函数与方程的思想方法

函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f（x）=0的解就是函数y=f（x）的图像与x轴的交点的横坐标,函数y=f（x）也可以看作二元方程f（x）-y=0通过方程进行研究．[第一段]     

函数与导数综合测试题

1．f′（x）是函数y=f（x）的导函数,y=f′（x）的图像如右图所示,则y=f（x）的图像最有可能是（ ）．     

求复合函数单调区间的一种图解方法

函数单调性是函数的核心内容之一,也是高考中重点考查的知识,以考查复合函数的单调性居多。复合函数单调性的复合规律为：若函数y=f（u）与u=g（x）的单调性相同（相反）,则y=f[g（x）]是增（减）函数,可概括为：＂同增异减＂。本文结合例题,对复合函数单调区间的求法给出一种图解方法来求解。该方法的思路是：先找出复合函数的内部函数u=g（x）和外部函数y=f（u）,再画出内部函数图像,作出外部函数单调区间,通过观察图像,结合复合函数单调性的复合规律就能得出函数y=f[g（x）]的单调区间,可简述为＂画内部函数图像,作外部函数单区＂。     

割不断 理则清 巧应用——函数的图象与平面上方程的曲线概念复习课

1设计问题 我们可以在平面直角坐标系中画函数y=f（x）（z∈D）的图象,也可以根据曲线（如直线,圆等）的方程f（x,y）=0画出方程的曲线．函数的图象与平面上方程的曲线是体现数形结合、解析法等数学思想的两个重要概念,是高考考查的热点、重点．     

函数零点问题的解决方案

函数的零点是研究函数性质的一个方面,也是高考考查的热点,在近几年的高考中出现频率非常高.本文结合几道试题介绍几种函数零点的处理方法.1解方程（方程思想）我们把使得f（x）=0成立的实数x,叫作函数y=f（x）的零点.因此,函数的零点与方程有密切的联系.方程f（x）=0的解就是函数y=f（x）的零点（也是函数f（x）图象与x轴交点的横坐标）;且方程f（x）=g（x）的解就是新函数y=f（x）-g（x）的零点,也是函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象的交点的横坐标.因此我们可以研究方程或函数图象解决函数的零点问题.例1（2012年湖北理）函数f（x）=xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为.     

试用“方程法”解题

函数是中学数学的一个重要概念,它渗透在数学的各部分内容中,一直是高考的热点、重点内容．而和函数有必然联系的是方程,方程f（x）=0的解就是函数y=f（x）的图像与x轴的交点的横坐标,函数y=f（x）也可以看作二元方程f（x）-y=0的解,通过方程进行研究,要确定变化过程的某些量,往往要转化为求出这些量满足的方程,这就是方程的思想,方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系．     

2012年江苏高考第18题的数形结合解法及推广

一、试题呈现题目 （2012年高考数学江苏卷第18题）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f（x）的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f（x）=x3＋ax2＋ bx的两个极值点.（1）求a和b的值;（2）设函数g（x）的导函数g＇（x）=f（x）＋2,求g（x）的极值点;（3）设h（x）=f（f（x））-c,其中c∈[-2,2],求函数y=h（x）的零点个数.二、试题的分析及数形结合解法本题的第（1）、（2）问考查利用导数求解函数的极值,解答比较简单,这里我们不作讨论.第（3）问考查复合函数（实际上是迭代函数）的零点个数问题.对于第（3）问,命题组提供的参考答案是利用换元法,根据函数零点存在定理,判断函数y=h（x）的零点个数,整个解法缺乏直观,考生不容易想到,运算量也比较大.下面我们借助数形结合的思想对第（3）问进行解答,并依此解法把第（3）问的结论进行推广.     

方程的曲线过定点问题探讨

一般情况下,若方程f（x,y）=0中含一个（或多个）参数,当x取某个常数x0时,y也对应一个与参数无关的常数y0,我们就说方程f（x,y）=0对应的曲线过定点坐标（x0,y0）。方程f（x,y）=0对应的曲线过定点问题的解决蕴含着化归、数形结合、函数与方程等重要的数学思想方法,因此,此类问题可以考查学生对知识的综合应用能力和思维创薪能力,且难度     

函数零点问题的求解策略

使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点．从这个概念可知,函数的零点个数问题实际上就是求方程f（x）=0的实数根的个数．     

关于《一个问题的求解历程》一文的思考

文[1]提出了一个研究函数方程的新方法,的确让人眼前一亮．但静下心来仔细思考,发现该方法存在问题,现讨论如下．题目（2008年高考数学陕西卷理科第11题）：定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）=f（x）＋f（y）＋2xy（x,y∈R）,f（1）=2,则f（-3）等于（ ）．     

函数零点问题分类解析

函数y=f（x）的零点←→方程-f（x）=0的根←→函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标．由此不难看出,处理函数零点问题,需充分运用等价转化、函数方程、数形结合等思想方法,它作为新增内容,已成为高考的亮点．本文拟就函数零点问题的分类以及各类问题的解法作一简要总结．     

求函数值域的途径

一、运用方程思想 运用方程思想求函数的值域，就是将函数 y=f（ x）的解析式视为关于 x的方程，根据方程有实数解的条件，求出使该方程在函数定义域内有解的所有 y值的集合，即为函数 y=f（ x）的值域 .　　例 1求函数 y=的值域 .　　解 原式可化为 y=． 变形得 (y－ 1)tg2x＋（ 1＋ y） tgx＋（ y－ 1） =0． 则关于 x的方程在已知函数定义域内有解的充 要条件是或 y=1.解得 ≤ y≤ 3， ∴所求函数的值域为〔， 3〕． 二、借助函数的几何意义 借助函数的几何意义求函数最值，充分发挥代换法及利用数形结合两方面的优势，是一种既可化…     

导数的另类应用

函数y=f（x）在x=x0处导数的几何意义就是曲线y=f（x）在点P（xo,f（xo））处切线的斜率．运用变化的观点,曲线在某点P（x0,f（x0））的切线就是曲线的割线PQ当Q无限趋近于P点的极限．由此我们发现,函数y=f（x）图像上任意两点P（x1,y1）,     

用“方程法”求函数的值域

1．引理及“方程法” 引理 设函数y=f（x）的定义域为A，值域为B，又设“关于x的方程y=f（x）在A中有解的y的取值集合”为C，则C=B．     

关于函数对称性问题的几个典型错解剖析

我们知道,如果一个函数具有单调性、周期性以及奇偶性,那么这个函数图像不但自身具有对称性,而且与其他函数图像也具有对称性．比如正弦函数y=f（x）=sinx,（x∈R）为奇函数,周期为2kπ,图像关于原点对称．同时,函数y=f（x）=sinx在x∈[2kπ-π/2,2kπ＋π/2]（k∈Z）上,     

对2种“对称”的辨析

例1设函数y=f（x）定义在实数集上，函数y=f（x-1）与函数y=f（1-x）的图像关于（ ）     

一道高考题解法引发的思考

题目（2005年,辽宁,理科第22题）函数y=f（x）在区间（O,＋∞）内可导,导函数f＇（x）是减函数,且f＇（x）〉O．设x0∈（0,＋∞）,y=kx＋m是曲线y=f（z）在点（x0,f（x0））处的切线的方程,并设函数g（x）=kz＋m。     

互为反函数的两函数图像的交点阿题探讨

反函数是中学数学的难点内容之一,特别是互为反函数的两函数图像的交点问题,在高一（上）数学教材中指出互为反函数的图像性质：“函数y=f（x）的图像和它的反函数y=f^-1（x）的图像关于直线y=x对称”．据此学生想当然地认为互为反函数的两个图像交点一定在直线y=x上,乍看起来,不无道理,实际上这是错误的,下面笔者就和大家探讨一下互为反函数的两函数图像的交点问题．     

《导数的几何意义与切线方程》热点突破

一、导数的几何意义 函数y=f（x）在点P（x0,y0）处的导数f＇（x0）表示函数y—f（x）在x=x0处的瞬时变化率,导数f’（x0）的几何意义就是函数y=f（x）在P（x0,y0）处的切线的斜率,其切线方程为y—y0=f’（x0）（x—x0）。     

揭开复合函数的面纱——谈复合函数的基本性质

一、有关概念 如果y是u的函数,而u又是x的函数,即y=f（u）,u=g（x）,x∈A．那么函数y=f（g（x））,x∈A,叫做f和g的复合函数．其中u叫做中间变量．函数y=f（g（x））是二层复合函数,同样可以定义三层复合函数y=fg（h（x）））和多层复合函数等．我们主要谈二层复合函数,其中,u=g（x）称为内层函数,y=f（u）称为外层函数．