关于给定有限项的数列的通项公式——也谈数列通项公式的探究

《数学教学》2005年第6期发表的“关于数列的通项公式的探究”一文(以下简称该文)给出了关于给定有限项的数列的通项公式的两个定理,很受启发．本文拟对这两个定理作一些补充和推广．     

关于压缩映象定理一个注记

建立了几个与压缩映射不动点定理类似的定理,即对于某些定义在空间C（B×〔0,T〕）上的算子,只要满足一定的条件（这些条件将压缩算子作为特例）,则一定存在不动点．这些定理可用来解决Banach空间上的某些非线性常微分方程的求解问题．给出了运用这些定理来讨论一类非线性微分积分方程的边值问题的例子．该文的结论也适用于其它一些非线性问题．     

也谈“循环论证”

《数学教学》（2007年第3期）刊登了文．该文作者对该校高一学生作了一次小测试，测试内容包括“请写出一元二次方程的求根公式并加以推导”，分析测试结果之后得出一些结论，其中有这么一个结论“用韦达定理来证求根公式，犯循环论证错误，占7％”．笔者对此有不同看法：难道用韦达定理来证求根公式就一定犯了循环论证错误吗？     

集值优化问题的最优性条件:基于广义C-子凸和伪相对内部的择一性定理的一个应用

该文首先通过伪相对内部的概念定义了广义C-子凸集值映射.其次刻画了一些伪相对内部的性质,然后利用广义C-子凸和伪相对内部的分离定理,建立了择一性定理.最后利用所得到的择一性定理,建立了一些有关广义C-子凸集值最优化问题的最优性条件.本文对参考文献中的一些结论进行了推广和改进.     

微分中值定理的应用

介绍了使用罗尔定理和拉格朗日中值定理的一些常见方法，讨论了它们在证明存在性问题、判定级数的敛散性、证明不等式和求极限等方面的应用，并给出一些推论．     

由微分中值定理构造函数

罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理是三个重要的微分中值定理。一般在证明罗尔定理的基础上,用引入辅助函数的方法证明后两个定理。我们课本上给出的构造函数的方法,同学们认为不容易想到,该文给出一种方法——分析法构造辅助函数。     

＂解三角形＂教学研究

学生在已有知识的基础上,通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,能解决一些简单的三角形度量问题;能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．可以看出,教学分三个目标：探索、掌握和应用．     

基于一些特殊分块矩阵的行列式的研究

该文利用拉普拉斯展开定理以及行列式的性质得出了一些特殊分块矩阵的行列式,并举例说明它们在计算和证明当中的应用.     

二项式定理复习引导

二项式定理是高考必考查的内容之一．每年高考试题中,都有1～2道二项式定理题出现．考点1：二项式定理和二项展开式的性质及利用它们计算和证明一些简单问题;考点2：用二项式定理证明不等式或比较大小．     

线性方程组理论在高等代数中的应用

在高等代数的研究中一般常用矩阵作为研究工具,该文系统地从多项式、矩阵、广义逆矩阵、线性空间、欧氏空间等五个方面的应用,说明线性方程组理论也是研究高等代数的强有力的工具．在线性空间的的讨论中不但给出了替换定理的一个推广,而且应用线性方程组的知识给出了线性空间中的替换定理的一个新证法,进而推出了一个新结论,并得到了一些有实用价值的应用．     

关于集值映射的Moreau-Rockaffellar型定理

该文在次微分情形下,证明了关于集值映射的Moreau－Rockaffellar型定理．     

Farkas定理的一些应用

Farkas定理是优化理论中一个重要的分离定理,一直被广泛应用于线性和非线性规划问题最优性条件的推导中．应用其证明了一些分离定理方面的重要结论．     

一类反应扩散方程的分歧分析

讨论了一类反应扩散方程的分歧（分岔）现象．运用一般线性全连续场谱定理和L—S（李雅普诺夫-施密特）约化方法得到了此方程的一阶近似形式并求出了从平凡解分歧出的非平凡解的具体表达式．最后运用一些经典分歧定理得到了一些重要的分歧结果,给出了分歧图形．     

有关二项式定理的热点题型

高考中有关二项式定理的题目一般难度不大，多以选择题或填空题的形式出现，考查二项式定理的简单应用．对二项式定理的考查主要有以下三个方面，现通过一些具体题目，就高考中有关二项式定理的热点题型进行分析，目的在于把握命题方向，探索解题规律，揭示解题方法．     

关于海涅定理的注记

海涅定理是《数学分析》的重要定理．叙述海涅定理的一些等价形式,给出新的证明,并说明它们的应用．     

一个常系数齐次线性微分方程线性无关解的定理

该文给出了n阶常系数齐次线性微分方程的解线性无关定理的证明．     

牵连运动定理研究

该文结合动力学普遍定理与合成运动定理导出了牵连运动定理,从而为求解系统动力学问题提供了一种简单而实用的方法。     

在中学数学教学中加强合情推理的训练

目前,在中学数学的教学内容中,无论是定理、公式的基本形式,还是定理的证明与公式推导的基本方法已成定式,甚至一些习题和解答已进入字典和手册．这对中学数学的教与学无疑有方便之处,但也会产生许多新问题．容易使学生只见定理,不见分析;只见结论,不见过程,对数学的许多定理和公式产生一种神秘感,这不利于提高中学生分析问题和解决问题的能力．因此,在中学数学教学中加强合情推理的训练是非常重要的．     

一类时滞泛函微分方程三个正周期解的存在性

该文利用Leggett-Williams不动点定理讨论了一类时滞泛函微分方程三个正周期解的存在性．     

L-凸空间上的不等式

在L-凸空间中引入了广义S—KKM映象的概念,并在L-空间中给出了一些KKM型定理和不动点定理．最后作为其应用,证明了一些不等式,并进行了推广．