“一元一次方程”自测题

一、填空题 (第 1 3题每小题 8分 ,第 4,5题每题 6分 ,共 3 6分 )1 .运用等式的性质 ,解下列问题 :( 1 )如果两个正方形的边长分别是m ,n ,并且第一个正方形的周长是第二个正方形周长的 4倍 .那么m和n间的关系是　　　　 .( 2 )如果 5 -3a =5 +b ,那么 3a与b间的关系是　　　　 .( 3 )如果s,t两个数的乘积是 -1 ,那么s,t间的关系是　　　　 .2 .合并含有相同字母的项 :( 1 ) 3x +x+2x =　　　　 ;( 2 ) 14y +12 y +13 y =　　　　 .3 .去括号 :( 1 )m +( 1 -3m2 ) =　　　　　　 ;( 2 ) 5n -2 ( 3n2 -1 ) =　　　　　　 .4.百位数是x ,十位…     

正方形的分割

下面我们看两道竞赛题1.将一个正方形分割成n(n>1)个小正方形,则n不可能取().(A)4(B)5(C)8(D)9(第十六届江苏省初中数学竞赛题)2.试设计一种方法,把一个正方形不重复不遗漏地分割成8个正方形(分得的正方形大小可以不相同);又问如何把正方形按上述要求分成31个正方形.(1997年安徽省初中数学竞赛题)这两道题都是研究正方形的分割问题.为了解决这两个问题,我们先来全面、深入的研究如何把一个正方形分割成n个小正方形.我们先考虑n可以取哪些数?首先从n=2开始,当n=2时,正方形不可分;当n=3或5时,正方形亦不可分.接下来,通过画图可以知道,当n=22…     

欢庆新年——1991

值此1991年来临之际,特拟“1991”数题欢庆新年,并飨读者! 1.如图,把单位正方形的每边分成n等分,再连接每个顶点与相对顶点最近的分点,这样在正方形的内部构成了一个小正方形,小正方形(图中阴影部分)的面积是1/7924181,试证:n=1991。证:如图:     

由勾股定理想到的

由勾股定理可知,两个面积分别为m和n的正方形通过剪切后,可以拼接成一个新正方形（不重叠,无间隙.下同）,新正方形的边长为（m+n）^1/2;三个面积分别为m,n和p的正方形可以先把面积分别为m,n的两个正方形剪切、拼接为一个边长为m+n的正方形,再把面积分别为m+n和p的正方形剪切、拼接成一个新正方形,这个新正方形的边长为、（m+n+p）^1/2;进而,面     

((k-1)P+kQ)~(2n+m)+Q~(2m)P~(2n-m)与Q~(2m)((Q-1)P+1)~(2n+m)+Q~(2m)P~(2n-m)可除定理

本文给出((k-1)P+kQ)~(2n+m)+Q~(2m)P~(2n-m)与Q~(2m)((Q-1)P+1)~(2n+m)+Q~(2m)P~(2n-m)可整除性定理。     

第43届IMO预选题解答（下）

组合部分1.本届IMO第 1题 . (哥伦比亚提供 )2 .已知n×n(n是奇数 )的棋盘上的每个单位正方形被黑白相间地染了色 ,且 4个角上的单位正方形染的是黑色 .将 3个连在一起的单位正方形组成的一个L形图称为一块“多米诺” .问n为何值时 ,所有的黑格可以用互不重叠的“多米诺”覆盖 ?若能覆盖 ,最少需要多少块“多米诺” ?(亚美尼亚提供 )解 :设n =2m + 1,考虑奇数行 ,则每行有m + 1个黑格 ,共有 (m + 1) 2 个黑格 .而任意两个黑格均不可能被一块“多米诺”覆盖 ,因此 ,至少需要 (m + 1) 2块“多米诺” ,才能覆盖棋盘上的所有黑格 .由于当n =1,…     

一道代数题的三种几何解法

题目:设m、n、p为正实数,且m2 n2-p2=0.求m pn的最小值.这道题若用代数方法求解,比较麻烦.如果我们能根据题意构造出几何图形,利用几何图形的性质,可以巧妙地解出这道题.解法1:构造边长为m n的正方形ABCD,E、F、G、H分正方形各边为m、n.显然,EFGH是边长为p的正方形.由图可知EG=     

2004年全国高中数学联赛加试第三题的别解

2004年全国高中数学联赛加试第三题是:对于整数n≥4,求出最小的整数f(n),使得对于任何正整数m,集合{m,m 1,…,m n 1}的f(n)元子集中,均有至少3个两两互素的元素.     

一道中考题引出的正方形的一个巧妙性质

引例(2014年四川宜宾中考题)如图1,将n个边长都为2的正方形按如图1所示摆放,点A1,A2,…,An分别是正方形的中心,则这n个正方形重叠部分的面积之和是()(A)n(B)n-1(C)(14)n-1(D)(14)n解析:这是一道有关几何图形面积的规律探索题,我们先对题意进行分析.要求重叠部分的面积之和,我们先从局部入手,即先求两个正方形重叠部分的面积.观察图形,我们可以猜想,两个正方形重叠部分的面积与其中一个正方形的面积必然存在着联系(甚至存在着某种数量关系).这种联系是什么?于是问题转化为下面的问题:     

一国际数学竞赛候选题的多种解法及推广

本文对第22届 IMO-道候选题:“给定了一个正方形 ABCD,问对于怎样的正整数 n,总可以把这个正万形分成 n 个互不重迭的小正方形(这些小正方形的大小可不相同)”,给出两种有新意的解法,并推广到三角形和正方体.     

一道数学竞赛题的再推广

1989年北京中学生数学竞赛有这样一道题: 在7×7的网格正方形中,任意挖去一个1×1的小方格,证明剩下的48个方格,可以沿格线完整地剪成16个□□形。 1981年上海数学竞赛有类似的复盖题: 试证在2~n×2~n个相等小方格组成的棋盘上任意挖去一个小方格后,总可以用由三个小方格构成的L形块恰好铺满。推广上述结果,我们曾得到: n×n的网格正方形中,任意挖去一个1×1小方格后,能被L形无重复地复盖的充要条件是3×n,n≠5. 本文进一步讨论n×m网格矩形的情况.有如下定理。     

2010中国西部数学奥林匹克

第一天 1.设m、k为给定的非负整数,P=2 2 m+1为质数.求证: (1)2[2(m+1)pk]≡1(mod Pk+1); (2)满足同余方程2n≡1(mod Pk+1)的最小正整数n为2(m+1)pk.(靳平供题)     

多一点精心预设,融一份动态生成——高三数学微专题复习《一类平面向量问题的再认识》课堂教学实录与点评

一、提出问题师:在一诊考试中,数学文科的第16题,是这样一个题(示题):【2017年成都市一诊文科16题】已知正方形ABCD的边长为2,对角线AC,BD相交于点O,动点P满足OP=1,若AP=mAB+nAD,其中m,n∈R,则(2m+1)/(2n+2)的最大值为_.     

例谈数学中考新题型——操作题

操作题主要指动手画、动手折叠、动手剪拼、动手测量、动手实验等的试题,举例如下: 例1 (杭州市2004年)给出一个正方形,请你动手画一画,将它剖分为n个小正方形。那么,通过实验与思考,你认为这样的自然数n可以取的所有值应该是____。     

数学之美——正方形中考题赏析

正方形是“完美的四边形”,涉及正方形的中考试题给人以美的享受,现举例说明如下.一、动手实验———操作题例1(2004年杭州市中考题)给出一个正方形,请你动手画一画,将它剖分为n个小正方形.那么,通过实验与思考,你认为这样的自然数n可以取的所有值应该是.分析先从n可取的较小值进行画图实验,如图1.图1可见,这样的n可以取的所有值应该是:n=4或n≥6的自然数.说明本题也可填“n≥4且n≠5的自然数”.当然,严格来说这只是一个猜测,它还需要证明.实际上,结论是可以证明的,请同学们自己思考.二、纸片折叠———计算题例2(2004年浙江省衢州市中考题)…     

第三届AIME试题

(1985年3月19日,星期二上午) 1.假设牛,二盯,对月>1时,气计算乘积xl,:……凡, 怜劣(一1) 2.一个直角三角形围绕一条直角边旋转,所得锥体的体积为800二crn3,围绕另一条直角边旋转所得锥体的体积为1920戒m3。这三角形的斜边多少长 (以cm为单位)? 3.设a,b与c为正整数,且满足等式:c=(a+bi)”一1071,其中招=一1。求c的值。 4.在一个面积为1的正方形中构作一个小正方形如下:将单位正方形的每条边作”等分。然后如右图所示。将每个顶点和与它相对的顶点最接近的分点连接起米。如果小正方形(图中的阴影部分)的面积恰为 l 1985’求n的值。┌─┐│只…     

“竞赛数学教程”中若干引伸的注记(下)

本文继续讨论“竞赛数学教程”中的引伸,给出解答或注明出处: 五、例7.2的引伸:一个锐角三角形、钝角三角形、正方形能分成几个锐角三角形解:按图1锐角三角形可分成四个小锐角三角形,钝角三角形可分成七个小锐角三角形,正方形可分成十个小锐角三形。角形,故锐角三角形可分成九个(十个,…)锐角三角形。将图1a中一个小锐角三角形分成四个小锐角三角形,则原锐角三角形被分成七个锐角三角形。综上,对n=4和n≥7,锐角三角形可以分成n个锐角三角形。     

任意长方形用尺规截拼成等面积正方形的方法

在实际生活中,会存在把长方形材料拼接成等面积的正方形的问题,如何将已有的长方形截拼成等面积的正方形呢?如图1、图2所示,设长方形ABCD的边长分别为m,n(m>n)那么长方形ABCD的面积为mn,与之等面积的正方     

有效设计 魅力课堂——“分数的意义”教学设计与赏析

一、有效铺垫,奠定成功的基础教学片断:师(出示1个小正方形):同学们,你们能用一个自然数表示吗?生:可以用1来表示。师(出示2个小正方形):还能用一个自然数表示吗?生:可以用2来表示。师(出示4个小正方形):你想用什么数来表示?生:用4来表示。     

分割正方形

下面是一道很好的竞赛题:将一个正方形剪成 n 个正方形.图1表明 n 可以等于4.n 还可以等于哪些数?(你知道多少就写多少)n 可以等于哪些数呢?一开始,可能想到 n=2~2=4,n=3~2=9,n=4~2=16,…(如图1、2、3)