＋tan^2θ/2,得2tanθ/2/1＋tan^2θ/2=-3/5     

两道高考题的原型与推广

1999年全国高考理科第20题、科第21题分别为：(1)设复数z=3cosθ i2sinθ，求函数y=θ-argz(0<θ<π／2)的最大值以及对应的θ值．     

一道“希望杯”赛题的五种解法(高一、高二、高三)

题设关于x的方程x2-2xsinθ-(2cos2θ+3)=0,其中θ∈[0,π/2],则该方程实根的最大值为_______,最小值为______.(第12届“希望杯”高二第1试) 这道题内容丰富.本文给出各有特色的五种解法. 解法1 二次方程的实根分布原方程可化为 2sin2θ-2xSinθ+x2-5=0. 令t=sinθ,则2t2-2xt+x2-5=0,     

一道三角题的多种解法

题目已知sinθ+cosθ=51,θ∈(0,π),则cotθ=·这是1994年的一道高考题·该题解法颇多,除了通常的平方法,求sinθ、cosθ值外,本文再给出其它几种转化法·解法1:(定义法)设sinθ=5y,cosθ=5x,则有y5+5x=51,(5y)2+(5x)2=1·化为y2-y-12=0·由θ∈(0,π),知y>0,x<0,可解得y=4,x=-3·从而cotθ=yx=-43·解法2:(辅助式)设sinθ-cosθ=m,与sinθ+cosθ=51联立,两式平方后相加,可得m2=4259·由题设可知θ∈(2π,34π),则sinθ>cosθ,故m=57·再将sinθ-cosθ=75与sinθ+cosθ=51相加减,得sinθ=54,cosθ=-53,从而cotθ=-43·解法3:(巧设等差数列)…     

错在哪里

题作椭圆x~2/16 y~2/3=1的内接梯形ABCD,AB为长轴,求这个梯形面积的最大值。解令C(4cosθ,3~(1/3)sinθ,(0＜θ＜π/2)则S_(ABCD)=1/2(8cosθ 8)(3~(1/3))sinθ=4(3~(1/3))sinθ(cosθ 1)≤4(3~(1/3))[(sinθ (cosθ 1))/2]~2     

一道竞赛题及其推广题的解法再探

题1 0〈θ〈2/π，求y=cosθ/8＋sinθ/1的最小值。     

也谈三角换元求一类无理函数的值域

贵刊2000年第11期第34页介绍了函数y(ac<0)值域的一种三角换元求法.但笔者认为,过程不简,运算量大,可改进为如下三角换元. 容易证明:若0≤x≤π/2,则 (1)当0<θ≤π/4时,sinθ≤sin(x+θ)≤1; (2)当π/4<θ<π/2时,cosθ≤sin(x+θ)≤1. 例1 求函数的值域. 解:所给函数化为     

错在哪里

题 函数y=cosθ-2/sinθ(θ∈(0,π))的值域是_____. 分析cosθ-2/sinθ可以看作是经过点A(cosθ,sinθ)和点P(2,0)的真线AP的斜率.     

巧用极限思想解题

极限是进一步学习高等数学的重要工具 ,极限思想是从有限认识无限、从已知认识未知、从近似认识精确的一种数学方法 ,某些中学数学问题 ,运用极限思想具有它独特的方法 .下面我们利用极限思想解几个问题 .1　利用极限思想解三角问题例 1　对任何 θ∈ (0 ,π2 )都有 (　 )(A) sin sinθcosθ>cos cosθ(C) sin cosθ相似文献   

错在哪里

1.陕西省武功县普集高中刘康宁来稿 （邮编:712200）题 已知z∈C,且│z│=1,解方程z~7 z=1。解法一 设z=cosθ isinθ,则(cos7θ cosθ) (sin7θ sinθ)i=1,∴(cos7θ cosθ)=1 (sin7θ sinθ)=0 即 cos7θ=1-cosθ ① 　 sin7θ=-sinθ ②①~2 ②~2得(1-cosθ)~2 (-sinθ)~2=1。 解得 cosθ=1/2,sinθ=±3~(1/2)/2。 故原方程的解是z=(1±3~(1/2)i)/2。解法二 原方程可化为z~7=1-z。对上式两边取模,得│z~7│=│1-z│。     

利用cos2θ公式的变形解题几例

2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ 2~(1/2)/2sinθ)cos2θ=cos~2θ-sin~2θ=(cosθ sinθ)(cosθ-sinθ) =2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ 2~(1/2)/2sinθ) ·2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ-2~(1/2)/2sinθ), 则得cos2θ=2cos(θ π/4)cos(θ-π/4)或者cos2θ=2sin(π/4 θ)sin(π/4-θ). 应用上面的结论求解某些余弦函数或正弦函数的乘积时则显得简洁又明快,现举例如下. 例1 求证sin15°sin30°sin75°=1/8. 证明:sin15°sin30°sin75°=1/2sin15°sin75°     

极坐标法证几何题

本文主要研究用极坐标系中两点P_1(P_1,θ_1)、P_2(P_2,θ_2)间的距离公式:P_1P_2│=(p_1~2+p_2~2-2p_1p_2cos(θ_1-θ_2))~(1/2)和过这两点的直线P_lP_2的斜率公式:Kp_1p_2=(p_2sinθ_2-p_1sinθ_1)/(p_2cosθ_2-p_1cosθ_1),及过这两点的直线方程:sin(θ_2-θ_1)/p=sin(θ_2-θ)/p_1+sin(θ-θ_1)/p_2 (p_1≠0、p_2≠0)来对部分几何题进行证明.     

一题多解

已知θ∈(0,π),sinθ cosθ=1/5,求cotθ的值. 分析:本题是1994年高考题,当年该题得分率很低,错误原因是忽视了对隐含条件(函数值及角的范围的限制)的挖掘,因而大部分考生的答案是两个值.实际上,当θ∈(0,π/2)时,sinθ cosθ>1;     

三角公式之“三角三姊妹”应用

我们课本上的一道题:已知sinθ+cosθ=2,求sin2θ的值。现3将sinθ+cosθ=2两边平方,易得sin2θ=-5。39顺水推舟,由2sinθcosθ=-5两边乘以-1后再加1得(sinθ-9cosθ)2=14,9姨姨姨姨姨sinθ+cosθ=2姨sinθ+cosθ=2姨姨姨3解方程组姨3姨姨或姨姨姨姨姨姨姨sinθ-cosθ=姨14姨sinθ-cosθ=-姨14姨9姨9姨姨姨姨姨sinθ=2+姨14姨姨姨sinθ=2-姨14姨姨6姨姨6得姨姨姨或姨姨姨姨姨姨姨姨cosθ=2-姨14姨cosθ=2+姨14姨6姨6不难发现sinθ+cosθ,sinθ-cosθ,sinθcosθ之间有着知其一可求     

从一道全国赛题谈起

1994年全国联赛中有这样一道题:设0<θ<π,则sinθ/2(1 cosθ)的最大值是_______。 此题的答案是4/9(3~(1/2)),由此结论可得若干重要不等式: 在△ABC中有     

用构造法解三角题

一、构造函数例1设α、m为常数,θ是任意实数,求证:眼cos(θ+α)+mcosθ演2≤1+2mcosα+m2.证明构造函数y=f(θ)=1+2mcosα+m2-眼cos(θ+α)+mcosθ演2,则只需证明y≥0即可.f(θ)=sin2(θ+α)+2m眼cosα-cosθcos(θ+α)演+m2sin2θ.令sin(θ+α)=x,则得二次函数y=x2+2msinθ·x+m2sin2θ.由于Δ=4m2sin2θ-4m2sin2θ=0,且二次项系数为1,故y≥0,即原不等式成立.二、构造数列例2已知:sinφcosφ=60169,π4<φ<π2,求sinφ、cosφ的值.解由题意可知,sinφcosφ=(215姨13)2且sinφ>cosφ,构造等比数列cosφ,215姨13,sinφ.设sinφ=215姨13·q,c…     

一个命题两种结果的问题

《高中数学竞赛培训教材》[1](高一)P107,第6题:“已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos2θ=95,则sinθcosθ的值是().A.±!32B.!32C.-!32D.±13”.作为选择题,作者的本意是不用计算的:∵θ是第三象限角,∴sinθcosθ>0,排除A、C、D,选B.但一些同学计算的结果是23,这是怎么回事呢?方法一:由sin4θ+cos2θ=95,得:sin2θ(1-cos2θ)+cos2θ=95,∴sin2θ+cos2θ-sin2θcos2θ=59,∴sin2θcos2θ=94,∴sinθcosθ=±32,∵θ是第三象限角,∴sinθcosθ=32.看来同学们做对了(命题人也希望这样做).再看下面的解法:方法二:由sin4θ+cos2θ=95,∴sin4…     

“恒成立”问题求解对策

一、利用函数思想例1 (1999年全国高中数学联赛题)当x∈[0,1]时,不等式x2cosθ x(x-1) (1- x)2·sinθ>0恒成立,求θ的取值范围. 分析:因为x2(1 cosθ sinθ)-(1 2sinθ)x sinθ>0在x∈[0,1]时恒成立,令F (x)=x2(1 cosθ sinθ)-(1 2sinθ)x sinθ. 则只须当x∈[0,1]时,[F(x)]min>0. 解:由F(0)>0,得sin0>0,