锥体中的一个实用性公式

介绍锥体的侧面积、底面积及侧面与底面所成角为θ的一个实用性公式:cosθ=S_底/S_侧,对此公式进行证明、推广、应用,在具体应用中此公式比常规解法简便、实用.     

由课本例题,破解高考试题(高二、高三)

如图1,《立体几何》课本给出了: S△ABC·cosθ=S△BCD 推广,可得①若平面图形面积为S,其所在平面a与平面β所成二面角为θ,则此平面图形在平面β的射影面积S’=S·cosθ进一步地,图1 ②若圆锥(台)的侧面积为S,其母线与底面所成角为θ,则其侧面在底面的射影面积S’=Scosθ. 用此结论,求解空间角与面积问题,如:     

一道培训题的引伸与高考(高一、高二)

2001年“希望杯”赛高二培训题第38题: 已知正棱台上、下底面及侧面面积之比为4:9:10,侧面与底面所成角a的值为____. 这道反映了正棱台的上、下底面积、侧面积、侧面与底面所成的角的关系,若将其推广为一般,进行探索研究,则得     

圆台内切球问题

关于圆台内切球的问题有下面的定理成立:定理 若一球内切于一圆台,圆台的母线与底面所成的角为α,则圆台的侧面积与球表面积之比为:S_圆台侧:S_球=csc~2α;圆台体积与球体积之比为:     

圆锥的一个公式的应用

高中《立体几何》(甲种本)第84页有一个求圆锥侧面展开图扇形的圆心角公式:θ=r/l·360°(其中r,l分别是圆锥的底面半径、母线长),该公式沟通了圆锥的底面半径,母线及侧面展开图圆心角之间的关系。利用该公式,可以使一些与圆锥侧面展开图扇形的圆心角有关的问题解答简捷。这方面的题目,课本上已经有,这里从略。对公式:θ=r/l·360°稍加推敲,可以发现r/l是圆锥的母线与底面所成的角α的余弦,因此     

从“侧面积=底面积/cosa”谈起

六年制重点中学高中数学课本立体几何(下面简称立几课本)第68页第11题是这样的: 一个棱锥所有的侧面与底面所成的二面角都等于a,那么 S_(棱锥侧)=B/cosa (a〈90°) ①式中B为底面积。实际上,还可以证明: 如果圆锥的母线和底面所成的角等于a同样可以证明 S_(圆锥侧)=B/cosa。 (a〈90°) ②因为(如图)对于圆锥,     

正棱台体积和侧面积公式及应用

本文给出了正棱台体积和侧面积公式,并介绍了它的应用。 定理1 如果正n棱台上下底面边长分别为a_1、a_2,下底面与侧面的夹角为θ,那么它的体积是V_(正梭台)=n/24(a_2~3-a_1~3)cot~厂π/ntanθ(a_1相似文献   

旋转巧解四例

一、巧举反例例1（2005年全国高考题）下列是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．其中,     

一道课本例题的多重价值取向

题目如图1,已知三棱锥A—BCD 的侧棱 AD 垂直于底面BCD,侧面 ABC 与底面所成的角为θ,求证:V_(三棱锥)=1/3S_(△ABC)·AD     

台体中截面面积公式推广

高中《立体几何》第 64页例 2“设棱台的两底面 积分别为 S1, S2,它的中截面积是 S0.求证 2 ”中给出了台体中截面面积公式,但用它求平行于台体底面任意截面的面积就比较困难了 .为了便于解决这类问题,本人对台体中截面面积公式作如下推广 . 如图 (1),若台体 (棱台、圆台 )的上、下底面积分别为 S1, S2,与底面平行,把侧棱 (母线或高 )自上而下分为 m∶ n的两段的截面面积为 S0,则 . 证明：∵ = 即 ∴ 若再令,则上述结论可变为 .于是有以下定理 . 定理 1台体 (棱台、圆台 )的上、下底面积分别为 S1, S2,与底面平行的平面,…     

圆柱体表面积简解法的意义

圆柱体表面积等于圆柱的侧面积与两个底面积之和。用公式表示:S=27πrh 2πr~2。在实际计算中,有学生利用乘法分配律把公式变成S=2πr×(R r),计算很简便,但是这个式子的数学意义是什么呢? 我们知道,圆柱体的表面展开得到图①,式子S=2πr×(h r)里的2πr是圆柱体的底面周长,(h r)是圆柱体高与底面半径之和。根据圆面积公式的推导.我们又知道上下两个圆的面积可以转化为长方形面积,且上下两个长方形面积相等。即S_1=S_2,把下面长方形面积放到上面(见图②),那么圆柱体的表面积就转化为长方形ABCD的面积了。式子里     

四边形面积的一个性质与若干数学竞赛题

定理凸四边形的两条对角线把四边形划分成的四个小三角形中,两组对顶的两个三角形面积之积相等. 证明:如图1,记∠AOB=α,△AOB、△COD△AOD、△BOC的面积分别为S_1、S_2、S_3、S_4,则由三角形面积公式有S_1·S_2=1/2AO·BO·sinα·1/2CO·DO·sinα,S_3·S_4=1/2AO·DO·sin(180°-α)·1/2BO·CO·sin(180°-α)故得,S_1·S_2=S_3·S_4。     

梯形及其相关图形的面积

在教学过程中,我运用辩证唯物主义观点,将初等数学中常见的正方形、长方形、平行四边形、三角形、元、扇形、元柱侧面、元锥侧面、元台侧面等图形的面积公式用梯形面积公式统一起来.下面介绍其内容,供邦助学生复习这部分内容时参考.已知梯形的上底a、下底b和高h,则面积S=1/2(a+b)h.1.正方形 正方形的下底a、上底b和高(即宽)h都相等,即a=b=h,则其面积     

巧解圆锥题

有关圆锥的计算问题常常出现在中考试题中,涉及的知识点有:①圆锥的底面半径r、高h、母线a之间的关系:r2+h2=a2;②圆锥的侧面积、全面积公式:S侧面积=πra,S全面积=πra+πr2;③圆锥的侧面展开图:扇形(如图1),扇形的半径是圆锥的母线,扇形的弧长是底面圆的周长等.本文以2012年的中考试题为例评析如下,供同学们学习时参考.     

立几课本中两个习题的结合运用

立几课本中第33页11题: 经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线,如果斜线和这个角两边的夹角相等,那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线. 立几课本中第122页第3题:AB和平面a所成角是θ1,AC在平面a内,AC和AB的射影AB'所成角θ2,设∠BAC=θ,求证:cosθ1·cosθ2=cosθ.(如图1)     

如何解与圆锥有关的计算问题

圆锥的侧面展开图是一个扇形,其扇形的半径就是圆锥的母线长,扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.设圆锥的高为h,底面圆的半径为r,则该圆锥母线长ι=√h2 r2,底面圆的周长为c=2πr,这时圆锥的侧面积应为S侧=1/2·2πrl=πrl.     

立体几何中的“五心”

一、重心有关的定义、定理:(Ⅰ)在三棱锥中,若各个侧面在底面上的射影面积相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的重心.(Ⅱ)设G是△ABC的重心,AG的延长线交BC于D,则有(1)BD=DC;(2)AG∶AD=2∶3;(3)S△GAB=S△GBC=S△GAC=13S△ABC;(4)AD2=14(2AB2+2AC2-BC2).例1三棱锥V-ABC三侧面与底面所成的二面角分别为30°,45°,60°,底面积为3,顶点在底面上的射影是底面的重心,求三棱锥的侧面积.解设顶点在底面的射影为G,依题意知,G是△ABC的重心.由平面几何知识得S△GAB=S△GBC=S△GAC=13S△ABC=1.由面积射影定理知S△VAC…     

“圆柱和圆锥”单元教学目标与测试题(十二册二单元)

一、教学目标【识记目标】本单元要求学生识记的内容有:①圆柱和圆锥的底面都是圆,圆柱上下两个底面相等,圆柱两底面间的距离叫高,从圆锥顶点到底面圆心的距离叫圆锥的高;②把圆柱体的侧面展开,得到一个长方形,这个长方形的长等于圆柱底面的周长(c),宽等于圆柱的高(h);③圆柱体侧面积等于底面的周长乘以高,表面积就是侧面积与两个底面积的和;④圆     

一道北京高考立体几何题的错解辨析

20 0 2年全国高考 (北京卷 )的立体几何解答题如下 :图 1　　如图 1,在多面体ＡＢＣＤ -Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中 ,上、下底面平行且均为矩形 ,相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等 ,侧棱延长后相交于Ｅ、Ｆ两点 ,上下底面矩形的长、宽分别为ｃ、ｄ与ａ、ｂ ,且ａ >ｃ ,ｂ>ｄ ,两底面间的距离为ｈ .(1)求侧面ＡＢＢ1Ａ1与底面ＡＢＣＤ所成二面角的大小 ;(2 )证明 :ＥＦ ∥面ＡＢＣＤ ;(3)在估测该多面体的体积时 ,经常运用近似公式Ｖ估 =Ｓ中截面·ｈ来计算 .己知它的体积公式是Ｖ =ｈ6(Ｓ上底面 4Ｓ中截面 Ｓ下底面) .试判断Ｖ估与Ｖ的大小…     

巧推三角形的面积公式

题目:三棱锥P—ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3.(Ⅰ)求证AB⊥BC(Ⅱ)设AB=BC=23,求AC与平面PBC所成角的大小.浅析(Ⅰ)图1思路一:由PA=PB=PC,联想到圆锥的所有母线长相等,于是作圆锥PO,使PA、PB、PC都是该圆锥母线,如图1,由面PAC⊥面ABC及PO⊥面ABC,知PO面PAC,因此AC是圆锥底面圆的直径,可得AB⊥BC.思路二:如图2,延长CP到D,使PD=PC,连结DA、DB,由PA=PB=PC=PD可知DA⊥AC,DB⊥BC,又面DAC⊥面ABC,于是有DA⊥面ABC,由三垂线定理的逆定理可知AB⊥BC.思路三:由PA=PB=PC,联想到球的所有半径长…